第21講　平面向量的應(yīng)用1．向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：
2．平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決．(2)物理學(xué)中的功是一個標量，是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cs θ(θ為F與s的夾角)．3．余弦定理(1)三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即：a2＝b2＋c2－2bccs A；b2＝c2＋a2－2cacs B；c2＝a2＋b2－2abcs C.
(2)如圖，教室里懸掛著日光燈管AB，AB＝120 cm，燈線AC＝BD，將燈管AB繞著過AB中點O的鉛垂線OO′順時針旋轉(zhuǎn)60°至A′B′，且始終保持燈線繃緊，若旋轉(zhuǎn)后該燈管升高了20 cm，則AC的長為(　　)
A．70 cm B．80 cmC．90 cm D．100 cm
(2)設(shè)A′B′與OO′交于點N，過點A′作A′M⊥AC于M，連接MN，如圖所示．
答案：(1)C　(2)D
剖析：向量法解決平面幾何問題的“三步曲”
2．向量的在物理中的應(yīng)用 (1)河水的流速為5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜水速度大小為(　　)A．13 m/s B．12 m/sC．17 m/s D．15 m/s
解析：(1)設(shè)河水的流速v2＝5 m/s，靜水速度與河水速度的合速度v＝12 m/s，小船的靜水速度為v1，為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即靜水速度v1斜向上游方向，河水速度v2＝5 m/s平行于河岸，靜水速度與河水速度的合速度v＝12 m/s指向?qū)Π叮?br/>答案：(1)A　(2)A剖析：(1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等．(2)向量的加減法運算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解中．(3)動量mv是向量的數(shù)乘運算．(4)功是力F與位移s的數(shù)量積．
3．正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用 (1)(2023·廣東模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sin B·sin C＝sin2 A，則△ABC的形狀是(　　)A．鈍角三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
答案：(1)C　(2)B剖析：已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理時需判斷其解的個數(shù)，用余弦定理時可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù)．
4．正余弦定理的實際應(yīng)用 (1)王之渙《登鸛雀樓》：白日依山盡，黃河入海流，欲窮千里目，更上一層樓．詩句不僅刻畫了祖國的壯麗河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得遠”的哲理，因此成為千古名句．我們從數(shù)學(xué)角度來思考：欲窮千里目，需上幾層樓？把地球看作球體，地球半徑R＝6 371 km，如圖，設(shè)O為地球球心，人的初始位置為點M，點N是人登高后的位置(人的高度忽略不計)，按每層樓高3 m計算，“欲窮千里目”即弧AM的長度為500 km，則需要登上樓的層數(shù)約為(　　)
(2)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北45°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為60°，則此山的高度CD為(　　)
答案：(1)C　(2)C
1．已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，則該三角形為(　　)A．銳角三角形　　　　B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
5．如圖，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，與O相距15 nmile的C處．現(xiàn)甲船以35 nmile/h的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向25 nmile的B處的乙船，則甲船到達B處需要的時間為__________h.
△OBC中，∠BOC＝30°＋90°＝120°，OC＝15，OB＝25；所以BC2＝152＋252－2×15×25×cs 120°＝1 225，即BC＝35，又甲船的速度為35 nmile/h，所以甲船到達B處需要的時間為35÷35＝1(h)．故答案為1.答案：1

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