TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22279" 【題型1 冪的基本運(yùn)算】 PAGEREF _Tc22279 \h 1
\l "_Tc15989" 【題型2 冪的運(yùn)算法則逆用（比較大?。?PAGEREF _Tc15989 \h 2
\l "_Tc25941" 【題型3 冪的運(yùn)算法則逆用（求代數(shù)式的值）】 PAGEREF _Tc25941 \h 2
\l "_Tc21033" 【題型4 冪的運(yùn)算法則逆用（整體代入）】 PAGEREF _Tc21033 \h 2
\l "_Tc15490" 【題型5 冪的運(yùn)算法則逆用（求參）】 PAGEREF _Tc15490 \h 3
\l "_Tc11111" 【題型6 冪的運(yùn)算法則逆用（代數(shù)式的表示）】 PAGEREF _Tc11111 \h 3
\l "_Tc21401" 【題型7 冪的運(yùn)算法則（混合運(yùn)算）】 PAGEREF _Tc21401 \h 3
\l "_Tc16467" 【題型8 冪的運(yùn)算法則（新定義問(wèn)題）】 PAGEREF _Tc16467 \h 4
【知識(shí)點(diǎn)1 冪的運(yùn)算】
①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。
【題型1 冪的基本運(yùn)算】
【例1】（2023?谷城縣二模）下列各選項(xiàng)中計(jì)算正確的是（ ）
A．m2n﹣n＝n2B．2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6
C．（﹣m）2m4＝m8D．x6yx2=x3y
【變式1-1】（2023秋?南陵縣期末）(512)2005×(225)2004=（ ）
A．1B．512C．225D．(512)2003
【變式1-2】（2023秋?孝南區(qū)月考）計(jì)算x5m+3n+1÷（xn）2?（﹣xm）2的結(jié)果是（ ）
A．﹣x7m+n+1B．x7m+n+1C．x7m﹣n+1D．x3m+n+1
【變式1-3】（2023秋?溫江區(qū)校級(jí)期末）下列等式中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①a5+a5＝a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a＝a10；③﹣a4?（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【題型2 冪的運(yùn)算法則逆用（比較大?。?br>【例2】（2023春?宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a(chǎn)＞c＞b
【變式2-1】（2023春?晉州市期中）閱讀：已知正整數(shù)a，b，c，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac（a≠1），當(dāng)b＞c時(shí)，則有ab＞ac；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a＞c時(shí)，則有ab＞cb，根據(jù)上述材料，回答下列問(wèn)題．
（1）比較大?。?20 420，961 2741；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）比較233與322的大??；
（3）比較312×510與310×512的大?。甗注（2），（3）寫出比較的具體過(guò)程]
【變式2-2】（2023秋?濱城區(qū)月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．a(chǎn)＜b＜cD．b＞a＞c
【變式2-3】（2023春?泰興市校級(jí)月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，試比較a、b、c、d的大?。▽懗鲞^(guò)程）
【題型3 冪的運(yùn)算法則逆用（求代數(shù)式的值）】
【例3】（2023春?巨野縣期中）已知：52n＝a，9n＝b，則154n＝ ．
【變式3-1】（2023秋?西青區(qū)期末）若2x＝a，16y＝b，則22x+4y的值為 ．
【變式3-2】（2023春?蕭山區(qū)期中）若xm＝5，xn=14，則x2m﹣n＝（ ）
A．52B．40C．254D．100
【變式3-3】（2023春?高新區(qū)校級(jí)月考）已知32m＝a，27n＝b．求：
（1）34m的值；
（2）33n的值；
（3）34m﹣6n的值．
【題型4 冪的運(yùn)算法則逆用（整體代入）】
【例4】（2023?鐵嶺模擬）若a+3b﹣2＝0，則3a?27b＝ ．
【變式4-1】（2023秋?淇濱區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)3m+2n﹣3＝0時(shí)，則8m?4n＝ 8 ．
【變式4-2】（2023春?東臺(tái)市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，則2a÷4b×(18)c的值是 ．
【變式4-3】（2023春?昌平區(qū)期末）若5x﹣2y﹣2＝0，則105x÷102y＝ ．
