TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24494" 【題型1 整式乘法中的求值問(wèn)題】 PAGEREF _Tc24494 \h 1
\l "_Tc25412" 【題型2 整式乘法中的不含某項(xiàng)問(wèn)題】 PAGEREF _Tc25412 \h 2
\l "_Tc1011" 【題型3 整式乘法中的錯(cuò)看問(wèn)題】 PAGEREF _Tc1011 \h 2
\l "_Tc13122" 【題型4 整式乘法中的遮擋問(wèn)題】 PAGEREF _Tc13122 \h 2
\l "_Tc30257" 【題型5 整式乘法的計(jì)算】 PAGEREF _Tc30257 \h 3
\l "_Tc27652" 【題型6 整式乘法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc27652 \h 3
\l "_Tc31513" 【題型7 整式除法的運(yùn)算與求值】 PAGEREF _Tc31513 \h 4
\l "_Tc14044" 【題型8 整式除法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc14044 \h 5
\l "_Tc22651" 【題型9 整式乘法中的新定義】 PAGEREF _Tc22651 \h 6
\l "_Tc1308" 【題型10 整式乘法中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc1308 \h 7
【知識(shí)點(diǎn)1 整式的乘法】
【題型1 整式乘法中的求值問(wèn)題】
【例1】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n為整數(shù)），則a的值可能是（ ）
A．7B．﹣7C．8D．﹣9
【變式1-1】（2023春?汝州市校級(jí)月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，則代數(shù)式（k﹣p）2的值為（ ）
A．98B．49C．14D．7
【變式1-2】（2023春?諸暨市期末）若A、B、C均為整式，如果A?B＝C，則稱A能整除C，例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣7，則k的值為（ ）
A．?73B．?23C．43D．23
【變式1-3】（2023春?江都區(qū)期中）如果（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12（其中a，b都是整數(shù)），那么m可取的值共有（ ）
A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)
【題型2 整式乘法中的不含某項(xiàng)問(wèn)題】
【例2】（2023秋?黔江區(qū)期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展開(kāi)式中不含x2項(xiàng)，則a的值等于（ ）
A．﹣6B．6C．14D．﹣14
【變式2-1】（2023春?雙流區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x的代數(shù)式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化簡(jiǎn)后不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．
【變式2-2】（2023秋?耒陽(yáng)市校級(jí)月考）已知多項(xiàng)式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M?N+P的值與x的取值無(wú)關(guān)，求字母a的值．
【變式2-3】（2023春?上城區(qū)期末）若多項(xiàng)式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值與x的取值大小無(wú)關(guān)，那么a，b一定滿足（ ）
A．a(chǎn)＝0且b＝0B．a(chǎn)＝2bC．a(chǎn)b＝0D．a(chǎn)=b2
【題型3 整式乘法中的錯(cuò)看問(wèn)題】
【例3】（2023春?濰坊期末）小明在進(jìn)行兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算時(shí)，不小心把乘以（x﹣2y）錯(cuò)抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到（3x﹣y），則正確的結(jié)果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
【變式3-1】（2023春?蘆溪縣期中）某同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘以﹣2a時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上﹣2a，得到的結(jié)果是a2+2a﹣1，那么正確的計(jì)算結(jié)果是多少？
【變式3-2】（2023秋?云縣期末）在計(jì)算（x+a）（x+b）時(shí)，甲錯(cuò)把b看成了6，得到結(jié)果x2+8x+12；乙錯(cuò)把a(bǔ)看成了﹣a，得到結(jié)果x2+x﹣6．你能正確計(jì)算（x+a）（x+b）嗎？（a、b都是常數(shù)）
【變式3-3】（2023春?河源期末）甲、乙兩人共同計(jì)算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄錯(cuò)了a的符號(hào)，得到的結(jié)果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符號(hào)不抄錯(cuò)，且a＝3，請(qǐng)計(jì)算這道題的正確結(jié)果．
【題型4 整式乘法中的遮擋問(wèn)題】
【例4】（2023秋?天津期末）在一次數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，小明回家后，拿出課堂筆記本復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)這樣一道題：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你認(rèn)為“□”內(nèi)應(yīng)填寫（ ）
A．9x2B．﹣9x2C．9xD．﹣9x
【變式4-1】（2023秋?河南月考）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，放學(xué)回到家，小明拿出課堂筆記復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)一道題：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫（ ）
A．+21xyB．﹣21xyC．﹣3D．﹣10xy
【變式4-2】（2023春?江都區(qū)期中）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，放學(xué)后，小華回到家拿出課堂筆記，認(rèn)真復(fù)習(xí)老師課上講的內(nèi)容，他突然發(fā)現(xiàn)一道題3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣3x2y，空格的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為橫線上應(yīng)填寫 ．
【變式4-3】（2023秋?岳麓區(qū)校級(jí)期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄臟了看不清楚的兩處，請(qǐng)求出m2+6mn+9n2的值．
【題型5 整式乘法的計(jì)算】
【例5】（2023春?冠縣期中）計(jì)算：
（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2
（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]．
【變式5-1】（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）求（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）的值，其中x＝﹣2．
【變式5-2】（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）12x(4?2x)?2（3﹣2x）（4x+1）．
【變式5-3】（2023春?海陵區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．
【題型6 整式乘法的應(yīng)用】
【例6】（2023春?杭州期中）如圖，正方形卡片A類、B類和長(zhǎng)方形卡片C類各若干張，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為（2a+3b），寬為（a+2b）的大長(zhǎng)方形，則需要A類、B類和C類卡片的張數(shù)分別為（ ）
A．2，8，5B．3，8，6C．3，7，5D．2，6，7
【變式6-1】（2023春?吳江區(qū)期末）從前，古希臘一位莊園主把一塊長(zhǎng)為a米，寬為b米（a＞b＞100）的長(zhǎng)方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對(duì)張老漢說(shuō)：“我把這塊地的長(zhǎng)增加10米，寬減少10米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒(méi)有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺(jué)得張老漢的租地面積會(huì)（ ）
