拓展 第二章 橢圓、雙曲線、拋物線
一、選擇題
1．橢圓的中心在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是16和12，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （ ）
A. B. C. D.
2．對(duì)稱(chēng)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（2，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
3．橢圓長(zhǎng)軸上兩個(gè)頂點(diǎn)是（0，-2），（0，2），離心率為，則橢圓方程為（ ）
A. B. C. D.
4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于6,則橢圓方程為（ ）
A、 B、 C、 D、
5.已知橢圓的焦距是4,離心率為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A、 B、 C、 D、或
6．橢圓的焦距是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7．已知橢圓方程是，則它的離心率為 （ ）
A. B. C. D.
8.橢圓的離心率為（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
9.橢圓的短軸長(zhǎng)等于（ ）【2009年】
A. 3 B.4 C. 6 D. 8
10.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)（ ）【2011年】
A.（3，0） B.（，0） C. D.（0，）
11．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）【2013年】
A． B． C． D．
12.橢圓的短軸長(zhǎng)為8，焦距為6，弦過(guò)，則的周長(zhǎng)是（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
13.頂點(diǎn)間距離為2，漸近線方程是=±的雙曲線 ( )
A． B. 或
C. D. 或
14．雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為4，離心率為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A、 B、 C、 D、或
15.雙曲線與有相同的 ( )
A．頂點(diǎn) B.焦點(diǎn) C.離心率 D. 漸近線
16.等軸雙曲線的的離心率為 ( )
A. 1 B. C. D. 2
17.雙曲線的漸近線方程為（ ）【2015年】
A． B． C． D．
18.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，過(guò)的直線與雙曲線左支交于A,B，且，則的周長(zhǎng)（ ）
A、 B、 C、 D、
19．雙曲線的漸近線方程是( )
A．B．C．D．
20.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( )
A. (2,0) B. (0,2) C. (4,0) D. (0,4)
21. 拋物線的準(zhǔn)線方程是 ( )
A. =1 B. =-1 C. =1 D. =-1
22.拋物線的準(zhǔn)線方程是 ( )
A. =1 B. =-1 C. =1 D. =-1
23. 拋物線的準(zhǔn)線方程是 ( )
A. B. C. D. =-1
24. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( )
A. (0,) B. (0,-) C. (0,) D. (0,-)
25.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 ( )
A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 10
26.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo) ( )
. . . .
27.拋物線的準(zhǔn)線方程為( )【2012年】
A．B．C．D．
28．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )【2014年】
A．B．C．D．
29.拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
. . . .
30．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是( )【2019年】
A．B．C．D．
二、填空題
1.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 .橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。
2.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 ，短軸長(zhǎng)為 ，焦距為 .
3.橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 和 ，離心率為 .
4．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，該橢圓的焦距為2，則的值等于 .
5.如果橢圓的短軸長(zhǎng)、焦距、長(zhǎng)軸長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，則這個(gè)橢圓的離心率為 。
6.橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與一焦點(diǎn)的連線成直角，則此橢圓的離心率為 。
7.點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，且，則的面積為 。
8．若橢圓的焦距為2,則 ． 【2016年】
9．橢圓 的離心率為 ． 【2018年】
10．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且2=8，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
11.雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦距為8，雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
12．雙曲線的虛半軸長(zhǎng)為3，焦點(diǎn)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
13.一個(gè)焦點(diǎn)為（0，6）且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。
14.雙曲線實(shí)半軸為2,焦點(diǎn)為,則雙曲線方程為 。
15.兩漸近線互相垂直，兩焦點(diǎn)為的雙曲線的方程為 。
16.以圓的圓心為頂點(diǎn),以該圓與軸的右交點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為
17.雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，虛半軸長(zhǎng)為4，離心率為，則雙曲線方程為 .
18.雙曲線的漸近線方程為 .
19．雙曲線的的漸近線方程是 ．
20．雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為 ，虛軸長(zhǎng)為 ，焦距為 ，離心率為 ，漸近線方程為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .
21.雙曲線的離心率為 。
22.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線為=,則雙曲線的離心率為 。
23.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為 。
24.若雙曲線的離心率為2，則它的漸近線方程為 。
25. 雙曲線的漸近線方程 . 【2008年】.
26.雙曲線的離心率為 . 【2011年】
27.雙曲線的漸近線方程是 . 【2012年】
28.拋物線的準(zhǔn)線方程為 。
29.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在 上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,準(zhǔn)線方程為 .