【題型5 冪的運(yùn)算法則逆用（求參）】
【例5】（2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）若a5?（ay）3＝a17，則y＝ ，若3×9m×27m＝311，則m的值為 ．
【變式5-1】（2023春?建湖縣期中）規(guī)定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，則x的值為 ．
【變式5-2】（2023秋?衛(wèi)輝市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，則n﹣m＝ ．
【變式5-3】（2023春?興化市期中）若（2m）2?23n＝84，其中m、n都是自然數(shù)，則符合條件m、n的值有____組．
【題型6 冪的運(yùn)算法則逆用（代數(shù)式的表示）】
【例6】（2023秋?崇川區(qū)校級(jí)期中）若a2m+3y=am+1x=1．
（1）請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y；
（2）如果x＝4，求此時(shí)y的值．
【變式6-1】（2023?高新區(qū)校級(jí)三模）已知m＝89，n＝98，試用含m，n的式子表示7272．
【變式6-2】（2023?高新區(qū)校級(jí)三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代數(shù)式表示y．
（2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代數(shù)式表示y．
【變式6-3】（2023春?新泰市期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m＝n，利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題：
（1）如果2x?23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x?16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y．
【題型7 冪的運(yùn)算法則（混合運(yùn)算）】
【例7】（2023春?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）（﹣a）2?a3
（2）（﹣8）2013?（18）2014
（3）xn?xn+1+x2n?x（n是正整數(shù)）
（ 4 ）（a2?a3）4．
【變式7-1】（2023秋?道外區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）y3?y2?y
（2）（x3）4?x2
（3）（ a4?a2）3?（﹣a）5
（4）（﹣3a2）3﹣a?a5+（4a3）2．
【變式7-2】（2023春?太倉(cāng)市期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題
（1）（45）2015×（﹣1.25）2016．
（2）（318）12×（825）11×（﹣2）3．
【變式7-3】（2023春?漳浦縣期中）計(jì)算
（1）（m﹣n）2?（n﹣m）3?（n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3?a3+（2a3）2；
（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2?a]．
【題型8 冪的運(yùn)算法則（新定義問(wèn)題）】
【例8】（2023春?大竹縣校級(jí)期中）我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為am?an＝am+n（其中a≠0，m、n為正整數(shù)），類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m、n的一種新運(yùn)算：h（m+n）＝h（m）?h（n）；比如h（2）＝3，則h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）?h（2023）的結(jié)果是（ ）
A．2k+2021B．2k+2022C．kn+1010D．2022k
【變式8-1】（2023?蘭山區(qū)二模）一般的，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝lgaN．例如：由于23＝8，所以3是以2為底8的對(duì)數(shù)，記作lg28＝3；由于a1＝a，所以1是以a為底a的對(duì)數(shù)，記作lgaa＝1．對(duì)數(shù)作為一種運(yùn)算，有如下的運(yùn)算性質(zhì)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么（1）lga（M?N）＝lgaM+lgaN；（2）lgaMN=lgaM﹣lgaN；（3）lgaMn＝nlgaM．根據(jù)上面的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算lg2（23×8）﹣lg2165?lg210的結(jié)果是 ．
【變式8-2】（2023春?泰興市期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因?yàn)?2＝9，所以3※9＝2