A．變小了B．變大了C．沒(méi)有變化D．無(wú)法確定
【變式6-2】（2023秋?安溪縣期中）如圖1，在某住房小區(qū)的建設(shè)中，為了提高業(yè)主的宜居環(huán)境，小區(qū)準(zhǔn)備在一個(gè)長(zhǎng)為（4a+3b）米，寬為（2a+3b）米的長(zhǎng)方形草坪上修建一橫一豎，寬度均為b米的通道．
（1）通道的面積共有多少平方米？
（2）若修兩橫一豎，寬度均為b米的通道（如圖2），已知a＝2b，剩余草坪的面積是162平方米，求通道的寬度是多少米？
【變式6-3】（2023春?蓮湖區(qū)期末）已知有甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的邊長(zhǎng)如圖所示，面積分別為S1，S2．
（1）S1與S2的大小關(guān)系為：S1 S2．
（2）若一個(gè)正方形的周長(zhǎng)與甲的周長(zhǎng)相等．
①求該正方形的邊長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）．
②若該正方形的面積為S3，試探究：S3與S2的差（即S3﹣S2）是否為常數(shù)？若為常數(shù)，求出這個(gè)常數(shù)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【知識(shí)點(diǎn)2 整式的除法】
【題型7 整式除法的運(yùn)算與求值】
【例7】（2023?襄都區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）先化簡(jiǎn)，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，y=125．
【變式7-1】（2023春?秀洲區(qū)校級(jí)月考）若等式（6a3+3a2）÷（6a）＝（a+1）（a+2）成立，則a的值為 ．
【變式7-2】（2023春?蕭山區(qū)月考）若A與?12ab的積為?4a3b3+3a2b2?12ab，則A為（ ）
A．﹣8a2b2+6ab﹣1B．?2a2b2+32ab+14
C．8a2b2﹣6ab+1D．2a2b2?32ab+1
【變式7-3】（2023·四川·石室佳興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式2x2﹣4x﹣1除以一個(gè)多項(xiàng)式A，得商式為2x，余式為x﹣1，則這個(gè)多項(xiàng)式A＝_____．
【題型8 整式除法的應(yīng)用】
【例8】（2023秋?渝中區(qū)校級(jí)期中）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件，其中，配件①是由大、小兩個(gè)長(zhǎng)方體構(gòu)成的，大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：52a、2a、32a，小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：2a、a、a2；配件②是一個(gè)正方體，其棱長(zhǎng)為a
（1）生產(chǎn)配件①與配件②分別需要多長(zhǎng)體積的原材料（不計(jì)損耗）？
（2）若兩個(gè)配件①與一個(gè)配件②可以用于加工一個(gè)玩具，每個(gè)玩具在市場(chǎng)銷售后可獲利30元，則1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？
【變式8-1】（2023春?撫州期末）如圖1，將一張長(zhǎng)方形紙板四角各切去一個(gè)同樣的正方形，制成如圖2的無(wú)蓋紙盒，若該紙盒的容積為4a2b，則圖2中紙盒底部長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（ ）
A．4abB．8abC．4a+bD．8a+2b
【變式8-2】（2023春?蜀山區(qū)期中）愛(ài)動(dòng)腦筋的麗麗與娜娜在做數(shù)學(xué)小游戲，兩人各報(bào)一個(gè)整式，麗麗報(bào)的整式A作被除式，娜娜報(bào)的整式B作除式，要求商式必須為﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）
（1）若麗麗報(bào)的是x3y﹣6xy2，則娜娜應(yīng)報(bào)什么整式？
（2）若娜娜也報(bào)x3y﹣6xy2，則麗麗能報(bào)一個(gè)整式嗎？若能，則是個(gè)什么整式？說(shuō)說(shuō)你的理由．
【變式8-3】（2023秋?思明區(qū)校級(jí)期中）【閱讀材料】多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，可用豎式進(jìn)行演算，步驟如下：
①把被除式、除式按某個(gè)字母作降冪排列，并把所缺的項(xiàng)用零補(bǔ)齊（或留出空白）；
②用被除式的第一項(xiàng)去除除式第一項(xiàng)，得到商式的第一項(xiàng)，寫再被除式的同次冪上方；
③用商式的第一項(xiàng)去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項(xiàng)對(duì)齊），從被除式中減去這個(gè)積；
④把減得的差當(dāng)作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)為止，被除式＝除式×商式+余式，若余式為零，說(shuō)明這個(gè)多項(xiàng)式能被另一個(gè)多項(xiàng)式整除．
例如：計(jì)算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用豎式演算如圖．
所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式為2x3+x+5，余式為﹣3x+5．
（1）計(jì)算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式為 ，余式為 ；
（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．
【題型9 整式乘法中的新定義】
【例9】（2023秋?夏津縣期中）閱讀并解決其后的問(wèn)題：
我們將四個(gè)有理數(shù)a，b，c，d寫成abcd|的形式，稱它為由有理數(shù)a，b，c，d組成的二階矩陣，a，b，c，d為構(gòu)成這個(gè)矩陣的元素，我們定義矩陣的運(yùn)算為：abcd|=ad﹣bc，對(duì)于兩個(gè)矩陣相加我們定義為：abcd|+mnxy|=a+mb+nc+xd+y|，下面是兩個(gè)二階矩陣的加法運(yùn)算過(guò)程：2?335|+?2?41?1|=2+(?2)(?3)+(?4)3+15+(?1)|=0?744|=0×4﹣4×（﹣7）＝28．
（1）計(jì)算17?562|+?151216?8|+?151216?8的值；
（2）計(jì)算2x?3x+225x?7|+?2x4x+862x+3|+?2x4x+862x+3．
【變式9-1】（2023秋?蘭陵縣期中）定義：若A﹣B＝1，則稱A與B是關(guān)于1的單位數(shù)．
（1）3與 是關(guān)于1的單位數(shù)，x﹣3與 是關(guān)于1的單位數(shù)．（填一個(gè)含x的式子）
（2）若A＝3x（x+2）﹣1，B=2(32x2+3x?1)，判斷A與B是否是關(guān)于1的單位數(shù)，并說(shuō)明理由．
【變式9-2】（2023?順平縣二模）如果一個(gè)兩位數(shù)a的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字都不是零，且互不相同，我們稱這個(gè)兩位數(shù)為“跟斗數(shù)”，定義新運(yùn)算：將一個(gè)“跟斗數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，把這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記ω（a），例如：a＝13，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)31，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和，31+13＝44，和與11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題：
（1）計(jì)算：ω（23）＝ ．
（2）若一個(gè)“跟斗數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個(gè)位數(shù)字是2（k+1），且ω（b）＝8，則“跟斗數(shù)”b＝ ．
（3）若m，n都是“跟斗數(shù)”，且m+n＝100，則ω（m）+ω（n）＝ ．
【變式9-3】（2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬）閱讀以下材料：
材料一：如果兩個(gè)兩位數(shù)ab，cd，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后得到兩個(gè)完全不同的新數(shù)ba，dc，這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換后的兩個(gè)兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)”．
例如：46×96＝64×69＝4416，所以，46和96是一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)”，