30.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。
31.焦點(diǎn)在(0,1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
32.準(zhǔn)線方程為=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
33.對(duì)稱(chēng)軸是y軸,頂點(diǎn)在原點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)P(2,-3)拋物線方程是
34.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為軸的拋物線的焦點(diǎn)在直線2-4+11=0上,則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是
35.焦點(diǎn)在(-1,0)的拋物線方程是
36.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為
37.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
為
38.拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
39.拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
40.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 【2008年】
41.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 【2009年】
42.拋物線3x-的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 【2010年】
43．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ．【2018年】
44.以橢圓的左焦點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
三、計(jì)算題
1.求過(guò)且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是頂點(diǎn)，距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)是頂點(diǎn)，已知， ，求這個(gè)橢圓方程.
3.求以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且與該橢圓的離心率相同的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
4.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在上的橢圓的右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與左焦點(diǎn)的距離為，求橢圓的方程。
5.求以橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)分別作為頂點(diǎn)、焦點(diǎn)的雙曲線方程.
6．求以的右焦點(diǎn)為圓心,且與雙曲線的漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
7.求與橢圓有公共焦點(diǎn)，且有一條漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
8.求焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2，離心率為的雙曲線方程。
9.求以橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的雙曲線方程. 【2007年】
10. 求焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)等于２，且離心率為的雙曲線方程. 【2008年】
11.求焦點(diǎn)在軸上，實(shí)半軸長(zhǎng)為2，且離心率為的雙曲線方程． 【2016年】
12.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【2019年】
13.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
四、證明題
已知拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求證：.【2021年】





五、綜合題
1.知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）拋物線上一點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
2.已知直線:過(guò)拋物線的焦點(diǎn).
（1）求系數(shù)的值.
（2）判斷拋物線與直線是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn). 【2011年】
3.已知過(guò)點(diǎn)(0,-2)且傾斜角為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn). 【2004年】
(1) 求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）某橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
4．已知直線 : 2x - y + m = 0過(guò)拋物線 的焦點(diǎn). 【2015年】
（1）求m 的值，并寫(xiě)出直線 的方程；
（2）判斷拋物線與直線 是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn)坐標(biāo).
5．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線為 . 【2017年】
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線，被拋物線所截的線段長(zhǎng)為 9，求此直線的方程.
拓展第二章 橢圓、雙曲線、拋物線答案
一、選擇題
1．橢圓的中心在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是16和12，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （ C ）
A. B. C. D.
2．對(duì)稱(chēng)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（2，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ A ）
A. B. C. D.
3．橢圓長(zhǎng)軸上兩個(gè)頂點(diǎn)是（0，-2），（0，2），離心率為，則橢圓方程為（ B ）
A. B. C. D.
4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于6,則橢圓方程為（ C）
A、 B、 C、 D、
5.已知橢圓的焦距是4,離心率為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ D ）
A、 B、 C、 D、或
6．橢圓的焦距是（ B ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7．已知橢圓方程是，則它的離心率為 （ D ）
A. B. C. D.
8.橢圓的離心率為（ D ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
9.橢圓的短軸長(zhǎng)等于（ C ）【2009年】
A. 3 B.4 C. 6 D. 8
10.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)（ C ）【2011年】
A.（3，0） B.（，0） C. D.（0，）
11．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ C ）【2013年】
A． B． C． D．
12.橢圓的短軸長(zhǎng)為8，焦距為6，弦過(guò)，則的周長(zhǎng)是（ C ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
13.頂點(diǎn)間距離為2，漸近線方程是=±的雙曲線 ( B )
A． B. 或
C. D. 或
14．雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為4，離心率為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ D ）
A、 B、 C、 D、或
15.雙曲線與有相同的 ( C )
A．頂點(diǎn) B.焦點(diǎn) C.離心率 D. 漸近線
16.等軸雙曲線的的離心率為 ( B )
A. 1 B. C. D. 2
17.雙曲線的漸近線方程為（ C ）【2015年】
A． B． C． D．
18.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，過(guò)的直線與雙曲線左支交于A,B，且，則的周長(zhǎng)（ B ）
A、 B、 C、 D、
19．雙曲線的漸近線方程是( D )
A．B．C．D．
20.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( A )
A. (2,0) B. (0,2) C. (4,0) D. (0,4)
21. 拋物線的準(zhǔn)線方程是 ( C )
A. =1 B. =-1 C. =1 D. =-1
22.拋物線的準(zhǔn)線方程是 ( B )
A. =1 B. =-1 C. =1 D. =-1
23. 拋物線的準(zhǔn)線方程是 ( C )
A. B. C. D. =-1
24. 拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( C )
A. (0,) B. (0,-) C. (0,) D. (0,-)
25.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 ( D )
A. 2.5 B. 5 C. 7.5 D. 10
26.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo) ( A )
. . . .