（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：2※16＝ ， ※136=?2，
（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：3n※4n＝3※4，小明給出了如下的證明：
設(shè)3n※4n＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法解決下列問(wèn)題：
①證明：6※7+6※9＝6※63；
②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝ ※ （結(jié)果化成最簡(jiǎn)形式）．
【變式8-3】（2023秋?南寧期末）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．我們叫（a，b）為“雅對(duì)”．
例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我們還可以利用“雅對(duì)”定義證明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．證明如下：
設(shè)（3，3）＝m，（3，5）＝n，則3m＝3，3n＝5．
∴3m?3n＝3m+n＝3×5＝15．
∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，4）＝ ； （5，25）＝ ； （3，27）＝ ．
（2）計(jì)算：（5，2）+（5，7）＝ ，并說(shuō)明理由．
（3）記（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求證：a+b＝c．
專題8.1 冪的運(yùn)算【八大題型】
【滬科版】
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\l "_Tc22279" 【題型1 冪的基本運(yùn)算】 PAGEREF _Tc22279 \h 1
\l "_Tc15989" 【題型2 冪的運(yùn)算法則逆用（比較大?。?PAGEREF _Tc15989 \h 2
\l "_Tc25941" 【題型3 冪的運(yùn)算法則逆用（求代數(shù)式的值）】 PAGEREF _Tc25941 \h 4
\l "_Tc21033" 【題型4 冪的運(yùn)算法則逆用（整體代入）】 PAGEREF _Tc21033 \h 5
\l "_Tc15490" 【題型5 冪的運(yùn)算法則逆用（求參）】 PAGEREF _Tc15490 \h 6
\l "_Tc11111" 【題型6 冪的運(yùn)算法則逆用（代數(shù)式的表示）】 PAGEREF _Tc11111 \h 8
\l "_Tc21401" 【題型7 冪的運(yùn)算法則（混合運(yùn)算）】 PAGEREF _Tc21401 \h 10
\l "_Tc16467" 【題型8 冪的運(yùn)算法則（新定義問(wèn)題）】 PAGEREF _Tc16467 \h 13
【知識(shí)點(diǎn)1 冪的運(yùn)算】
①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n。同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
②冪的乘方：(am)n=amn。冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
③積的乘方：(ab)n=anbn。積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1。
【題型1 冪的基本運(yùn)算】
【例1】（2023?谷城縣二模）下列各選項(xiàng)中計(jì)算正確的是（ ）
A．m2n﹣n＝n2B．2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6
C．（﹣m）2m4＝m8D．x6yx2=x3y
分析：根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)得出結(jié)論即可．
【解答】解：A．m2n﹣n＝n（m2﹣1），故A選項(xiàng)不符合題意；
B.2（﹣ab2）3＝﹣2a3b6，故B選項(xiàng)符合題意；
C．（﹣m）2m4＝m6，故C選項(xiàng)不符合題意；
D.x6yx2=x4y，故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【變式1-1】（2023秋?南陵縣期末）(512)2005×(225)2004=（ ）
A．1B．512C．225D．(512)2003
分析：根據(jù)xa?ya＝（xy）a，進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：原式＝（512×125）2004×512
=512．
故選：B．
【變式1-2】（2023秋?孝南區(qū)月考）計(jì)算x5m+3n+1÷（xn）2?（﹣xm）2的結(jié)果是（ ）
A．﹣x7m+n+1B．x7m+n+1C．x7m﹣n+1D．x3m+n+1
分析：利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法的知識(shí)求解即可求得答案．