材料二：在進(jìn)行一些數(shù)學(xué)式計(jì)算時(shí)，我們可以把某一單項(xiàng)式或多項(xiàng)式看作一個(gè)整體，運(yùn)用整體換元，使得運(yùn)算更簡(jiǎn)單．
例如：計(jì)算（x2+3x﹣1）（x2+3x﹣8），令：（x2+3x）＝A，
原式＝（A﹣1）（A﹣8）＝A2﹣9A+8＝（x2+3x）2﹣9（x2+3x）+8
＝x4+6x3﹣27x+8
解決如下問(wèn)題：
（1）①請(qǐng)任寫一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)” 和 ．
②并探究“有緣數(shù)對(duì)”ab和cd，a，b，c，d之間滿足怎樣的等量關(guān)系．并寫出證明過(guò)程．
（2）若兩個(gè)兩位數(shù)（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）與（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)”，請(qǐng)求出這兩個(gè)兩位數(shù)．
【題型10 整式乘法中的規(guī)律探究】
【例10】（2023春?江都區(qū)期中）探究規(guī)律，并回答問(wèn)題：
（1）運(yùn)用多項(xiàng)式乘法，計(jì)算下列各題：
①（x+2）（x+3）＝ ；
②（x+2）（x﹣3）＝ ；
③（x﹣3）（x﹣1）＝ ；
（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，則p＝ ，q＝ ；
（3）根據(jù)此規(guī)律，直接寫出以下結(jié)果：
①（x+5）（x+7）＝ ；
②（t+2）（t﹣1）＝ ．
【變式10-1】（2023春?永豐縣期末）探究發(fā)現(xiàn)：在數(shù)學(xué)中，有些大數(shù)值問(wèn)題可以通過(guò)用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問(wèn)題來(lái)解決．
閱讀解答：比較20182019×20182016與20182017×20182018的大小．
解：設(shè)20182017＝a，那么20182019×20182016＝（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2；20182017×20182018＝a2+a．
因?yàn)閍2+a﹣2 a2+a（填＜＞、或＝），
所以20182019×20182016 20182017×20182018（填＜、＞、或＝）．
問(wèn)題解決：化簡(jiǎn)求代數(shù)式的值．
（m+22.2018）（m+14.2018）﹣（m+18.2018）（m+17.2018），其中m＝2016．
【變式10-2】（2023春?包河區(qū)期末）探究規(guī)律，解決問(wèn)題：
（1）化簡(jiǎn)：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．
（2）化簡(jiǎn)：（m﹣1）（m3+m2+m+1），寫出化簡(jiǎn)過(guò)程．
（3）化簡(jiǎn)：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ ．（n為正整數(shù)，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1為n+1項(xiàng)多項(xiàng)式）
（4）利用以上結(jié)果，計(jì)算1+3+32+33+…+3100的值．
【變式10-3】（2023春?雅安期末）已知x≠1．觀察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝ ；
（2）應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝ ；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝ ．
（3）判斷2100+299+298+…+22+2+1的值的個(gè)位數(shù)是幾？并說(shuō)明你的理由．單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：系數(shù)相乘，字母相乘．
單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：乘法分配律．
多項(xiàng)式×多項(xiàng)式：乘法分配律．
單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：系數(shù)相除，字母相除．
多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：除法性質(zhì)．
多項(xiàng)式÷多項(xiàng)式：大除法．
專題8.2 整式的乘法【十大題型】
【滬科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc24494" 【題型1 整式乘法中的求值問(wèn)題】 PAGEREF _Tc24494 \h 1
\l "_Tc25412" 【題型2 整式乘法中的不含某項(xiàng)問(wèn)題】 PAGEREF _Tc25412 \h 3
\l "_Tc1011" 【題型3 整式乘法中的錯(cuò)看問(wèn)題】 PAGEREF _Tc1011 \h 4
\l "_Tc13122" 【題型4 整式乘法中的遮擋問(wèn)題】 PAGEREF _Tc13122 \h 6
\l "_Tc30257" 【題型5 整式乘法的計(jì)算】 PAGEREF _Tc30257 \h 7
\l "_Tc27652" 【題型6 整式乘法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc27652 \h 8
\l "_Tc31513" 【題型7 整式除法的運(yùn)算與求值】 PAGEREF _Tc31513 \h 11
\l "_Tc14044" 【題型8 整式除法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc14044 \h 13
\l "_Tc22651" 【題型9 整式乘法中的新定義】 PAGEREF _Tc22651 \h 16
\l "_Tc1308" 【題型10 整式乘法中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc1308 \h 20
【知識(shí)點(diǎn)1 整式的乘法】
【題型1 整式乘法中的求值問(wèn)題】
【例1】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n為整數(shù)），則a的值可能是（ ）
A．7B．﹣7C．8D．﹣9
分析：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd解決此題．
【解答】解：（x+m）（x﹣n）＝x2﹣nx+mx﹣mn＝x2+（m﹣n）x﹣mn．
∵（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n為整數(shù)），
∴m﹣n＝a，﹣mn＝7．
∴m＝1，n＝﹣7或m＝﹣1，n＝7或m＝7，n＝﹣1或m＝﹣7，n＝1．
∴a＝m﹣n＝8或﹣8．
故選：C．
【變式1-1】（2023春?汝州市校級(jí)月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，則代數(shù)式（k﹣p）2的值為（ ）
A．98B．49C．14D．7
分析：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則把等式的左邊進(jìn)行計(jì)算后，與等式的右邊對(duì)比，即可求出k和p的值，進(jìn)而即可得出答案．
【解答】解：∵（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，
∴15x﹣5x2+6﹣2x＝﹣5x2+kx+p，
∴﹣5x2+13x+6＝﹣5x2+kx+p，
∴k＝13，p＝6，
∴（k﹣p）2＝（13﹣6）2＝72＝49，
故選：B．
【變式1-2】（2023春?諸暨市期末）若A、B、C均為整式，如果A?B＝C，則稱A能整除C，例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣7，則k的值為（ ）
A．?73B．?23C．43D．23
分析：利用給出的定義進(jìn)行整式的相關(guān)運(yùn)算，求出k的值．
【解答】解：由題意可令（x﹣3）（x+a）＝x2+kx﹣7，
∴x2+（a﹣3）x﹣3a＝x2+kx﹣7，
∴﹣3a＝﹣7，a=73，
a﹣3＝k，k=73?3=?23．
故選：B．
【變式1-3】（2023春?江都區(qū)期中）如果（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12（其中a，b都是整數(shù)），那么m可取的值共有（ ）
A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)
分析：直接利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式分析得出答案．
【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12，
∴當(dāng)a＝1，b＝﹣12時(shí)，m＝﹣11；
當(dāng)a＝﹣1，b＝12時(shí)，m＝11；
當(dāng)a＝2，b＝﹣6時(shí)，m＝﹣4；
當(dāng)a＝﹣2，b＝6時(shí)，m＝4；
當(dāng)a＝3，b＝﹣4時(shí)，m＝﹣1；
當(dāng)a＝﹣3，b＝4時(shí)，m＝1；
故m的值共6個(gè)．
故選：C．
【題型2 整式乘法中的不含某項(xiàng)問(wèn)題】
