廣西壯族自治區(qū)南寧市武鳴區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 下列屬于最簡二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判斷最簡二次根式的兩個條件：不含分母（小數(shù)），不含開得盡方的因數(shù)或因式是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
【詳解】解：A、屬于最簡二次根式；
B、，故本項不是最簡二次根式；
C、，故本項不是最簡二次根式；
D、，故本項不是最簡二次根式；
故選：A．
【點(diǎn)睛】在判斷最簡二次根式的過程中要注意：①在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；②在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．
2. 以下列長度的線段為邊，能構(gòu)成直角三角形的是（）
A. 1，2，5B. 1，，4C. 2，3，4D. 3，4，5
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形．最長邊所對的角為直角．由此判定即可．
【詳解】解：A、因為，所以1，2，5三條線段不能組成直角三角形；
B、因為，所以1，，4三條線段不能組成直角三角形；
C、因為，所以2，3，4三條線段不能組成直角三角形；
D、因為，所以3，4，5三條線段能組成直角三角形．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理逆定理的運(yùn)用，注意數(shù)據(jù)的計算，理解并掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
3. 如圖，在平行四邊形中，，則的度數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠C＝∠A＝130°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
4. 如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，若DE=4，則BC等于（）
A. 2B. 4C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角形中位線定理計算即可．
【詳解】解：∵D、E分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
5. 如果一個平行四邊形相鄰兩邊的長分別為5和3，那么它的周長是（）
A 6B. 10C. 16D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的周長＝2（a+b）可得．
【詳解】∵平行四邊形的兩組對邊相等，且相鄰兩邊的長分別為5和3，
∴平行四邊形的四邊為5，3，5，3，
∴平行四邊形的周長＝16，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
6. 下列運(yùn)算錯誤的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的加減法對A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對D進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，所以A選項的計算錯誤；
B、，所以B選項的計算正確；
C、，所以C選項的計算正確；
D、，所以D選項的計算正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算．熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵
7. 數(shù)學(xué)老師用四根長度相等的木條首尾順次相接制成一個如圖1所示的菱形教具，此時測得，對角線長為，改變教具的形狀成為如圖2所示的正方形，則正方形的邊長為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，，可判定是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，故正方形的邊長為．
【詳解】解：如圖，連接，

∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的邊長是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)并靈活運(yùn)用，菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．
8. 下列命題正確的是（）
A. 對角線相等的四邊形是矩形B. 如果，那么且
C. 如果，那么D. 四邊相等的四邊形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的判定，菱形的判定，等式和不等式的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，原命題是假命題，不符合題意；
B、如果，那么同號，同為正或同為負(fù)，原命題是假命題，不符合題意；
C、如果，那么或，原命題是假命題，不符合題意；
D、四邊相等的四邊形是菱形，原命題是真命題，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題的真假．熟練掌握矩形的判定，菱形的判定，等式和不等式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
9. 已知四邊形，下列條件中不能確定四邊形是平行四邊形的是（）
A. 且B. 且
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可;
【詳解】A、根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可確定四邊形是平行四邊形，不符合題意；
B、根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可確定四邊形是平行四邊形，不符合題意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；
D、不能確定是平行四邊形，有可能是等腰梯形，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵，平行四邊形的五種判定方法：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對邊平行且相等的四匹邊形是平行四邊形．
10. 小華新買了一條跳繩，如圖1，他按照體育老師教的方法確定適合自己的繩長：一腳踩住繩子的中央，手肘靠近身體，兩肘彎屈，小臂水平轉(zhuǎn)向兩側(cè)，兩手將繩拉直，繩長即合適長度．將圖1抽象成如圖2，若兩手握住的繩柄兩端距離約為1米，小臂到地面的距離約1.2米，則適合小華的繩長為（）
A. 2.2米B. 2.4米C. 2.6米D. 2.8米
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，作于，由題意可得：，，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，即可得出答案，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，作于，
，
由題意可得：，，，
，
，
，
，
適合小華的繩長為2.6米，
故選：C．
11. 如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，則S2＝（）
A. 171B. 79C. 100D. 81
【答案】B
【解析】
【分析】連接BD，利用勾股定理的幾何意義解答．
【詳解】由題意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
連接BD，
在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S2＝125﹣46＝79，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的靈活運(yùn)用，解答的關(guān)鍵是利用兩個直角三角形公共的斜邊．
12. 正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在CD、BC邊上，是等邊三角形．以下結(jié)論：①；②；③；④EF的垂直平分線是直線AC．正確結(jié)論個數(shù)有（）個．