【解答】解：x5m+3n+1÷（xn）2?（﹣xm）2＝x5m+3n+1÷x2n?x2m＝x5m+3n+1﹣2n+2m＝x7m+n+1．
故選：B．
【變式1-3】（2023秋?溫江區(qū)校級(jí)期末）下列等式中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①a5+a5＝a10；②（﹣a）6?（﹣a）3?a＝a10；③﹣a4?（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
分析：①和④利用合并同類項(xiàng)來(lái)做；②③都是利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則做（注意一個(gè)負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)）．
【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正確；
②∵（﹣a）6?（﹣a）3?a＝﹣a10 故②的答案不正確；
③∵﹣a4?（﹣a）5＝a9，故③的答案不正確；
④25+25＝2×25＝26．故④的答案正確；
所以正確的個(gè)數(shù)是1，
故選：B．
【題型2 冪的運(yùn)算法則逆用（比較大?。?br>【例2】（2023春?宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a(chǎn)＞c＞b
分析：將a、b、c轉(zhuǎn)化為同底數(shù)形式，即可比較大?。?br>【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122；
∴3124＞3123＞3122，
即a＞b＞c．
故選：A．
【變式2-1】（2023春?晉州市期中）閱讀：已知正整數(shù)a，b，c，若對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)冪ab和ac（a≠1），當(dāng)b＞c時(shí)，則有ab＞ac；若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a＞c時(shí)，則有ab＞cb，根據(jù)上述材料，回答下列問(wèn)題．
（1）比較大?。?20 ＞ 420，961 ＜ 2741；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）比較233與322的大??；
（3）比較312×510與310×512的大?。甗注（2），（3）寫出比較的具體過(guò)程]
分析：（1）根據(jù)“同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a＞c時(shí)，則有ab＞cb，”即可比較520，420的大小；根據(jù)“對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)暴ab和ac（a≠1），當(dāng)b＞c時(shí)，則有ab＞ac”，即可比較961，2741的大?。?br>（2）據(jù)“對(duì)于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個(gè)暴ab和ac（a≠1），當(dāng)b＞c時(shí)，則有ab＞ac”，即可比較233與322的大小；
（3）利用作商法，即可比較312×510與310×512的大?。?br>【解答】解：（1）∵5＞4，
∴520＞420，
∵961＝（32）61＝3122，2741＝（33）41＝3123，122＜123，
∴961＜2741，
故答案為：＞，＜；
（2））∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，8＜9，
∴233＜322；
（3）∵312×510310×512=3252=925，
∴312×510＜310×512．
【變式2-2】（2023秋?濱城區(qū)月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．a(chǎn)＜b＜cD．b＞a＞c
分析：把a(bǔ)，b，c化成以2為底數(shù)的冪的形式，再進(jìn)行大小比較即可．
【解答】解：∵a＝3231＝（25）31＝2155，b＝1641＝（24）41＝2164，c＝821＝（23）21＝263，
∴c＜a＜b．
故選：D．
【變式2-3】（2023春?泰興市校級(jí)月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，試比較a、b、c、d的大?。▽懗鲞^(guò)程）
分析：首先原式變形為a＝32111，b＝81111，c＝64111，d＝25111，根據(jù)指數(shù)相同，由底數(shù)的大小就可以確定數(shù)的大?。?br>【解答】解：∵a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，
∴a＝（25）111，b＝（34）111，c＝（43）111，d＝（52）111，
∴a＝32111，b＝81111，c＝64111，d＝25111．
∵81＞64＞32＞25，
∴81111＞64111＞32111＞25111，
∴b＞c＞a＞d．