【例2】（2023秋?黔江區(qū)期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展開(kāi)式中不含x2項(xiàng)，則a的值等于（ ）
A．﹣6B．6C．14D．﹣14
分析：根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行展開(kāi)，然后按照x的降序排列，使x的二次項(xiàng)的系數(shù)為0即可．
【解答】解：（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）
＝2x4﹣ax3﹣4x2﹣2x3+ax2+4x+10x2﹣5ax﹣20
＝2x4﹣（a+2）x3+（a+6）x2+（4﹣5a）x﹣20，
∵展開(kāi)式中不含x2項(xiàng)，
∴a+6＝0，
∴a＝﹣6，
故選：A．
【變式2-1】（2023春?雙流區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x的代數(shù)式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化簡(jiǎn)后不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．
分析：先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則化簡(jiǎn)整式，再根據(jù)化簡(jiǎn)后不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)求出a、m，代入方程an+mn＝﹣5求出n，最后求出﹣4n2+3m的值．
【解答】解：（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m
＝2ax2﹣6x+ax﹣3﹣4x2+m
＝（2a﹣4）x2+（a﹣6）x+m﹣3．
∵化簡(jiǎn)后不含有x2項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，
∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0．
∴a＝2，m＝3．
∵an+mn＝﹣5，
∴2n+3n＝﹣5．
∴n＝﹣1．
∴﹣4n2+3m
＝﹣4×（﹣1）2+3×3
＝﹣4×1+9
＝﹣4+9
＝5．
【變式2-2】（2023秋?耒陽(yáng)市校級(jí)月考）已知多項(xiàng)式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M?N+P的值與x的取值無(wú)關(guān)，求字母a的值．
分析：根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．
【解答】解：M?N+P＝（x2+5x﹣a）（﹣x+2）+（x3+3x2+5）
＝﹣x3+2x2﹣5x2+10x+ax﹣2a+x3+3x2+5
＝（10+a）x﹣2a+5，
由題意得，10+a＝0，
解得，a＝﹣10．
【變式2-3】（2023春?上城區(qū)期末）若多項(xiàng)式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值與x的取值大小無(wú)關(guān)，那么a，b一定滿足（ ）
A．a(chǎn)＝0且b＝0B．a(chǎn)＝2bC．a(chǎn)b＝0D．a(chǎn)=b2
分析：根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)題意列出算式，計(jì)算即可．
【解答】解：x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4
＝x2﹣x2﹣2bx+ax+2ab+4
＝（a﹣2b）x+2ab+4，
∵多項(xiàng)式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值與x的取值大小無(wú)關(guān)，
∴a﹣2b＝0，即a＝2b，
故選：B．
【題型3 整式乘法中的錯(cuò)看問(wèn)題】
【例3】（2023春?濰坊期末）小明在進(jìn)行兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算時(shí)，不小心把乘以（x﹣2y）錯(cuò)抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到（3x﹣y），則正確的結(jié)果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
分析：直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【解答】解：∵小明在進(jìn)行兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算時(shí)，不小心把乘以（x﹣2y）錯(cuò)抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到（3x﹣y），
∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）
＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2
＝3x2﹣7xy+2y2，
則正確計(jì)算結(jié)果為：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）
＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3
＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．
故選：C．
【變式3-1】（2023春?蘆溪縣期中）某同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘以﹣2a時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上﹣2a，得到的結(jié)果是a2+2a﹣1，那么正確的計(jì)算結(jié)果是多少？
分析：根據(jù)題意首先求出多項(xiàng)式，進(jìn)而利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則求出即可．
【解答】解：∵計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式乘以﹣2a時(shí)，因抄錯(cuò)運(yùn)算符號(hào)，算成了加上﹣2a，得到的結(jié)果是a2+2a﹣1，
∴這個(gè)多項(xiàng)式為：a2+2a﹣1+2a＝a2+4a﹣1，
∴正確的計(jì)算結(jié)果是：﹣2a（a2+4a﹣1）＝﹣2a3﹣8a2+2a．
【變式3-2】（2023秋?云縣期末）在計(jì)算（x+a）（x+b）時(shí)，甲錯(cuò)把b看成了6，得到結(jié)果x2+8x+12；乙錯(cuò)把a(bǔ)看成了﹣a，得到結(jié)果x2+x﹣6．你能正確計(jì)算（x+a）（x+b）嗎？（a、b都是常數(shù)）
分析：根據(jù)甲的做法求出a的值，根據(jù)乙的做法求出b的值，代入原式中計(jì)算即可．
【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
∴6+a＝8，
∴a＝2；
∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，
∴b﹣a＝1，
∴b＝3，
∴（x+a）（a+b）
＝（x+2）（x+3）
＝x2+5x+6．
【變式3-3】（2023春?河源期末）甲、乙兩人共同計(jì)算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄錯(cuò)了a的符號(hào)，得到的結(jié)果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符號(hào)不抄錯(cuò)，且a＝3，請(qǐng)計(jì)算這道題的正確結(jié)果．
分析：（1）按甲乙錯(cuò)誤的說(shuō)法計(jì)算得出的系數(shù)的數(shù)值求出a，b的值；
（2）將a，b的值代入原式求出整式乘法的正確結(jié)果．
【解答】解：（1）甲抄錯(cuò)了a的符號(hào)的計(jì)算結(jié)果為：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
故：對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；
乙漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，計(jì)算結(jié)果為：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．
故：對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等，a+b＝2，ab＝﹣3，
∴?2a+b=?7a+b=2，
解得：a=3b=?1，
∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；
（2）由（1）可知，b＝﹣1正確的計(jì)算結(jié)果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．
【題型4 整式乘法中的遮擋問(wèn)題】
【例4】（2023秋?天津期末）在一次數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，小明回家后，拿出課堂筆記本復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)這樣一道題：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你認(rèn)為“□”內(nèi)應(yīng)填寫（ ）
