（時間：120分鐘 滿分：120分）
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1. 若式子有意義，則a的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，得，
∴，
故選：C．
2. 下列各組數(shù)據(jù)中，不是勾股數(shù)的是（ ）
A. 3，4，5B. 5，12，13C. 6，8，10D. 2，3，4
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了勾股數(shù)，根據(jù)：“一組正整數(shù)，且滿足兩個較小的數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，這樣的一組數(shù)叫做勾股數(shù)”，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，是勾股數(shù)，不符合題意；
B、，是勾股數(shù)，不符合題意；
C、，是勾股數(shù)，不符合題意；
D、，不是勾股數(shù)，符合題意；
故選D．
3. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的加減運算法則以及乘除運算法則即可求出答案．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，故不能合并，故A不符合題意．
B、與不是同類二次根式，故不能合并，故B不符合題意．
C、原式，故C不符合題意．
D、原式，故D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的加減運算以及乘除運算．
4. 菱形和矩形都具有的性質(zhì)是（ ）
A. 對角線互相平分B. 有一組鄰邊相等
C. 對角線相等D. 對角線互相垂直
【答案】A
【解析】
【分析】利用矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可求解．
【詳解】∵矩形的對角線相等且互相平分，菱形的對角線垂直且互相平分，
∴菱形和矩形都具有的性質(zhì)為對角線互相平分，
故選：A．
【點睛】本題考查的是矩形和菱形的性質(zhì)，熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
5. 下列二次根式中是最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．
【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；
B、是最簡二次根式，本選項符合題意；
C、不是最簡二次根式，本選項不符合題意；
D、不是最簡二次根式，本選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】此題考查了最簡二次根式，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
6. 如圖，在中，對角線與相交于點，，，，則以下結(jié)論不正確的是（ ）

A B.
C. D. 的面積為6
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，進(jìn)行求解后，判斷即可．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，的面積為，
∴，
∴；
綜上：選項A、B、C正確，不符合題意；選項D錯誤，符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，四邊形為菱形，，兩點的坐標(biāo)分別是，，點，在坐標(biāo)軸上，則菱形的周長等于（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理可求AB的長，由菱形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵A，B兩點的坐標(biāo)分別是（3，0），，
∴OB＝，OA＝3，
∴AB＝，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝，
∴菱形ABCD的周長等于＝4×＝8，
故選：A．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
8. 如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理即可得到AB，BC，AC的長度，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：連接AC，如圖：
根據(jù)勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（）2+（）2=（）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故選C．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，四邊形是正方形，和都是直角，且點E，A，B三點共線，，則陰影部分的面積是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明得出，即可求解．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∴，，
∵和都是直角，
∴，，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積是，
故選：D．
10. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，過對角線AC的中點O作EF⊥AC，分別交AB、DC于E、F，點G為AE的中點，若∠AOG＝30°，則OG的長為（ ）
A. 2B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，利用方程思想可求出OG的長度.
【詳解】解：∵EF⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
在Rt△AOE中，G是AE的中點，
∴OG＝AE＝AG＝GE，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∴∠OGE＝60°，
∴△OGE是等邊三角形，
設(shè)OG＝x＝OE，
∴AE＝2x，AO＝x，
∵O是AC的中點，
∴AC＝2AO＝x，
在Rt△ABC中，
BC＝AC＝x，
由勾股定理得，
AB2+BC2＝AC2，
∴，
解得x＝2.
∴OG＝2，
故選：B.
【點睛】本題主要考查30°直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵在于巧設(shè)x，利用勾股定理構(gòu)建方程解決．
二、填空題（每小題3分，共18分）
11. 比較大小：________.
