1.答卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知復數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
3.函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
4.在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人第4天與第5天共走的里程數(shù)為（ ）
A.24 B.36 C.42 D.60
5.已知向量，若，則（ ）
A. B. C. D.
6.《九章算術(shù)》中將圓臺稱為“圓亭”.已知某圓亭的高為3，上底面半徑為1，下底面半徑為5，則此圓亭的表面積為（ ）
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)，若存在兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離是，若將圖象上的每個點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖象在區(qū)間上至少含有30個零點，則在所有滿足條件的區(qū)間中，的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.“”是“”成立的充分不必要條件
D.若，則
10.已知各項都是實數(shù)的數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（ ）
A.若，則數(shù)列是遞減數(shù)列
B.若，則數(shù)列無最大值
C.若數(shù)列為等比數(shù)列，則為等比數(shù)列
D.若數(shù)列為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列
11.如圖，直三棱柱的各條棱長均為是側(cè)棱的中點，是的中點，是的中心，則（ ）
A.平面平面
B.平面
C.異面直線與所成角的正弦值為
D.直線與平面所成角的正弦值為
12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.當時，則方程在上有5個不同的解
B.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減
C.當時，函數(shù)在上有2個零點
D.若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知函數(shù)則__________.
14.已知平面向量為單位向量，且，則在方向上的投影向量的坐標為__________.
15.已知函數(shù)，若，且，則的最小值為__________.
16.若銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，其外接圓的半徑為，且，則的取值范圍為__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分10分）
已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
18.（本小題滿分12分）
已知函數(shù)為奇函數(shù)，.
（1）求的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，求實數(shù)的取值范圍.
19.（本小題滿分12分）
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，且，若，求的面積.
20.（本小題滿分12分）
（1）求的值；
（2）若，求的值.
21.（本小題滿分12分）
如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，.
（1）求證：四點共面；
（2）若，求平面與平面夾角的正弦值.
22.（本小題滿分12分）
已知函數(shù).
（1）當時，求在區(qū)間上的最值；
（2）若有兩個不同的零點，證明：.
24屆高三年級TOP二十名校調(diào)研考試八?數(shù)學
參考答案?提示及評分細則
1.C由題意得，所以，所以.故選C.
2.C因為，所以，所以，所以.故選C.
3.B由題意得，所以，解得，故，則，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.故選B.
4.B設(shè)第天走里，其中，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，解得，所以此人第4天與第5天共走里程數(shù)為.故選B.
5.D因為，所以，得，所以.故選D.
6.D由題意，可作該圓亭的軸截面，如圖所示：
則圓亭的高，上底面半徑，下底面半徑，母線5，所以圓臺的表面積.故選D.
7.A因為的定義域為，當時，在上單調(diào)遞減，不可能存在兩個零點，不合題意；當時，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若存在兩個零點，則，解得.又，令，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，又，所以當時，存在兩個零點，所以實數(shù)的取值范圍為.故選A.
8.C 由，得，則，則為偶函數(shù)，所以，又，所以，故，可得.由得，故或，解得或，所以相鄰兩個零點之間的距離為或.若最小，則和都是零點，此時在區(qū)間分別恰有個零點，所以在區(qū)
間上恰有29個零點，從而在區(qū)間上至少有1個零點，所以，所以的最小值為.故選C.
9.BD對于選項A，不妨令，滿足，但，故A錯誤；對于選項，若，則，所以，不等式兩邊同除以得，故B正確；對于選項C，由“”不能得到“”，比如，故充分性不成立，故C錯誤；對于選項D，若，則，故D正確.故選BD.
10.ACD對于選項，當時，，又，所以則是遞減數(shù)列，故A正確；對于選項是遞減數(shù)列，所以，故B錯誤；對于選項，由題意得各項均不為0，設(shè)公比為，即，且0，即，所以，故C正確；對于D，，所以即數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選ACD.
11.ABD對于選項，如圖1，取的中點的中點，連接，故.又四邊形為平行四邊形，.又三棱柱是直三棱柱，為正三角形，平面，而平面，又平面.又平面，所以平面平面，故A正確；
對于選項B，如圖2，連接并延長交于，則為的中點，連接點為棱的中點，平面平面平面平面，故B正確；
對于選項C，建立如圖3所示的空間直角坐標系，則，.設(shè)異面直線與所成的角為，則，故異面直線與所成角的余弦值為，所以，故錯誤；
對于選項，得，設(shè)為平面的一個法向量.由得即.直線的一個方向
向量為，則，即直線與平面所成角的正弦值為，故正確.故選ABD.
12.AD對于選項，當時，，方程，即，所以或，所以或，故A正確；對于選項，當時，，則，當時，，所以，即在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于選項，因為，根據(jù)選項，所以在上有且僅有一個零點，當時，，所以在上無零點，所以在上有且僅有一個零點，故錯誤；對于選項，由，即，整理得，令，則，當時，對任意有，又，所以，此時在上單調(diào)遞增，故，符合題意.當時，令，則，所以，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增.又，當，即時，在上有，此時在上單調(diào)遞增，，符合題意.當，即時，若，即，由零點存在定理，存在使，故上，所以在上單調(diào)遞減，此時，不合題意.若，即，此時對恒有且不恒為0，即在上單調(diào)遞減，所以，不合題意.綜上，的取值范圍是，故D正確.故選AD.
13.9因為，所以.
14.由題意，即，則在方向上的投影向量為.
15.8因為的定義域為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又在上為減函數(shù)，所以由，得，所以，則，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值為8.
16.因為，所以，即，由正弦定理得，顯然，所以，所以，因為，所以.因為，所以，所以，因為為銳角三角形，所以所以，即.令，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以，即的取值范圍為.
17.（1）證明：因為，所以，
可化為，
因為，所以，
所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（2）解：由（1）知，
，
所以
18.解：（1）由，即，
所以，故對定義域內(nèi)的任意實數(shù)都成立，則，
經(jīng)驗證不符合，符合題意，所以.
（2）由（1）知，所以函數(shù)的定義域為，
因為，所以在上單調(diào)遞減，
由，得，
因為在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，則.
又在區(qū)間上無解，故.
19.解：（1），
所以函數(shù)的最小正周期為.
令，得，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由，得，
由得，所以，得.
由余弦定理得，得，
因為，所以，
從而有，得，
則.
20.解：（1）因為，所以，
又，所以.
所以.
（2）由（1），得，
又，所以，又，所以，
所以，
.
所以.
21.（1）證明：如圖所示，在棱上取點，使得，
又，所以四邊形為平行四邊形，
則且，又且，所以且，
則四邊形為平行四邊形，所以，
同理可證四邊形為平行四邊形，則，所以.
所以四點共面.
（2）解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則，
.設(shè)平面的法向量為，
由得，解得
令，則.
，設(shè)平面的法向量為，
由得，解得
令，則，
設(shè)兩個平面夾角大小為，則.
所以，
所以平面與平面夾角的正弦值為.
22.（1）解：當時，，
.
由，得；由，得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
因為，
，
所以在區(qū)間上的最大值為0，最小值為.
（2）證明：.
當時，在上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點，舍去；
當時，所以，
由，得，所以在上單調(diào)遞增；
由，得，所以在上單調(diào)遞減.
所以當時，取得極大值，極大值為，
為滿足題意，必有，得.
因為是的兩個不同的零點，
所以，
兩式相減得.
設(shè)，要證，
只需證，即證.
設(shè)，只需證，
設(shè)，則，
所以在上為增函數(shù)，從而，

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