A．9x2B．﹣9x2C．9xD．﹣9x
分析：根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則計(jì)算可得出答案．
【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
故選：B．
【變式4-1】（2023秋?河南月考）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，放學(xué)回到家，小明拿出課堂筆記復(fù)習(xí)，發(fā)現(xiàn)一道題：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為□內(nèi)應(yīng)填寫（ ）
A．+21xyB．﹣21xyC．﹣3D．﹣10xy
分析：先把等式左邊的式子根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，所得結(jié)果與等式右邊的式子相對(duì)照即可得出結(jié)論．
【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．
故選：A．
【變式4-2】（2023春?江都區(qū)期中）今天數(shù)學(xué)課上，老師講了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，放學(xué)后，小華回到家拿出課堂筆記，認(rèn)真復(fù)習(xí)老師課上講的內(nèi)容，他突然發(fā)現(xiàn)一道題3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣3x3y2 ﹣3x2y，空格的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為橫線上應(yīng)填寫 ﹣3x3y3 ．
分析：直接利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，
∴橫線上應(yīng)填寫﹣3x3y2，
故答案為：﹣3x3y2，﹣3x3y2．
【變式4-3】（2023秋?岳麓區(qū)校級(jí)期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄臟了看不清楚的兩處，請(qǐng)求出m2+6mn+9n2的值．
分析：將（x﹣1）（x2+mx+n）展開(kāi)求得m和n的值后代入代數(shù)式即可求得其值．
【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，
∴m﹣1＝﹣6，n＝6，
∴m＝﹣5，
∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．
【題型5 整式乘法的計(jì)算】
【例5】（2023春?冠縣期中）計(jì)算：
（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2
（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]．
分析：（1）原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；
（2）原式先利用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，再利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣2y）（x+2y）﹣x+2y+4y2＝x2﹣4y2﹣x+2y+4y2＝x2﹣x+2y；
（2）原式＝a2b（a2b4+8a3b3+3a2）＝a4b5+8a5b4+3a4b．
【變式5-1】（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）求（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）的值，其中x＝﹣2．
分析：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則把要求的式子進(jìn)行整理，然后代值計(jì)算即可．
【解答】解：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）
＝2x2﹣x﹣1﹣2（x2﹣3x﹣10）
＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20
＝5x+19，
把x＝﹣2代入原式得：
原式＝5×（﹣2）+19＝﹣10+19＝9．
【變式5-2】（2023秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）12x(4?2x)?2（3﹣2x）（4x+1）．
分析：利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，先算乘方，再加減．
【解答】解：原式=12x?4?12x?2x﹣2（3?4x+3?1﹣2x?4x﹣2x?1）
＝2x﹣x2﹣2（12x+3﹣8x2﹣2x）
＝2x﹣x2﹣24x﹣6+16x2+4x
＝15x2﹣18x﹣6．
【變式5-3】（2023春?海陵區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．
分析：（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y
＝﹣4x3+10x2y；
（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy
＝﹣3x2+xy﹣6y2．
【題型6 整式乘法的應(yīng)用】
【例6】（2023春?杭州期中）如圖，正方形卡片A類、B類和長(zhǎng)方形卡片C類各若干張，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為（2a+3b），寬為（a+2b）的大長(zhǎng)方形，則需要A類、B類和C類卡片的張數(shù)分別為（ ）
A．2，8，5B．3，8，6C．3，7，5D．2，6，7
分析：由（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，得A類卡片的面積為a2，B類卡片的面積為b2，C類卡片的面積為ab，因此需要A類卡片2張，B類卡片6張，C類卡片7張．
【解答】解：長(zhǎng)為（2a+3b），寬為（a+2b）的大長(zhǎng)方形的面積為：（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2，
∵A類卡片的面積為a2，B類卡片的面積為b2，C類卡片的面積為ab，
∴需要A類卡片2張，B類卡片6張，C類卡片7張．
故選：D．
【變式6-1】（2023春?吳江區(qū)期末）從前，古希臘一位莊園主把一塊長(zhǎng)為a米，寬為b米（a＞b＞100）的長(zhǎng)方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對(duì)張老漢說(shuō)：“我把這塊地的長(zhǎng)增加10米，寬減少10米，繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒(méi)有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺(jué)得張老漢的租地面積會(huì)（ ）
A．變小了B．變大了C．沒(méi)有變化D．無(wú)法確定
分析：原面積可列式為ab，第二年按照莊園主的想法則面積變?yōu)椋╝+10）（b﹣10），又a＞b，通過(guò)計(jì)算可知租地面積變小了．
【解答】解：由題意可知：原面積為ab（平方米），
第二年按照莊園主的想法則面積變?yōu)椋╝+10）（b﹣10）＝ab﹣10a+10b﹣100＝[ab﹣10（a﹣b）﹣100]平方米，
∵a＞b，
∴ab﹣10（a﹣b）﹣100＜ab，
∴面積變小了，
故選：A．
【變式6-2】（2023秋?安溪縣期中）如圖1，在某住房小區(qū)的建設(shè)中，為了提高業(yè)主的宜居環(huán)境，小區(qū)準(zhǔn)備在一個(gè)長(zhǎng)為（4a+3b）米，寬為（2a+3b）米的長(zhǎng)方形草坪上修建一橫一豎，寬度均為b米的通道．
（1）通道的面積共有多少平方米？
（2）若修兩橫一豎，寬度均為b米的通道（如圖2），已知a＝2b，剩余草坪的面積是162平方米，求通道的寬度是多少米？
分析：（1）根據(jù)通道的面積＝兩個(gè)長(zhǎng)方形面積﹣中間重疊部分的正方形的面積計(jì)算即可；
（2）根據(jù)剩余草坪的面積＝大長(zhǎng)方形面積﹣通道的面積，求得剩余草坪的面積，再根據(jù)a＝2b，剩余草坪的面積是162平方米，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）S通道＝b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2
＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2
＝（6ab+5b2）平方米，
答：通道的面積共有（6ab+5b2）平方米；
（2）S草坪＝（4a+3b）（2a+3b）﹣[2b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣2b2]
＝8a2+18ab+9b2﹣（4ab+6b2+4ab+3b2﹣2b2）
＝8a2+18ab+9b2﹣8ab﹣7b2
＝8a2+10ab+2b2，
∵a＝2b，
∴8a2+10ab+2b2
＝8×（2b）2+10×2b?b+2b2
＝32b2+20b2+2b2
＝54b2
＝162，
∴b2＝3，
∴b＝±3（負(fù)值舍去）（米）．
答：通道的寬度是3米．
【變式6-3】（2023春?蓮湖區(qū)期末）已知有甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的邊長(zhǎng)如圖所示，面積分別為S1，S2．