【題型3 冪的運(yùn)算法則逆用（求代數(shù)式的值）】
【例3】（2023春?巨野縣期中）已知：52n＝a，9n＝b，則154n＝ a2b2 ．
分析：將15寫成3×5，根據(jù)積的乘方得到154n＝（3×5）4n＝34n×54n，再根據(jù)冪的乘方變形即可得出答案．
【解答】解：∵9n＝b，
∴（32）n＝b，
∴32n＝b，
∴154n
＝（3×5）4n
＝34n×54n
＝（32n）2×（52n）2
＝b2a2
＝a2b2．
故答案為：a2b2．
【變式3-1】（2023秋?西青區(qū)期末）若2x＝a，16y＝b，則22x+4y的值為 a2b ．
分析：根據(jù)同底數(shù)冪相乘，冪的乘方的逆運(yùn)算可進(jìn)行求解．
【解答】解：∵22x+4y＝22x?24y，
＝（2x）2?（24）y．
＝（2x）2?16y，
將2x＝a，16y＝b代入，
∴原式＝a2b，
故答案為：a2b．
【變式3-2】（2023春?蕭山區(qū)期中）若xm＝5，xn=14，則x2m﹣n＝（ ）
A．52B．40C．254D．100
分析：直接利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【解答】解：∵xm＝5，xn=14，
∴x2m﹣n＝（xm）2÷xn
＝25÷14
＝100．
故選：D．
【變式3-3】（2023春?高新區(qū)校級(jí)月考）已知32m＝a，27n＝b．求：
（1）34m的值；
（2）33n的值；
（3）34m﹣6n的值．
分析：（1）34m＝（32m）2，然后代入計(jì)算即可；
（2）27n變形為底數(shù)為3的冪的形式即可；
（3）逆用同底數(shù)冪的除法公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）34m＝（32m）2＝a2．
（2）∵27n＝b，
∴33n＝b．
（3）34m﹣6n＝34m÷36n＝a2÷b2=a2b2．
【題型4 冪的運(yùn)算法則逆用（整體代入）】
【例4】（2023?鐵嶺模擬）若a+3b﹣2＝0，則3a?27b＝ 9 ．
分析：根據(jù)冪的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則得出即可．
【解答】解：∵a+3b﹣2＝0，
∴a+3b＝2，
則3a?27b＝3a×33b＝3a+3b＝32＝9．
故答案為：9
【變式4-1】（2023秋?淇濱區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)3m+2n﹣3＝0時(shí)，則8m?4n＝ 8 ．
分析：先變成同底數(shù)冪的乘法，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，最后代入求出即可．
【解答】解：∵3m+2n﹣3＝0，
∴3m+2n＝3，
∴8m?4n
＝（23）m×（22）n
＝23m×22n
＝23m+2n
＝23
＝8，
故答案為：8．
【變式4-2】（2023春?東臺(tái)市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，則2a÷4b×(18)c的值是 4 ．
分析：先將原式變形為同底數(shù)冪的形式，然后再依據(jù)同底數(shù)冪的除法和乘法法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝2a÷22b×2﹣3c＝2a﹣2b﹣3c＝22＝4．
故答案為：4．
【變式4-3】（2023春?昌平區(qū)期末）若5x﹣2y﹣2＝0，則105x÷102y＝ 100 ．
分析：根據(jù)移項(xiàng)，可得（5x﹣2y）的值，根據(jù)同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，可得答案．
【解答】解：移項(xiàng)，得
5x﹣2y＝2．
105x÷102y＝105x﹣2y＝102＝100，
故答案為：100．
【題型5 冪的運(yùn)算法則逆用（求參）】
【例5】（2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）若a5?（ay）3＝a17，則y＝ 4 ，若3×9m×27m＝311，則m的值為 2 ．
分析：先利用冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算a5?（ay）3、3×9m×27m，再根據(jù)底數(shù)與指數(shù)分別相等時(shí)冪也相等得方程，求解即可．
【解答】解：∵a5?（ay）3＝a5×a3y＝a5+3y，
∴a5+3y＝a17．
∴5+3y＝17．
∴y＝4．
∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+5m，
∴31+5m＝311．
∴1+5m＝11．
∴m＝2．
故答案為：4；2．
【變式5-1】（2023春?建湖縣期中）規(guī)定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，則x的值為 3 ．
分析：把相應(yīng)的值代入新定義的運(yùn)算，利用同底數(shù)冪的乘法的法則進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵2*（x+1）＝64，
∴22×2x+1＝26，
則22+x+1＝26，
∴2+x+1＝6，
