【三輪沖刺】中考數(shù)學(xué) 專題09 在網(wǎng)格背景下的面積和周長(zhǎng)計(jì)算（重難點(diǎn)突破練習(xí)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C，E，F(xiàn)在同一條圓弧上，且點(diǎn)C，E，F(xiàn)在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，若，則陰影部分的面積為_________．
【答案】
【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到過點(diǎn)的圓的圓心，進(jìn)而根據(jù)已知條件與圓周角定理求得，關(guān)于陰影部分面積面積等于即可求解．
【詳解】如圖，
根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到的垂直平分線與的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，
，
，
，
陰影部分面積面積等于
．
故答案為：．
【我思故我在】本題考查了圓周角定理，求扇形面積公式，確定圓心是解題的關(guān)鍵．
2．如圖是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，上的點(diǎn)A，B，C，D均為格點(diǎn)，上有一點(diǎn)E，且，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】
【分析】線段AB和線段BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所在的圓得的圓心，連接OC，OE，由圓周角定理得∠COE＝2∠CAE＝30°，過點(diǎn)C作CH⊥OE于點(diǎn)H，則∠OHC＝90°，在Rt△OCH 中，求得CH＝OC＝，利用即可求出圖中陰影部分的面積．
【詳解】解：如圖，線段AB和線段BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所在的圓得的圓心，連接OC，OE，
∵，
∴∠COE＝2∠CAE＝30°，
過點(diǎn)C作CH⊥OE于點(diǎn)H，則∠OHC＝90°，
由勾股定理得OC＝OE＝，
在Rt△OCH 中，∠OHC＝90°，∠COH＝30°，OC＝，
∴CH＝OC＝，
∴
＝
＝
故答案為：
【我思故我在】此題考查了圓周角定理、判斷三角形外接圓的圓心位置、扇形的面積公式、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用圓周角定理得到∠COE＝2∠CAE＝30°是解題的關(guān)鍵．
3．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，格點(diǎn)E在上，則圖中陰影部分的面積為_______．
【答案】
【分析】取BC中點(diǎn)F，連接DF，由中位線的性質(zhì)得到，，利用勾股定理分別解得AC，BC，AB的長(zhǎng)，證明為等腰直角三角形，繼而得到也是等腰直角三角形，解得的面積及扇形CDF的面積即可解答．
【詳解】解：如圖，連接DF
D是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn)，
是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，

故答案為：．
【我思故我在】本題考查網(wǎng)格與勾股定理、扇形的面積、中位線性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
4．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C均為小正方形的頂點(diǎn)，且點(diǎn)B在上，則陰影部分的面積為__．
【答案】##
【分析】點(diǎn)O為過B點(diǎn)的縱軸和過C點(diǎn)的橫軸的交點(diǎn)，連接OA，根據(jù)題意求出OA，OB，OC的長(zhǎng)，確定圓心和半徑，從而求出弓形BC的面積，進(jìn)而解答；
【詳解】解：如圖，點(diǎn)O為過B點(diǎn)的縱軸和過C點(diǎn)的橫軸的交點(diǎn)，連接OA，D點(diǎn)為小正方形的頂點(diǎn)，
根據(jù)題意由圖可得：OA=，OB=OC=5，
∴O為的外接圓的圓心，
AD為底邊，則的面積=，
∵OC⊥OB，圓的半徑為5，則扇形BC的面積為外接圓的面積，
∴弓形BC的面積=，
∴陰影部分的面積為：10＋=，
故答案為：．
【我思故我在】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積，勾股定理，三角形外接圓的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算；找出圓心的位置是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，一條弧經(jīng)過格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）A，B，D，點(diǎn)C為弧BD上一點(diǎn)．若，則弧CD的長(zhǎng)為__________．
【答案】
【分析】作線段AD和線段AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，即格點(diǎn)O為弧AD所在圓的圓心，連接OC、OD，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，得出的長(zhǎng)，再根據(jù)圓周角定理，得出，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，作線段AD和線段AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，即格點(diǎn)O為弧AD所在圓的圓心，連接OC、OD，
根據(jù)題意，可得：，
，
∴弧CD的長(zhǎng)為：．
故答案為：
【我思故我在】本題考查了線段的垂直平分線、勾股定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式，根據(jù)題意并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半；弧長(zhǎng)公式：（為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)；為半徑）
6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一段弧，弧上三點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上．則的長(zhǎng)為______．
【答案】
【分析】直接利用圓的性質(zhì)得出圓心位置進(jìn)而利用勾股定理以及勾股定理逆定理得出；再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算得出答案．
【詳解】解：如圖所示：圓心P的坐標(biāo)為：（-2，1），
∵AP=PC=，AC=2，
∴AP2+PC2=AC2，
∴△APC是等腰直角三角形，
∴∠APC=90°，
的長(zhǎng)度為：．
故答案為
【我思故我在】此題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及勾股定理以及勾股定理逆定理，正確得出圓心位置是解題關(guān)鍵．