（1）S1與S2的大小關(guān)系為：S1 ＜ S2．
（2）若一個(gè)正方形的周長(zhǎng)與甲的周長(zhǎng)相等．
①求該正方形的邊長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）．
②若該正方形的面積為S3，試探究：S3與S2的差（即S3﹣S2）是否為常數(shù)？若為常數(shù)，求出這個(gè)常數(shù)，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列式，然后根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解；
（2）①根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式計(jì)算求解；
②根據(jù)正方形和長(zhǎng)方形的面積公式列式，然后利用整式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解．
【解答】解：（1）由題意：
S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，
S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，
∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，
∴S1＜S2，
故答案為：＜，
（2）①甲的周長(zhǎng)為2（m+2+m+6）＝4m+16，
∵正方形的周長(zhǎng)與甲的周長(zhǎng)相等，
∴正方形的邊長(zhǎng)為4m+164=m+4，
②由①可得，正方形的面積S3＝（m+4）2，
∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）
＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15
＝1，
∴S3與S2的差（即S3﹣S2）是常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是1．
【知識(shí)點(diǎn)2 整式的除法】
【題型7 整式除法的運(yùn)算與求值】
【例7】（2023?襄都區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）先化簡(jiǎn)，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，y=125．
分析：先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，算除法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy
＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷xy
＝﹣x2y2÷xy
＝﹣xy，
當(dāng)x＝﹣10，y=125時(shí)，原式＝﹣（﹣10）×125=25．
【變式7-1】（2023春?秀洲區(qū)校級(jí)月考）若等式（6a3+3a2）÷（6a）＝（a+1）（a+2）成立，則a的值為 ?45 ．
分析：根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則計(jì)算，再解關(guān)于a的方程即可求解．
【解答】解：（6a3+3a2）÷（6a）＝（a+1）（a+2）
a2+12a＝a2+3a+2，
?52a＝2，
解得a=?45．
故答案為：?45．
【變式7-2】（2023春?蕭山區(qū)月考）若A與?12ab的積為?4a3b3+3a2b2?12ab，則A為（ ）
A．﹣8a2b2+6ab﹣1B．?2a2b2+32ab+14
C．8a2b2﹣6ab+1D．2a2b2?32ab+1
分析：由題意可得所求的式子為：（?4a3b3+3a2b2?12ab）÷（?12ab），利用整式的除法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：由題意得：
（?4a3b3+3a2b2?12ab）÷（?12ab）
＝﹣4a3b3÷（?12ab）+3a2b2÷（?12ab）?12ab÷（?12ab）
＝8a2b2﹣6ab+1．
故選：C．
【變式7-3】（2023·四川·石室佳興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式2x2﹣4x﹣1除以一個(gè)多項(xiàng)式A，得商式為2x，余式為x﹣1，則這個(gè)多項(xiàng)式A＝_____．
分析：根據(jù)“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多項(xiàng)式除單項(xiàng)式，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加，計(jì)算即可．
【解答】解：由題意可得：
A=(2x2?4x?1)?(x?1)÷2x
=(2x2?5x)÷2x
=x?52
故答案為：x?52
【題型8 整式除法的應(yīng)用】
【例8】（2023秋?渝中區(qū)校級(jí)期中）某玩具加工廠要制造如圖所示的兩種形狀的玩具配件，其中，配件①是由大、小兩個(gè)長(zhǎng)方體構(gòu)成的，大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：52a、2a、32a，小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為：2a、a、a2；配件②是一個(gè)正方體，其棱長(zhǎng)為a
（1）生產(chǎn)配件①與配件②分別需要多長(zhǎng)體積的原材料（不計(jì)損耗）？
（2）若兩個(gè)配件①與一個(gè)配件②可以用于加工一個(gè)玩具，每個(gè)玩具在市場(chǎng)銷售后可獲利30元，則1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利多少元？
分析：（1）先算出兩個(gè)長(zhǎng)方體的體積，再相加，即可得出配件①的體積，求出棱長(zhǎng)為a的正方體體積，即可得出配件②的體積；
（2）根據(jù)題意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．
【解答】解：（1）生產(chǎn)配件①需要的原材料的體積是：52a?2a?32a+2a?a?a2=172a3；
生產(chǎn)配件②需要的原材料的體積是：a?a?a＝a3；
（2）根據(jù)題意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），
答：1000a3體積的這種原材料可使該廠最多獲利50003元．
【變式8-1】（2023春?撫州期末）如圖1，將一張長(zhǎng)方形紙板四角各切去一個(gè)同樣的正方形，制成如圖2的無(wú)蓋紙盒，若該紙盒的容積為4a2b，則圖2中紙盒底部長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（ ）
A．4abB．8abC．4a+bD．8a+2b
分析：根據(jù)長(zhǎng)方體紙盒的容積等于底面積乘以高，底面積等于底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的乘積可以先求出寬，再計(jì)算紙盒底部長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得
紙盒底部長(zhǎng)方形的寬為4a2bab=4a，
∴紙盒底部長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：2（4a+b）＝8a+2b．
故選：D．
【變式8-2】（2023春?蜀山區(qū)期中）愛(ài)動(dòng)腦筋的麗麗與娜娜在做數(shù)學(xué)小游戲，兩人各報(bào)一個(gè)整式，麗麗報(bào)的整式A作被除式，娜娜報(bào)的整式B作除式，要求商式必須為﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）
（1）若麗麗報(bào)的是x3y﹣6xy2，則娜娜應(yīng)報(bào)什么整式？
（2）若娜娜也報(bào)x3y﹣6xy2，則麗麗能報(bào)一個(gè)整式嗎？若能，則是個(gè)什么整式？說(shuō)說(shuō)你的理由．
分析：根據(jù)A÷B＝﹣3xy，可知：
（1）B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=?13x2+2y；
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；
【解答】解：（1）A＝x3y﹣6xy2，
∴B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=?13x2+2y；
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；
【變式8-3】（2023秋?思明區(qū)校級(jí)期中）【閱讀材料】多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，可用豎式進(jìn)行演算，步驟如下：
①把被除式、除式按某個(gè)字母作降冪排列，并把所缺的項(xiàng)用零補(bǔ)齊（或留出空白）；
②用被除式的第一項(xiàng)去除除式第一項(xiàng)，得到商式的第一項(xiàng)，寫再被除式的同次冪上方；
③用商式的第一項(xiàng)去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項(xiàng)對(duì)齊），從被除式中減去這個(gè)積；