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可證△ABF≌△ADE，可得BF＝DE，即可得EC＝CF，由勾股定理可得EF＝EC，由平角定義可求∠AED＝75°，由AE＝AF，EC＝FC可證AC垂直平分EF，則可判斷各命題是否正確．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝∠AEF＝60°，
∵AD＝AB，AF＝AE，
∴△ABF≌△ADE，
∴BF＝DE，
∴BC?BF＝CD?DE，
∴CE＝CF，故①正確；
∵CE＝CF，∠C＝90°；
∴EF＝CE，∠CEF＝45°；
∴AF＝CE，
∴CF＝AF，故③錯誤；
∵∠AED＝180°?∠CEF?∠AEF；
∴∠AED＝75°；故②正確；
∵AE＝AF，CE＝CF；
∴AC垂直平分EF；故④正確．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）
13. 要使二次根式有意義，字母x必須滿足的條件是________
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解，熟練掌握二次根式有意義的條件：“二次根式有意義的條件，二次根號下的式子為非負(fù)數(shù)”是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：依題意得：，
解得：，
故答案為：．
14. 在平行四邊形ABCD中，∠A+∠C＝100°，則∠A＝__．
【答案】50°．
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案為：50°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).
15. 在Rt△ABC中，∠ C＝90°，∠ B＝30°，最短邊上長為5cm，則最長邊上的中線長是__________．
【答案】5cm
【解析】
【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AB，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．
【詳解】∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝10cm，
∵CD是AB的中線，
∴CD＝AB＝5cm．
故答案為：5cm．
【點(diǎn)睛】本題主要考查對直角三角形斜邊上的中線，含30度角的直角三角形等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出AB和得到CD＝AB是解此題的關(guān)鍵．
16. 如圖，平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，已知AB＝4，AD＝6，則DE長為___．
【答案】2
【解析】
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得出AD∥BC，由角平分線的定義可得出∠ABE＝∠CBE，由AD∥BC可得出∠AEB＝∠CBE，利用等角對等邊可求出AE的長，即可求出DE的長．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE
∴AE＝AB＝4，
∵DE＝AD-AE＝2，
故答案為：2
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線以及等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定，求出AE的長是解題的關(guān)鍵．
17. 如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了_____步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草．．

【答案】4
【解析】
【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長，與直角邊進(jìn)行比較即可求得結(jié)果．
【詳解】解：依據(jù)題意可得：，
，
少走了，
2步為1米，
，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，會用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)O，且，．點(diǎn)P是邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則的最小值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形是矩形，即可得到，當(dāng)時，最小，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求得最小值．
【詳解】連接，
∵四邊形是菱形，
∴，且，
∴，
∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵當(dāng)取得最小值時，也最小，
∴當(dāng)時，最小，
∵，，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴的最小值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定定理和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，直角三角形中30°角對應(yīng)的直角邊和斜邊的關(guān)系，熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵
三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
19. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查二次根式的加減法．先化簡，再進(jìn)行減法運(yùn)算即可．
【詳解】解：
．
20. 計算：．
【答案】3
【解析】
【分析】先計算二次根式除法，再算加減，即可解答．
【詳解】解：

．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．
21. 小明將要組織策劃社區(qū)龍年春節(jié)聯(lián)歡活動，活動需要準(zhǔn)備一塊會場背景板，形狀如圖所示．具體要求如下：在四邊形中，連接，，米，米，米，米．
（1）求線段的長；
（2）求四邊形的面積．
【答案】（1）線段的長為5米；
（2）（平方米）
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形面積公式等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
（1）由勾股定理求出的長即可；
（2）由勾股定理的逆定理證出是直角三角形，且，然后由三角形面積公式求出四邊形的面積即可．
【小問1詳解】
解：，米，米，
（米，
即線段的長為5米；
【小問2詳解】
解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米）．
22. 在四邊形中，，，，，求證四邊形是平行四邊形．

【答案】見解析
【解析】
【分析】此題考查平行四邊形的判定，勾股定理．根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而利用平行四邊形的判定解答即可．
【詳解】證明：，，，
，
，
，
四邊形為平行四邊形．
23. 如圖，點(diǎn)E是矩形的邊上的一點(diǎn)，且．