解得：x＝3．
故答案為：3．
【變式5-2】（2023秋?衛(wèi)輝市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，則n﹣m＝ 5 ．
分析：直接利用冪的乘方運(yùn)算法則將原式變形進(jìn)而得出m，n的值即可．
【解答】解：∵2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，
∴2m＝22n﹣2，33n＝3m﹣1，
故m=2n?23n=m?1，
解得：m=?8n=?3，
故n﹣m＝5．
故答案為：5．
【變式5-3】（2023春?興化市期中）若（2m）2?23n＝84，其中m、n都是自然數(shù)，則符合條件m、n的值有 3 組．
分析：先根據(jù)冪的乘方進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算，求出2m+3n＝12，再求出二元一次方程的正整數(shù)解即可．
【解答】解：（2m）2?23n＝84，
22m?23n＝（23）4，
22m+3n＝212，
2m+3n＝12，
m＝6?32n，
∵m，n都是自然數(shù)，
∴6?32n≥0，n≥0，
∴0≤n≤4，
∴整數(shù)n為0，1，2，3，4，
當(dāng)n＝0時(shí)，m＝6，
當(dāng)n＝1時(shí)，m=92，
當(dāng)n＝2時(shí)，m＝3，
當(dāng)n＝3時(shí)，m=32，
當(dāng)n＝4時(shí)，m＝0，
即符合條件的m，n的值有3組，
故答案為：3．
【題型6 冪的運(yùn)算法則逆用（代數(shù)式的表示）】
【例6】（2023秋?崇川區(qū)校級(jí)期中）若a2m+3y=am+1x=1．
（1）請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y；
（2）如果x＝4，求此時(shí)y的值．
分析：（1）由已知等式得出x＝am+1，y＝a2m+3，再將am＝x﹣1代入y＝a2m+3＝（am）2+3，整理即可得；
（2）將x＝4代入整理后的y關(guān)于x的代數(shù)式即可得．
【解答】解：（1）∵a2m+3y=am+1x=1，
∴x＝am+1，y＝a2m+3，
則am＝x﹣1，
∴y＝a2m+3
＝（am）2+3
＝（x﹣1）2+3
＝x2﹣2x+4，
即y＝x2﹣2x+4；
（2）當(dāng)x＝4時(shí)，y＝16﹣2×4+4
＝16﹣8+4
＝12．
【變式6-1】（2023?高新區(qū)校級(jí)三模）已知m＝89，n＝98，試用含m，n的式子表示7272．
分析：利用冪的乘方與積的乘方的法則把7272變形為（89）8×（98）9，再把m＝89，n＝98代入即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵m＝89，n＝98，
∴7272
＝（8×9）72
＝872×972
＝（89）8×（98）9
＝m8n9．
【變式6-2】（2023?高新區(qū)校級(jí)三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代數(shù)式表示y．
（2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代數(shù)式表示y．
分析：（1）根據(jù)冪的乘方以及完全平方公式解答即可；
（2）根據(jù)冪的乘方法則解答即可．
【解答】解：（1）∵x＝2m+1，
∴2m＝x﹣1
∴y＝3+4m＝3+（2m）2＝3+（x﹣1）2＝3+x2﹣2x+1＝x2﹣2x+4；
（2）∵x＝2m+1，
∴2m=x2，
y＝3+4m=3+(2m)2=3+(x2)2=3+x24=12+x24．
【變式6-3】（2023春?新泰市期末）若am＝an（a＞0，a≠1，m、n都是正整數(shù)），則m＝n，利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題：
（1）如果2x?23＝32，求x的值；
（2）如果2÷8x?16x＝25，求x的值；
（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代數(shù)式表示y．
分析：根據(jù)冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵2x?23＝32，
∴2x+3＝25，
∴x+3＝5，
∴x＝2；
（2）∵2÷8x?16x＝25，
∴2÷23x?24x＝25，
∴21﹣3x+4x＝25，
∴1+x＝5，
∴x＝4；
（3）∵x＝5m﹣2，
∴5m＝x+2，
∵y＝3﹣25m，
∴y＝3﹣（5m）2，
∴y＝3﹣（x+2）2＝﹣x2﹣4x﹣1．
【題型7 冪的運(yùn)算法則（混合運(yùn)算）】
【例7】（2023春?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）（﹣a）2?a3
（2）（﹣8）2013?（18）2014
（3）xn?xn+1+x2n?x（n是正整數(shù)）
（ 4 ）（a2?a3）4．
分析：結(jié)合冪的乘方與積的乘方的概念和運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）原式＝a2?a3
＝a2+3
＝a5．
（2）原式＝[（﹣8）×18]2013?18
＝（﹣1）2013?18
=?18．