④把減得的差當(dāng)作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)為止，被除式＝除式×商式+余式，若余式為零，說(shuō)明這個(gè)多項(xiàng)式能被另一個(gè)多項(xiàng)式整除．
例如：計(jì)算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用豎式演算如圖．
所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式為2x3+x+5，余式為﹣3x+5．
（1）計(jì)算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式為 2x2﹣7x+18 ，余式為 ﹣41 ；
（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．
分析：（1）根據(jù)整式除法的豎式計(jì)算方法，整體進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)整式除法的豎式計(jì)算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式為0，可以得到a、b的值．
【解答】解：（1）（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）＝2x2﹣7x+18……﹣41，
故答案為：2x2﹣7x+18，﹣41；
（2）由題意得：
∵2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，
∴﹣5﹣（a+10）＝0，b+2（a+10）＝0
即：a＝﹣15，b＝10．
【題型9 整式乘法中的新定義】
【例9】（2023秋?夏津縣期中）閱讀并解決其后的問(wèn)題：
我們將四個(gè)有理數(shù)a，b，c，d寫成abcd|的形式，稱它為由有理數(shù)a，b，c，d組成的二階矩陣，a，b，c，d為構(gòu)成這個(gè)矩陣的元素，我們定義矩陣的運(yùn)算為：abcd|=ad﹣bc，對(duì)于兩個(gè)矩陣相加我們定義為：abcd|+mnxy|=a+mb+nc+xd+y|，下面是兩個(gè)二階矩陣的加法運(yùn)算過(guò)程：2?335|+?2?41?1|=2+(?2)(?3)+(?4)3+15+(?1)|=0?744|=0×4﹣4×（﹣7）＝28．
（1）計(jì)算17?562|+?151216?8|+?151216?8的值；
（2）計(jì)算2x?3x+225x?7|+?2x4x+862x+3|+?2x4x+862x+3．
分析：（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值；
（2）原式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：
原式=17?15?5+126+162?8
=2722?6
＝2×（﹣6）﹣7×22
＝﹣12﹣154
＝﹣166；
（2）根據(jù)題中的新定義得：
原式=2x?3?2xx+2+4x+82+65x?7+2x+3
=?35x+1087x?4
＝﹣3（7x﹣4）﹣8（5x+10）
＝﹣21x+12﹣40x﹣80
＝﹣61x﹣68．
【變式9-1】（2023秋?蘭陵縣期中）定義：若A﹣B＝1，則稱A與B是關(guān)于1的單位數(shù)．
（1）3與 4或2 是關(guān)于1的單位數(shù)，x﹣3與 x﹣4 是關(guān)于1的單位數(shù)．（填一個(gè)含x的式子）
（2）若A＝3x（x+2）﹣1，B=2(32x2+3x?1)，判斷A與B是否是關(guān)于1的單位數(shù)，并說(shuō)明理由．
分析：（1）根據(jù)關(guān)于1的單位數(shù)的定義，計(jì)算和確定3與x﹣3的單位數(shù)；
（2）計(jì)算A﹣B，根據(jù)關(guān)于1的單位數(shù)的定義判斷．
【解答】解：（1）因?yàn)?﹣3＝1，3﹣2＝1，
所以3與4、2是關(guān)于1的單位數(shù)．
設(shè)x﹣3與M是關(guān)于1的單位數(shù)，
即x﹣3﹣M＝1，或M﹣（x﹣3）＝1
所以M＝x﹣4或M＝x﹣2．
故答案為：4或2；x﹣4．
（2）A與B是關(guān)于1的單位數(shù)．
∵A﹣B＝3x（x+2）﹣1﹣2（32x2+3x﹣1）
＝3x2+6x﹣1﹣3x2﹣6x+2
＝1
∴A與B是關(guān)于1的單位數(shù)．
【變式9-2】（2023?順平縣二模）如果一個(gè)兩位數(shù)a的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字都不是零，且互不相同，我們稱這個(gè)兩位數(shù)為“跟斗數(shù)”，定義新運(yùn)算：將一個(gè)“跟斗數(shù)”的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，把這個(gè)新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記ω（a），例如：a＝13，對(duì)調(diào)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)31，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和，31+13＝44，和與11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根據(jù)以上定義，回答下列問(wèn)題：
（1）計(jì)算：ω（23）＝ 5 ．
（2）若一個(gè)“跟斗數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個(gè)位數(shù)字是2（k+1），且ω（b）＝8，則“跟斗數(shù)”b＝ 26 ．
（3）若m，n都是“跟斗數(shù)”，且m+n＝100，則ω（m）+ω（n）＝ 19 ．
分析：（1）根據(jù)題目中“跟斗數(shù)”的定義，可以計(jì)算出f（23）的值；
（2）根據(jù)題意，可以得到關(guān)于k的方程，從而可以求得k的值，然后即可得到b的值；
（3）根據(jù)題意，可以表示出m、n，然后即可計(jì)算出f（m）+f（n）的值．
【解答】解：（1）ω(23)=23+3211=5．
故答案為：5；
（2）∵一個(gè)“跟斗數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個(gè)位數(shù)字是2（k+1），且ω（b）＝8，
∴[10k+2(k+1)]+[10×2(k+1)+k]11=8，
解得k＝2，
∴2（k+1）＝6，
∴b＝26．
故答案為：26；
（3）∵m，n都是“跟斗數(shù)”，且m+n＝100，設(shè)m＝10x+y，則n＝10（9﹣x）+（10﹣y），
∴ω（m）+ω（n）
=(10x+y)+(10y+x)11+[10(9?x)+(10?y)]+[10(10?y)+(9?x)]11
=10x+y+10y+x11+90?10x+10?y+100?10y+9?x11
=11x+11y11+209?11x?11y11
＝x+y+19﹣x﹣y
＝19．
故答案為：19．
【變式9-3】（2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬）閱讀以下材料：
材料一：如果兩個(gè)兩位數(shù)ab，cd，將它們各自的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置后得到兩個(gè)完全不同的新數(shù)ba，dc，這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積與交換后的兩個(gè)兩位數(shù)的乘積相等，則稱這樣的兩個(gè)兩位數(shù)為一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)”．
例如：46×96＝64×69＝4416，所以，46和96是一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)”，
材料二：在進(jìn)行一些數(shù)學(xué)式計(jì)算時(shí)，我們可以把某一單項(xiàng)式或多項(xiàng)式看作一個(gè)整體，運(yùn)用整體換元，使得運(yùn)算更簡(jiǎn)單．
例如：計(jì)算（x2+3x﹣1）（x2+3x﹣8），令：（x2+3x）＝A，
原式＝（A﹣1）（A﹣8）＝A2﹣9A+8＝（x2+3x）2﹣9（x2+3x）+8
＝x4+6x3﹣27x+8
解決如下問(wèn)題：
（1）①請(qǐng)任寫一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)” 43 和 68 ．
②并探究“有緣數(shù)對(duì)”ab和cd，a，b，c，d之間滿足怎樣的等量關(guān)系．并寫出證明過(guò)程．
（2）若兩個(gè)兩位數(shù)（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）與（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)”，請(qǐng)求出這兩個(gè)兩位數(shù)．
分析：（1）①根據(jù)ac＝bd寫出一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)”；
②根據(jù)定義得：（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），化簡(jiǎn)得ac＝bd；
（2）根據(jù)定義列等式，化簡(jiǎn)解方程可得x的值，可得這兩個(gè)兩位數(shù)．
【解答】解：（1）①∵43×68＝2924，34×86＝2924，
∴43和68是一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)”，
故答案為：43，68；
②“有緣數(shù)對(duì)”ab和cd，a，b，c，d之間滿足：ac＝bd，