27.拋物線的準(zhǔn)線方程為( A )【2012年】
A．B．C．D．
28．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( B )【2014年】
A．B．C．D．
29.拋物線的準(zhǔn)線方程為( B )
. . . .
30．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是( B )【2019年】
A．B．C．D．
二、填空題
1.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 .橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。
2.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4 ，短軸長(zhǎng)為 ，焦距為 2 .
3.橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 和 ，離心率為 .
4．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，該橢圓的焦距為2，則的值等于 5或3 .
5.如果橢圓的短軸長(zhǎng)、焦距、長(zhǎng)軸長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，則這個(gè)橢圓的離心率為 。
6.橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與一焦點(diǎn)的連線成直角，則此橢圓的離心率為 。
7.點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，且，則的面積為 1 。
8．若橢圓的焦距為2,則 2 ． 【2016年】
9．橢圓 的離心率為 ． 【2018年】
10．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且2=8，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
11.雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦距為8，雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
12．雙曲線的虛半軸長(zhǎng)為3，焦點(diǎn)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
13.一個(gè)焦點(diǎn)為（0，6）且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。
14.雙曲線實(shí)半軸為2,焦點(diǎn)為,則雙曲線方程為 。
15.兩漸近線互相垂直，兩焦點(diǎn)為的雙曲線的方程為 。
16.以圓的圓心為頂點(diǎn),以該圓與軸的右交點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為
17.雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，虛半軸長(zhǎng)為4，離心率為，則雙曲線方程為 .
18.雙曲線的漸近線方程為.
19．雙曲線的的漸近線方程是 ．
20．雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為 2 ，虛軸長(zhǎng)為 ，焦距為 6 ，離心率為 3 ，漸近線方程為 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .
21.雙曲線的離心率為 。
22.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線為=,則雙曲線的離心率為 。
23.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為 或 。
24.若雙曲線的離心率為2，則它的漸近線方程為 或 。
25. 雙曲線的漸近線方程 . 【2008年】.
26.雙曲線的離心率為 . 【2011年】
27.雙曲線的漸近線方程是 . 【2012年】
28.拋物線的準(zhǔn)線方程為 。
29.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在 上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,準(zhǔn)線方程為 .
30.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。
31.焦點(diǎn)在(0,1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
32.準(zhǔn)線方程為=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
33.對(duì)稱(chēng)軸是y軸,頂點(diǎn)在原點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)P(2,-3)拋物線方程是
34.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為軸的拋物線的焦點(diǎn)在直線2-4+11=0上,則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是
35.焦點(diǎn)在(-1,0)的拋物線方程是
36.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為
37.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
38.拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 -3
39.拋物線上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
40.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 （0，-2） 【2008年】
41.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是【2009年】
42.拋物線3x-的焦點(diǎn)坐標(biāo)是【2010年】
43．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ．【2018年】
44.以橢圓的左焦點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
三、計(jì)算題
1.求過(guò)且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解：（1）焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，所以。
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，所以.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
2.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是頂點(diǎn)，距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)是頂點(diǎn)，已知， ，求這個(gè)橢圓方程.
解：由題意得，所以。所以
（1）焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
3.求以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且與該橢圓的離心率相同的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解：由已知橢圓中，，得 故
（1）焦點(diǎn)在軸上時(shí)，所求橢圓中，且由 從而
即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）焦點(diǎn)在軸上時(shí)，所求橢圓中，且由 從而
即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
4.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在上的橢圓的右焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與左焦點(diǎn)的距離為，求橢圓的方程。
解：（1）由題意得，
因?yàn)橛医裹c(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，所以。
因?yàn)椋?br>因?yàn)殚L(zhǎng)軸的右端點(diǎn)與左焦點(diǎn)的距離為，所以，所以。所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
5.求以橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)分別作為頂點(diǎn)、焦點(diǎn)的雙曲線方程.