【答案】
【解析】
【詳解】解：∵，
∴
故答案為：
12. 已知三角形的三邊為2，2，，則這個三角形是____三角形．
【答案】等腰直角
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理逆定理，二次根式的乘法計算，根據(jù)，且，即可判斷出這個三角形是等腰直角三角形．
【詳解】解：，且，
這個三角形是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角．
13. 如圖，在平行四邊形中，平分，，，則的周長是__________．
【答案】16
【解析】
【分析】根據(jù)角平分線的定義以及兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠CDE=∠CED，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得CE=CD，然后利用平行四邊形對邊相等求出CD、BC的長度，再求出?ABCD的周長．
【詳解】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵?ABCD中,AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在?ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC?BE=5?2=3，
∴CD=AB=3，
∴?ABCD的周長=5+5+3+3=16．
故答案為：16．
【點睛】本題考查了對邊平行，對邊相等，角平分線的定義，角對等邊的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識圖并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14. 計算________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分母有理數(shù)，利用二次根式的性質(zhì)化簡，根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪先化成分式，在分母有理化，利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
15. 在中，，．若點 P在邊AC上移動，則線段BP的最小值是 ________ ．
【答案】
【解析】
【分析】作AD⊥BC于點D，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出AD，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)BP⊥AC時，BP最小，再利用三角形的面積求解即可．
詳解】解：作AD⊥BC于點D，如圖，
∵，，
∴BD=CD=3，AD=，
根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)BP⊥AC時，BP最小，
則由S△ABC=，可得，解得；
即線段BP的最小值是．
故答案為：．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積等知識，正確理解題意、熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，平行四邊形的周長為，自頂點A作于點E，于點F．若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，面積法，首先根據(jù)面積法求出的長，再在，中利用勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長求解即可．
【詳解】∵平行四邊形的周長為56，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
在中，，
在中，，
，，
，
故答案為：．
三、解答題（一）（每小題6分，共18分）
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的運算，利用二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義化簡，然后合并即可．
【詳解】解：原式
．
18. 如圖，在中，于E，點F在邊上，，求證：四邊形是矩形．
【答案】見解析．
【解析】
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD＝BC，再證AF＝CE，得四邊形AECF是平行四邊形，然后證∠AEC＝90°，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD?DF＝BC?BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四邊形AECF是矩形．
【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的判定方法，證出四邊形AECF為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
19. 如圖，AD是△ABC的中線，AB：AD：BC＝13：12：10，△ABD的周長是60cm．求AC．

【答案】AC＝26（cm）
【解析】
【分析】設(shè)AB＝13x，AD＝12x，BC＝10x，則BD＝CD＝5x，所以13x+12x+5x＝60，解得x＝2，根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△ABD為直角三角形，∠ADB＝90°，所以AD垂直平分BC，從而得出答案即可.
【詳解】設(shè)AB＝13x，AD＝12x，BC＝10x，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD＝5x，
∵△ABD的周長是60cm，
∴13x+12x+5x＝60，解得x＝2，
∴BD＝10，AD＝24，AB＝26，
∵102+242＝262，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD為直角三角形，∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
而BD＝CD，
∴AC＝AB＝26（cm）．
【點睛】本題主要考查了勾股定理逆定理的運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.
四、解答題（二）（每小題8分，共24分）
20. 已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，平方差公式運算，代數(shù)式求值，多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
（1）先算出，的值，再利用平方差公式進(jìn)行計算代入求值即可；
（2）先求出，的值，再利用多項式乘以多項式進(jìn)行計算代入求值即可．
【小問1詳解】
解：，
，，
【小問2詳解】
，
，，
．
21. 如圖，在中，，月，求的長和的面積．
【答案】，的面積為
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理，垂線性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，含角的直角三角形特征，等角對等邊，過點A作于點D，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余，求出，，再根據(jù)含角的直角三角形特征，等角對等邊，勾股定理分別求出，的長，再利用勾股定理，以及三角形面積公式求出結(jié)果即可．
【詳解】解：如圖，過點A作于點D，
則，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
．
22. 如圖，對角線，相交于點，過點作且，連接，，．
（1）求證：是菱形；
（2）若，，求長．
【答案】（1）見解析；