7．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C、D、E、F均在小正方形的頂點(diǎn)上，且弦BG上有4個(gè)正方形的格點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則陰影部分的面積為_____________．
【答案】
【分析】連接BE、CF交于點(diǎn)O，連接OG，由圓周角定理可得BE，CF是圓的直徑，O為圓的圓心，由勾股定理可得圓的半徑為，由∠CBM=45°可得扇形圓心角為90°，再由陰影面積=扇形COG面積-△COG面積計(jì)算求值即可；
【詳解】解：如圖，連接BE、CF交于點(diǎn)O，連接OG，設(shè)BG、CE交于格點(diǎn)M，
B、C、E、F均在小正方形的頂點(diǎn)上，則ECBF是矩形，
∵∠BCE=90°，∠CBF=90°，
∴BE，CF是圓的直徑，O為圓的圓心，
BC= 3，BF=4，則FC==5，圓的半徑為，
∵BC=CM=3，∠BCM=90°，
∴∠CBM=45°，即∠CBG=45°，
∴∠COG=90°，
∴陰影面積=扇形COG面積-△COG面積=-OC?OG
=，
故答案為：；
【我思故我在】本題考查了圓周角定理，勾股定理，扇形面積計(jì)算等知識(shí)；正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
8．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A，B，C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)A，B，C在同一條弧上，則陰影部分的周長(zhǎng)為_____．
【答案】
【分析】設(shè)的圓心為O，的中點(diǎn)為M，OM與BC的交點(diǎn)為N，根據(jù)表格得出BC=6，MN=1，CN=，設(shè)圓O的半徑為R，利用勾股定理得出R=5，由勾股定理逆定理得出?AOC為直角三角形，∠COA=90°，結(jié)合圖形應(yīng)用弧長(zhǎng)公式及勾股定理即可得出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)的圓心為O，的中點(diǎn)為M，OM與BC的交點(diǎn)為N，
由圖可知，BC=6，MN=1，CN=，
設(shè)圓O的半徑為R，
由圖可得：，即，
解得：R=5，
∴OC=OA=5，
∵，
∴，
∴?AOC為直角三角形，∠COA=90°，
陰影部分的周長(zhǎng)為：，
故答案為：．
【我思故我在】題目主要考查不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)，包括扇形弧長(zhǎng)、勾股定理及其逆定理，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．
9．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A，B，C，格點(diǎn)A，D的連線交圓弧于點(diǎn)E，則圖中陰影部分面積為____．
【答案】
【分析】連接AC，取AC中點(diǎn)F，連接EF，可得AC為直徑，F(xiàn)為圓心，再由勾股定理逆定理可得，△ACD是等腰直角三角形，且∠ACD=90°，從而得到，結(jié)合圖形利用三角形面積與扇形面積之間的關(guān)系求解即可．
【詳解】解：如圖，連接AC，取AC中點(diǎn)F，連接EF，
∵∠ABC=90°，
∴AC為直徑，F(xiàn)為圓心，
∴，
∴∠FAE=∠FEA，即∠CAD=∠FEA，
網(wǎng)格中，由勾股定理得：
，，，
∴，，
∴，△ACD是等腰直角三角形，且∠ACD=90°，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠FEA=45°，
∴，
∴
，
故答案為：．
【我思故我在】本題主要考查了圓周角定理，求扇形面積，勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A周角定理，扇形面積，勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．
10．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，C均在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)B在弧AC上，且∠ACB＝15°，則陰影部分的周長(zhǎng)為______．
【答案】
【分析】先確定出圓心位置根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出弧AB的長(zhǎng)度，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得BC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出線段AC的長(zhǎng)度，即得答案．
【詳解】解：由題意知圓心O位置如圖所示，
∵∠ACB＝15°，
∴∠AOB=30°，
∴∠BOC=60°，
即△BOC為等邊三角形，OC=BC=OB=6，
∴弧AB的長(zhǎng)度為：，
由勾股定理得：AC=，
陰影部分的周長(zhǎng)為，
故答案為：．
【我思故我在】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式、勾股定理求格點(diǎn)中線段的長(zhǎng)度、等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是：確定出弧所在圓的圓心位置．
11．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C，D均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)C在上，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為______．
【答案】
【分析】連接AC、BC、AB、BD、取AB的中點(diǎn)O，連接OH，首先利用△ABD求出∠BAD=45°，結(jié)合△OAH求出圓心角的度數(shù)和半徑長(zhǎng)，再求出∠BOH=90°，繼而利用弧長(zhǎng)公式即可求出弧長(zhǎng)．
【詳解】解：連接AC、BC、AB、BD、取AB的中點(diǎn)O，連接OH，
∵∠ACB=90°，
∴AB為圓O的直徑，O是圓心，
∵AB= ,
同理BD=5，
AD= ，
∴AB2+BD2=AD2，
∴∠ABD=90°，
又∵AB=BD，
∴∠BAD=45°，
又∵OA=OH，
∴∠AOH=90°，
∴∠BOH=90°，
∴的長(zhǎng)為，
故答案為．
【我思故我在】本題考查弧長(zhǎng)公式、圓周角定理以及勾股定理以及逆定理，解決問題的關(guān)鍵是求出圓心角和半徑．
12．如圖，在5×4的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D在上線段BC與交于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為_______．（結(jié)果保留）
【答案】