（3）原式＝x2n+1+x2n+1
＝2x2n+1．
（4）原式＝（a5）4
＝a20．
【變式7-1】（2023秋?道外區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）y3?y2?y
（2）（x3）4?x2
（3）（ a4?a2）3?（﹣a）5
（4）（﹣3a2）3﹣a?a5+（4a3）2．
分析：（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法求出即可；
（2）先算乘方，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法求出即可；
（3）先算乘方，再算乘法即可；
（4）先算乘方和乘法，再合并同類項(xiàng)即可．
【解答】解：（1）y3?y2?y＝y(tǒng)6；
（2）（x3）4?x2＝x12?x2＝x14；
（3）（ a4?a2）3?（﹣a）5
＝a12?a6?（﹣a5）
＝﹣a23；
（4）（﹣3a2）3﹣a?a5+（4a3）2
＝﹣27a6﹣a6+16a6
＝﹣12a6．
【變式7-2】（2023春?太倉(cāng)市期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題
（1）（45）2015×（﹣1.25）2016．
（2）（318）12×（825）11×（﹣2）3．
分析：（1）將（﹣1.25）2016寫成（?54）2015×(?54)，再利用積的乘方計(jì)算即可；
（2）將（318）12寫成（258）11×258，再運(yùn)用乘法結(jié)合律與積的乘方計(jì)算即可．
【解答】解：（1）(45)2015×(?1.25)2016
=(45)2015×(?54)2015×(?54)
＝[45×(?54)]2015×（?54）
＝﹣1×（?54）
=54；
（2）原式=258×（258）11×（825）11×（﹣8）
＝﹣25×(258×825)11
＝﹣25．
【變式7-3】（2023春?漳浦縣期中）計(jì)算
（1）（m﹣n）2?（n﹣m）3?（n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3?a3+（2a3）2；
（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2?a]．
分析：（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法計(jì)算即可；
（2）根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的除法計(jì)算即可；
（3）根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法和合并同類項(xiàng)解答即可；
（4）根據(jù)積的乘方和同底數(shù)冪的除法計(jì)算即可．
【解答】解：（1）（m﹣n）2?（n﹣m）3?（n﹣m）4
＝（n﹣m）2+3+4，
＝（n﹣m）9；
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
＝b6n?b12n÷b5n+5
＝b6n+12n﹣5n﹣5
＝b13n﹣5；
（3）（a2）3﹣a3?a3+（2a3）2
＝a6﹣a6+4a6
＝4a6；
（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2?a]
＝﹣64a3m+3÷8a2m+1
＝﹣8am+2
【題型8 冪的運(yùn)算法則（新定義問(wèn)題）】
【例8】（2023春?大竹縣校級(jí)期中）我們知道，同底數(shù)冪的乘法法則為am?an＝am+n（其中a≠0，m、n為正整數(shù)），類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m、n的一種新運(yùn)算：h（m+n）＝h（m）?h（n）；比如h（2）＝3，則h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）?h（2023）的結(jié)果是（ ）
A．2k+2021B．2k+2022C．kn+1010D．2022k
分析：根據(jù)h（m+n）＝h（m）?h（n），通過(guò)對(duì)所求式子變形，然后根據(jù)同底數(shù)冪的乘法計(jì)算即可解答本題．
【解答】解：∵h(yuǎn)（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）?h（n），
∴h（2n）?h（2023）
＝h(2+2+...+2)︸n個(gè)?h(2+2+...+2)︸1010個(gè)
=?(2)??(2)?...??(2)︸n個(gè)??(2)??(2)?...??(2)︸1010個(gè)
＝kn?k1010
＝kn+1010，
故選：C．
【變式8-1】（2023?蘭山區(qū)二模）一般的，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝lgaN．例如：由于23＝8，所以3是以2為底8的對(duì)數(shù)，記作lg28＝3；由于a1＝a，所以1是以a為底a的對(duì)數(shù)，記作lgaa＝1．對(duì)數(shù)作為一種運(yùn)算，有如下的運(yùn)算性質(zhì)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么（1）lga（M?N）＝lgaM+lgaN；（2）lgaMN=lgaM﹣lgaN；（3）lgaMn＝nlgaM．根據(jù)上面的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算lg2（23×8）﹣lg2165?lg210的結(jié)果是 1 ．