理由是：由題意得：（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），
100ac+10bc+10ad+bd＝100bd+10bc+10ad+ac，
99ac＝99bd，
ac＝bd；
（2）∵兩位數(shù)（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）與（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一對(duì)“有緣數(shù)對(duì)”，
∴（x2+2x+3）?（x2﹣2x+5）＝（x2﹣2x+4）?（x2+2x+5），
（x2+2x）（x2﹣2x）+5（x2+2x）+3（x2﹣2x）+15＝（x2﹣2x）（x2+2x）+5（x2﹣2x）+4（x2+2x）+20，
x2+2x﹣2x2+4x﹣5＝0，
x2﹣6x+5＝0，
x＝1或5，
當(dāng)x＝1時(shí)，x2+2x+3＝6，x2﹣2x+4＝3，x2﹣2x+5＝4，x2+2x+5＝8，
當(dāng)x＝5時(shí)，x2+2x+3＝38，不符合題意，
∴這兩個(gè)兩位數(shù)分別是63和48．
【題型10 整式乘法中的規(guī)律探究】
【例10】（2023春?江都區(qū)期中）探究規(guī)律，并回答問(wèn)題：
（1）運(yùn)用多項(xiàng)式乘法，計(jì)算下列各題：
①（x+2）（x+3）＝ x2+5x+6 ；
②（x+2）（x﹣3）＝ x2﹣x﹣6 ；
③（x﹣3）（x﹣1）＝ x2﹣4x+3 ；
（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，則p＝ a+b ，q＝ ab ；
（3）根據(jù)此規(guī)律，直接寫出以下結(jié)果：
①（x+5）（x+7）＝ x2+12x+35 ；
②（t+2）（t﹣1）＝ t2+t﹣2 ．
分析：根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：①（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；
②（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6；
③（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3；
故答案為：x2+5x+6；x2﹣x﹣6；x2﹣4x+3；
（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，則p＝a+b，q＝ab；
故答案為：a+b，ab；
（3）①（x+5）（x+7）＝x2+12x+35；
②（t+2）（t﹣1）＝t2+t﹣2．
故答案為：x2+12x+35；t2+t﹣2．
【變式10-1】（2023春?永豐縣期末）探究發(fā)現(xiàn)：在數(shù)學(xué)中，有些大數(shù)值問(wèn)題可以通過(guò)用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問(wèn)題來(lái)解決．
閱讀解答：比較20182019×20182016與20182017×20182018的大?。?br>解：設(shè)20182017＝a，那么20182019×20182016＝（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2；20182017×20182018＝a2+a．
因?yàn)閍2+a﹣2 ＜ a2+a（填＜＞、或＝），
所以20182019×20182016 ＜ 20182017×20182018（填＜、＞、或＝）．
問(wèn)題解決：化簡(jiǎn)求代數(shù)式的值．
（m+22.2018）（m+14.2018）﹣（m+18.2018）（m+17.2018），其中m＝2016．
分析：解：（1）根據(jù)a2+a＞0，可得a2+a﹣2＜a2+a，從而得到20182019×20182016＜20182017×20182018即可；
（2）設(shè)a＝m+17.2018,可得（a+5）（a﹣3）﹣（a+3）（a+2），再化簡(jiǎn)計(jì)算即可．
【解答】解：由題知：a2+a＞0；
∴a2+a﹣2＜a2+a；
∴20182019×20182016＜20182017×20182018；
故答案為：＜；＜．
設(shè)a＝m+17.2018,
∴原式＝（a+5）（a﹣3）﹣a（a+1)
＝a2+2a﹣15﹣a2﹣a
＝a﹣15
＝m+17.2018﹣15
＝m+2.2018，
∵m＝2016，
∴m+2.2018＝2018.2018．
【變式10-2】（2023春?包河區(qū)期末）探究規(guī)律，解決問(wèn)題：
（1）化簡(jiǎn)：（m﹣1）（m+1）＝ m2﹣1 ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ m3﹣1 ．
（2）化簡(jiǎn)：（m﹣1）（m3+m2+m+1），寫出化簡(jiǎn)過(guò)程．
（3）化簡(jiǎn)：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ mn+1﹣1 ．（n為正整數(shù)，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1為n+1項(xiàng)多項(xiàng)式）
（4）利用以上結(jié)果，計(jì)算1+3+32+33+…+3100的值．
分析：（1）（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)（1）（2）得出的規(guī)律可直接得出答案；
（4）根據(jù)（3）的出的規(guī)律可直接代數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；
（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；
故答案為：m2﹣1；m3﹣1；
（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）
＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1
＝m4﹣1；
（3）（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…m2+m+1）＝mn+1﹣1；
故答案為：mn+1﹣1；
（4）根據(jù)（3）得出的規(guī)律可得：
1+3+32+33+…+3100
=3101?13?1，
=3101?12．
【變式10-3】（2023春?雅安期末）已知x≠1．觀察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝ 1﹣xn ；
（2）應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝ ﹣127 ；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝ x2023﹣1 ．
（3）判斷2100+299+298+…+22+2+1的值的個(gè)位數(shù)是幾？并說(shuō)明你的理由．
分析：（1）根據(jù)所給的等式，不難得出結(jié)果；
（2）①利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可；
②利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可；
（3）先利用（1）的結(jié)論進(jìn)行求解，再判斷其個(gè)位數(shù)即可．
【解答】解：（1）∵（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
…
∴（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝1﹣xn；
故答案為：1﹣xn；
（2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）
＝1﹣27
＝1﹣128
＝﹣127；
故答案為：﹣127；
（2）②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）
＝﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x2022）
＝﹣（1﹣x2023）
＝x2023﹣1．
故答案為：x2023﹣1；
（3）1，理由如下：
2100+299+298+…+22+2+1
＝﹣（1﹣2）×（1+2+22+…+2100）
＝﹣（1﹣2101）
＝2101﹣1．
∵21的個(gè)位數(shù)是2，
22的個(gè)位數(shù)是4，
23的個(gè)位數(shù)是8，
24的個(gè)位數(shù)是6，
25的個(gè)位數(shù)是2，
…
∴其個(gè)位數(shù)以2，4，8，6不斷循環(huán)出現(xiàn)，
∵101÷4＝25……1，
∴2101的個(gè)位數(shù)字是2，
∴2101﹣1的個(gè)位數(shù)是1．單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：系數(shù)相乘，字母相乘．
單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：乘法分配律．
多項(xiàng)式×多項(xiàng)式：乘法分配律．
單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：系數(shù)相除，字母相除．
多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：除法性質(zhì)．
多項(xiàng)式÷多項(xiàng)式：大除法．

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