（2）．
【解析】
【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）先證四邊形是平行四邊形，再證平行四邊形是矩形，則，得，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；
（2）證是等邊三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解決問題．
【小問1詳解】
證明： ，，
四邊形是平行四邊形．
，
平行四邊形是矩形，
，
，
是菱形；
【小問2詳解】
解：四邊形是菱形，
，，，
，
是等邊三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四邊形是矩形，
，，
，
即的長為．
五、解答題（三）（每小題10分，共30分）
23. 如圖所示，長方形紙片ABCD的長AD＝9cm，寬AB＝3cm，將其折疊，使點D與點B重合．
求：（1）折疊后DE的長；（2）以折痕EF為邊的正方形面積．
【答案】（1）DE長為5cm；（2）10cm2
【解析】
【分析】（1）設(shè)DE長為xcm，則AE=（9-x）cm，BE=xcm，根據(jù)勾股定理得出AE2+AB2=BE2，即（9-x）2+32=x2，解方程求出x，即可得出DE的長；
（2）作EG⊥BC于G，則四邊形ABGE是矩形，∠EGF=90°，得出EG=AB=3，BG=AE=4，得出GF=1，由勾股定理求出EF2，即可得出以EF為邊的正方形面積．
【詳解】（1）設(shè)DE長為xcm，則AE=（9-x）cm，BE=xcm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
根據(jù)勾股定理得：AE2+AB2=BE2，
即（9-x）2+32=x2，
解得：x=5，
即DE長為5cm，
（2）作EG⊥BC于G，如圖所示：
則四邊形ABGE是矩形，∠EGF=90°，
∴EG=AB=3，BG=AE=4，
∴GF=1，
∴EF2=EG2+GF2=32+12=10，
∴以EF為邊的正方形面積為EF2=10cm2．
【點睛】本題考查了矩形性質(zhì)、翻折變換、勾股定理以及正方形的面積；熟練掌握矩形和翻折變換的性質(zhì)，運用勾股定理進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．
24. 如圖1，四邊形是正方形，點是邊上任意一點，于點，且交于點．
（1）求證：；
（2）若，，求的長；
（3）如圖2，連接、，判斷線段與的數(shù)量與位置關(guān)系，并證明．
【答案】（1）見解析 （2）
（3）DF＝CE，DF⊥CE，證明見解析
【解析】
【分析】（1）先判斷出∠AED＝∠BFA＝90°，再判斷出∠BAF＝∠ADE，進(jìn)而利用“角角邊”證明△AFB和△DEA全等，即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求出AG，再利用面積求出BF，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）利用“邊角邊”證明△FAD和△EDC全等，得出DF＝CE，∠ADF＝∠DCE，即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：∵DE⊥AG，BFDE，
∴BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF＋∠EAD＝90°，
∵∠EAD＋∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
又∠AED＝∠BFA＝90°，AB＝AD，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴AF＝DE；
【小問2詳解】
解：在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝3，根據(jù)勾股定理得，AG＝5，
∵AB?BG＝AG?BF，
∴BF＝，
在Rt△ABF中，AF＝；
【小問3詳解】
DF＝CE，DF⊥CE．
證明：∵∠FAD＋∠ADE＝90°，∠EDC＋∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴∠FAD＝∠EDC，
∵△AFB≌△DEA，
∴AF＝DE，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
又AF＝DE，∠FAD＝∠EDC，
∴△FAD≌△EDC（SAS），
∴∠ADF＝∠DCE，DF＝CE，
∵∠ADF＋∠CDF＝∠ADC＝90°，
∴∠DCE＋∠CDF＝90°，
∴∠DFC＝90°，即DF⊥CE．
【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△AFB≌△DEA是解本題的關(guān)鍵．
25. 如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝，∠C＝30°．點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向A點勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）AC的長是 ，AB的長是 ．
（2）在D、E的運動過程中，線段EF與AD的關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變化，那么線段EF與AD是何關(guān)系，并給予證明；若變化，請說明理由．
（3）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．
【答案】（1）10，5；（2）EF與AD平行且相等，見解析；（3）當(dāng)t＝時，四邊形AEFD為菱形
【解析】
【分析】（1）在Rt△ABC中，∠C＝30°，則AC＝2AB，根據(jù)勾股定理得到AC和AB的值．
（2）先證四邊形AEFD是平行四邊形，從而證得AD∥EF，并且AD＝EF，在運動過程中關(guān)系不變．
（3）求得四邊形AEFD為平行四邊形，進(jìn)而利用菱形的判定與性質(zhì)得出AE＝AD時，求出t的值，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴AC＝2AB，
根據(jù)勾股定理得：AC2﹣AB2＝BC2，
∴3AB2＝75，
∴AB＝5，AC＝10；
（2）EF與AD平行且相等．
在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝t．
又∵AE＝t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
∴EF與AD平行且相等．
（3）能，理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE＝DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
∵AB＝5，AC＝10.
∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2t．
若使?AEFD為菱形，則需AE＝AD，
即t＝10﹣2t，解得：t＝．
即當(dāng)t＝ 時，四邊形AEFD為菱形．
【點睛】本題考查平行四邊形、菱形的判定與性質(zhì)，以及30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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2023年廣東省汕頭市金平區(qū)汕樟中學(xué)中考一模數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023年廣東省汕頭市金平區(qū)汕樟中學(xué)中考一模數(shù)學(xué)試題（含解析）
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