分析：根據(jù)所給的運(yùn)算進(jìn)行求解即可．
【解答】解：lg2（23×8）﹣lg2165?lg210
＝lg223+lg28﹣（lg216﹣lg25）﹣lg210
＝3+3﹣（4﹣lg25）﹣lg210
＝6﹣4+lg25﹣lg210
＝2+lg2510
＝2+lg22﹣1
＝2+（﹣1）
＝1．
故答案為：1．
【變式8-2】（2023春?泰興市期中）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作a※b：如果ac＝b，那么a※b＝c．例如：因?yàn)?2＝9，所以3※9＝2
（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：2※16＝ 4 ， ±6 ※136=?2，
（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：3n※4n＝3※4，小明給出了如下的證明：
設(shè)3n※4n＝x，則（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n
所以3x＝4，即3※4＝x，
所以3n※4n＝3※4．
請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法解決下列問(wèn)題：
①證明：6※7+6※9＝6※63；
②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝ （x﹣1） ※ （y2﹣y﹣2） （結(jié)果化成最簡(jiǎn)形式）．
分析：（1）規(guī)定：如果ac＝b，那么a※b＝c．即可進(jìn)行求解．
（2）①設(shè)6※7＝x，6※9＝y(tǒng)，則6x+y＝63，易得6※63＝x+y，即可得證．
②根據(jù)①中的結(jié)論：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴2※16＝4，
∵6?2=136，(?6)?2=136
∴6※136=?2，（﹣6）※136=?2，
故答案為：4，±6．
（2）①設(shè)6※7＝x，6※9＝y(tǒng)，
∴6x＝7，6y＝9，
∴6x?6y＝6x+y＝7×9＝63，
∴6x+y＝63，
∴6※63＝x+y，
∵6※7+6※9＝6※63．
②根據(jù)①中的結(jié)論，
得（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝（x﹣1）※[（y+1）×（y﹣2）]＝（x﹣1）※（y2﹣y﹣2）．
故答案為：（x﹣1），（y2﹣y﹣2）．
【變式8-3】（2023秋?南寧期末）規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．我們叫（a，b）為“雅對(duì)”．
例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我們還可以利用“雅對(duì)”定義證明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．證明如下：
設(shè)（3，3）＝m，（3，5）＝n，則3m＝3，3n＝5．
∴3m?3n＝3m+n＝3×5＝15．
∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．
（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，4）＝ 2 ； （5，25）＝ 2 ； （3，27）＝ 3 ．
（2）計(jì)算：（5，2）+（5，7）＝ （5，14） ，并說(shuō)明理由．
（3）記（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求證：a+b＝c．
分析：（1）根據(jù)上述規(guī)定即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)（5，2）＝x，（5，7）＝y(tǒng)，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求解；
（3）根據(jù)新定義可得3a×3b＝3c，由此可得答案．
【解答】解：（1）∵22＝4，
∴（2，4）＝2；
∵52＝25，
∴（5，25）＝2；
∵33＝27，
∴（3，27）＝3；
故答案為：2，2，3．
（2）設(shè)（5，2）＝x，（5，7）＝y(tǒng)，
則5x＝2，5y＝7，
∴5x+y＝5x?5y＝14，
∴（5，14）＝x+y，
∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）．
故答案為：（5，14）；
（3）∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a+b＝c．

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