1.函數(shù)f(x)=3x2+ln x-2x的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.無數(shù)
2.函數(shù)f(x)=(x-2)·ex的最小值為( )
A.-2B.-eC.-1D.0
3.(2023廣西南寧二模)已知函數(shù)f(x)=aln x-的極值點(diǎn)為1,且f'(2)=1,則f(x)的極小值為( )
A.-1B.-aC.bD.4
4.(多選)初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生,并且能用一個(gè)解析式表示的函數(shù),如函數(shù)f(x)=xx(x>0),我們可以作變形:f(x)=xx==exln x=et,其中t=xln x,所以f(x)可看作是由函數(shù)g(t)=et和t=xln x復(fù)合而成的,即f(x)=xx(x>0)為初等函數(shù).根據(jù)以上材料,關(guān)于初等函數(shù)h(x)=(x>0)的說法正確的是( )
A.無極小值B.有極小值1
C.無極大值D.有極大值
5.若方程x3-3x+m=0在區(qū)間[0,2]上有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.[-2,2]
B.[0,2]
C.[-2,0]
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
6.設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=2x2,g(x)=ln x的圖象分別交于點(diǎn)M,N,則|MN|的最小值為( )
A.+ln 2B.3ln 2-1
C.-1D.
7.(2023全國乙,文8)若函數(shù)f(x)=x3+ax+2存在3個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A.(-∞,-2)B.(-∞,-3)
C.(-4,-1)D.(-3,0)
8.(2023全國乙,理21)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x).
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.
(2)是否存在a,b,使得曲線y=f關(guān)于直線x=b對稱?若存在,求a,b的值;若不存在,說明理由.
(3)若f(x)在(0,+∞)存在極值點(diǎn),求a的取值范圍.
綜合提升組
9.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-x+a有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且|x1-x2|=,則f(x)的極大值為( )
A.B.
C.D.
10.當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)=aln x+取得最大值-2,則f'(2)=( )
A.-1B.-
C.D.1
11.設(shè)函數(shù)f(x)=已知x10,函數(shù)h(t)單調(diào)遞增,
所以h(t)min=h=+ln2,
即|MN|的最小值為+ln2.
7.B
解析令f(x)=0,得-ax=x3+2,易知x≠0,所以-a=.設(shè)g(x)=,
則函數(shù)f(x)存在3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g(x)=的圖象與直線y=-a有三個(gè)不同的交點(diǎn).
g'(x)=.當(dāng)x>1時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)x0,解得x0,
∴函數(shù)f的定義域關(guān)于x=-對稱,
∴若函數(shù)f的圖象關(guān)于直線x=b對稱,則b=-.
設(shè)g(x)=f,由對稱的性質(zhì)可知g(x)=g(-1-x).
∵g(x)=(x+a)ln+1,g(-1-x)=(-1-x+a)ln+1,
則(x+a)ln+1=(-1-x+a)ln+1,解得a=,
∴存在a=,b=-,使函數(shù)f圖象關(guān)于直線x=-對稱.
(3)由題意,f(x)=+aln(x+1),x>0,
則f'(x)=-=-ln(x+1)-.
設(shè)H(x)=ln(x+1)-,x>0,
則H'(x)=.
當(dāng)a≤0時(shí),H'(x)>0,H(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故H(x)>ln1-0=0,即f'(x)0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)無極值;
當(dāng)00.
又H(x)=ln(x+1)-=ln(x+1)-ax-0,則h(-1)=ln-a(-1)=-a+a=a+1.
設(shè)t=∈(2,+∞),G(t)=t3-+1,則G'(t)=3t2-2tx(2-2)=0.
此時(shí),與x=0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)矛盾.
綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-)∪(,+∞).
14.3e3-12
解析作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示.
∵存在實(shí)數(shù)a

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