解 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)分別為（，0）和（2，0）
所以焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線中=,c=2
所求雙曲線的方程為
6．求以的右焦點(diǎn)為圓心,且與雙曲線的漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解 橢圓的右焦點(diǎn)為（5，0）
雙曲線的漸近線為y= 由已知r=
故所求圓的方程為
7.求與橢圓有公共焦點(diǎn)，且有一條漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解 已知橢圓化為的焦點(diǎn)為（，0），
所以所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，。
所求雙曲線的一條漸近線為 ，所以故
故所求圓的方程為
8.求焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2，離心率為的雙曲線方程。
解 由題意得因?yàn)?，所以。因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，
所以所求雙曲線的方程。
9.求以橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的雙曲線方程. 【2007年】
解：橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)分別為（5，0）和（3，0）
所以焦點(diǎn)在軸上的雙曲線中得，所求雙曲線方程為.
10. 求焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)等于２，且離心率為的雙曲線方程. 【2008年】
解 由題意得因?yàn)?，所以。因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，
所以所求雙曲線的方程。
11.求焦點(diǎn)在軸上，實(shí)半軸長(zhǎng)為2，且離心率為的雙曲線方程． 【2016年】
解 由題意得 得c=3，因?yàn)?，所以。因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，
所以所求雙曲線的方程。
12.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【2019年】
解：由橢圓方程可得所以橢圓焦點(diǎn)為
依題設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
則有解得所求雙曲線方程為.
13.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解 由題意得設(shè)拋物線方程為(p>0) 由已知得， 解得p=4
所以?huà)佄锞€方程為。
四、證明題
已知拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求證：.【2021年】
證明一：∵ 拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)
∴ 將點(diǎn)代入拋物線解析式得

，得
得
∵
∴
即
證明二：∵ 拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)
∴ 拋物線和直線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，消去得
則是方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系可得
即
五、綜合題
1.知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）拋物線上一點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
解 (1)由題意得準(zhǔn)線方程化為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)
所以?huà)佄锞€方程為
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為。由題意得，代入得，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為。
2.已知直線:過(guò)拋物線的焦點(diǎn).
（1）求系數(shù)的值.
（2）判斷拋物線與直線是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn). 【2011年】
解 （1）由的焦點(diǎn)為且直線經(jīng)過(guò)此焦點(diǎn)，把（1，0）代入中，可得.
（2）由（1）可得直線， 把代入
可得即 則
直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
由二次方程的求根公式，可得，，
則，
因此這兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，），（，）
3.已知過(guò)點(diǎn)(0,-2)且傾斜角為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn). 【2004年】
(1) 求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）某橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解 (1)直線的斜率為=1即直線方程為=-2
方法一：設(shè)拋物線與直線的交點(diǎn)為A(),B(),
解方程組化簡(jiǎn)為
得或
所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)即(4,2)
方法二： 由根據(jù)韋達(dá)定理
設(shè)線段的中點(diǎn)(),
則又點(diǎn)在直線=-2上,所以即中點(diǎn)(4,2)
(2) 拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),即橢圓的半焦距=1且焦點(diǎn)在軸上,
橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2=││=
所以= , 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
4．已知直線 : 2x - y + m = 0過(guò)拋物線 的焦點(diǎn). 【2015年】
（1）求m 的值，并寫(xiě)出直線 的方程；
（2）判斷拋物線與直線 是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn)坐標(biāo).
解 （1）由的焦點(diǎn)為且直線經(jīng)過(guò)此焦點(diǎn)，
把（1，0）代入中，
可得.可得直線，
（2）由（1）可得直線， 把代入
可得即 則
直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
由二次方程的求根公式，可得，， 則， 因此這兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，），（，）
5．已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，準(zhǔn)線為 . 【2017年】
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線，被拋物線所截的線段長(zhǎng)為 9，求此直線的方程.
解 (1)準(zhǔn)線方程化為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo).所以?huà)佄锞€方程為。
(2)當(dāng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線垂直于軸時(shí)，此直線的方程為。被拋物線所截的線段長(zhǎng)為 6舍去。
所以過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線不垂直于軸。設(shè)拋物線與直線的交點(diǎn)為A(),B(),
設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線為代入得，
根據(jù)韋達(dá)定理
所以得，
所以求此直線的方程，即
教材名稱(chēng)（完整全稱(chēng)）
數(shù)學(xué)（拓展模塊）
教材ISBN號(hào)
978-7-04-049896-6
主編
李廣全 李尚志
出版社
高等教育出版社
命題范圍
教材第1頁(yè)至第29頁(yè)第二章 橢圓、雙曲線、拋物線

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