（1）尺規(guī)作圖（請用鉛筆）：作的平分線，交的延長線于點(diǎn)F，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】（1）見解析（2）四邊形菱形，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合角平分線的定義可得，則，然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：如圖所示：
【小問2詳解】
四邊形是菱形；
理由：∵矩形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴平行四邊形是菱形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定以及菱形的判定等知識，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
24. 【問題情境】某數(shù)學(xué)興趣小組想測量學(xué)校旗桿的高度．
【實踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組實地勘查發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．
【實踐探究】設(shè)計測量方案：第一步：先測量比旗桿多出的部分繩子的長度，測得多出部分繩子的長度是1米；第二步：把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點(diǎn)C，再測量繩子底端C與旗桿根部B點(diǎn)之間的距離為5米；
【問題解決】設(shè)旗桿的高度為x米，通過計算即可求得旗桿的高度．
（1）依題知米，用含有x的式子表示為米；
（2）請你求出旗桿的高度．
【答案】（1）5；
（2）12米
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
（1）根據(jù)“測量繩子底端C與旗桿根部B點(diǎn)之間的距離，測得距離為5米”和“測得多出部分繩子的長度是1米”填空；
（2）因為旗桿、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長度為米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．
小問1詳解】
解：根據(jù)題意知：米，米．
故答案為：5；；
【小問2詳解】
解：在直角中，由勾股定理得：
，
即．
解得．
答：旗桿的高度為12米．
25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形，，．在上取一點(diǎn)D，沿折疊，點(diǎn)B恰好落在上的點(diǎn)E處．
（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為；
（2）求的周長；
（3）動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿邊以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為秒．另一動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個單位的速度，在上往返運(yùn)動，P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動．當(dāng)以O(shè)、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，請求出t的值．
【答案】（1）
（2）的周長為6
（3）時，以O(shè)、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
【解析】
【分析】（1）根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)可求出，在中，根據(jù)勾股定理求出，即可求解；
（2）先求出，然后根據(jù)三角形周長公式求解即可；
（3）由知，要使以O(shè)、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則有，然后分點(diǎn)Q沒有到達(dá)點(diǎn)A，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后兩種情況討論．
【小問1詳解】
解：（1）∵矩形沿折疊，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；
【小問2詳解】
解：由題意得：，，
由（1）知，
∴，
∴的周長；
【小問3詳解】
解：由題意可知，
當(dāng)點(diǎn)Q沒有到達(dá)點(diǎn)A時，，
∴，
當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后，返回時，，
∴，
此時點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不合題意舍去．
綜上所述，時，以O(shè)、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識，明確題意，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．
26. 探究與證明（八下教材63頁《豐富多彩的正方形》）
【課本再現(xiàn)】
（1）如圖，正方形的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形的一個頂點(diǎn)，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的．
【類比遷移】
（2）如圖，等腰三角形中，，D是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D又是直角三角形的直角頂點(diǎn)，，繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動，分別與交于M、N，若，請直接寫出兩個三角形重疊部分的面積．
【探索發(fā)現(xiàn)】
（3）小剛發(fā)現(xiàn)（1）在轉(zhuǎn)動過程中，若邊能與邊交于點(diǎn)E、F，線段都存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出數(shù)量關(guān)系式，并加以證明．
【答案】（1）；（2）；（3），證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定：
（1）①當(dāng)正方形繞點(diǎn)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動到其邊分別于正方形的兩條對角線重合這一特殊位置時，顯然；②當(dāng)正方形繞點(diǎn)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動到如圖位置時，由正方形的性質(zhì)可得，，，由“”可證，可求解；
（2）連接，仿照仿照（1），，即可可得；
（3）連接EF，由全等三角形的性質(zhì)可得，則，則由勾股定理可得，則．
【詳解】解：（1）①當(dāng)正方形繞點(diǎn)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動到其邊分別于正方形的兩條對角線重合這一特殊位置時，顯然，
②當(dāng)正方形繞點(diǎn)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動到如圖位置時．
四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
，
四邊形的面積正方形的面積，
綜上所知，無論正方形繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的．
故答案為：；
（2）連接，
∵，D是斜邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴兩個三角形重疊部分的面積；
故答案為：1；
（3）．
證明：
由（1）知，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴
∴．

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