【分析】先連接AC，AE，可說明△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出∠BDA=90°，得出AB是圓的直徑及△ABE是等腰直角三角形，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)求出BE，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng)，即可得出答案．
【詳解】連接AC，AE，如圖所示，
∵，，
∴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵∠BDA=90°，
∴AB是直徑，
∴∠BEA=90°，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴，∠BAE=45°，
∴所對(duì)的圓心角度數(shù)為90°，
∴的長(zhǎng)為，
∴陰影部分的周長(zhǎng)是．
故答案為：．
【我思故我在】本題主要考查了圓周角定理及推論，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，弧長(zhǎng)公式等，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
13．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、D均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)B、C在AD上，∠BAC=25°，則的長(zhǎng)為______．（結(jié)果保留）
【答案】##
【分析】如圖，圓心為O，連接OA，OB，OC，OD．利用弧長(zhǎng)公式求解即可．
【詳解】解：如圖，圓心為O，連接OA，OB，OC，OD．
∵OA=OB=OD=5，∠BOC=2∠BAC=50°，
∴的長(zhǎng)=．
故答案為：．
【我思故我在】本題考查弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是正確尋找圓心O的位置，屬于中考?？碱}型．
14．如圖，在的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，，三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，線段與交于點(diǎn)，則圖中的長(zhǎng)度為________．（結(jié)果保留）
【答案】
【分析】連接，由網(wǎng)格圖得到和長(zhǎng)，再利用圓周角定理得到所對(duì)的圓心角，最后利用弧長(zhǎng)公式代值求解即可．
【詳解】解：連接，如圖所示：
由圖可知和均是的網(wǎng)格構(gòu)成的矩形的對(duì)角線，則，
是半圓的直徑，
由圓周角定理可知，
是等腰直角三角形，
，
，
由圓周角定理可知所對(duì)的圓心角為，
的長(zhǎng)度為，
在網(wǎng)格中，，
的長(zhǎng)度為，
故答案為：．
【我思故我在】本題考查網(wǎng)格中線段長(zhǎng)求解及弧長(zhǎng)求解，通過網(wǎng)格找到線段關(guān)系及相應(yīng)線段長(zhǎng)度、角度是解決問題的關(guān)鍵．
15．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)D在上，，則的長(zhǎng)為_________．
【答案】
【分析】連接AC，確定弧所對(duì)的圓心O，可知AC為直徑，連接OB、OD，利用勾股定理求得，，則，根據(jù)圓周角定理可得，從而求得，即可求解．
【詳解】解：連接AC，確定弧所對(duì)的圓心O，連接OB、OD，如下圖：
由勾股定理可得：，，
∴
∴為直角三角形，
∴AC為直徑，，，
∴
∵
∴，
∴，
所以的長(zhǎng)為
故答案為：
【我思故我在】此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，涉及了勾股定理，圓周角定理等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定圓心的位置，正確求得半徑以及圓心角，熟記弧長(zhǎng)公式．
16．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在5×5的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）的格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，且點(diǎn)A′、C′仍落在格點(diǎn)上，則圖中陰影部分的面積是 ___________．
【答案】
【分析】首先求得扇形的半徑和圓心角，然后根據(jù)扇形面積公式求得扇形的面積，然后計(jì)算出的面積，相減即可得出陰影部分面積．
【詳解】解：由題意得，
，
旋轉(zhuǎn)角，
，
∵，
．
故答案為：．
【我思故我在】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算、勾股定理等，牢固掌握扇形面積公式是做出本題的關(guān)鍵．
17．如圖，在4×5的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，C，B三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，線段AC與交于D，則圖中的長(zhǎng)度為___．（結(jié)果保留π）
【答案】
【分析】連接BC，由題意可得，∠ABC=90°，，推出所對(duì)的圓心角的度數(shù)和圓的半徑，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接BC，
由圖可得：，，，
，
是直角三角形，∠ABC=90°，，
∴∠BAD=45°，
∴所對(duì)的圓心角是90°，所在圓的半徑是，
∴的長(zhǎng)度為：
故答案為：．
【我思故我在】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，勾股定理及其逆定理，正確的作出輔助線并熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)、、是格點(diǎn)，則圖中扇形中陰影部分的面積是___．

【答案】
【分析】證明△ACO≌△ODB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AOB＝90°，根據(jù)勾股定理求出OA、OB，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】解:在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（SAS），
∴∠CAO＝∠BOD，
∵∠ACO＝90°，
∴∠CAO+∠AOC＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得，OA＝OB＝＝，
∴扇形OAB中陰影部分的面積＝﹣××＝﹣，
故答案為：．
【我思故我在】本題考查的是扇形面積計(jì)算、勾股定理的應(yīng)用、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握扇形面積公式，利用全等三角形求出圓心角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．

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