本試題滿分150分，考試時間120分鐘.答案一律寫在答題卡上.
注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓
名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.
2．答題時使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.
4．保持卡面清潔，不折疊，不破損.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一-項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)解一元二次不等式的解法，結(jié)合集合并集的定義進行運算即可.
【詳解】由，而，
所以.
故選：B
2. 若復(fù)數(shù)z滿足，則（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則和減法運算法則，給合復(fù)數(shù)模的運算公式進行運算即可.
【詳解】，
因此，
故選：A
3. 已知兩條不同的直線，和平面滿足，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進行判斷即可．
【詳解】解：若，則由，可得，充分性成立；反之，若，則由，可得，必要性成立．所以“”是“”的充要條件．
故選：C．
4. 甲單位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，從兩個單位任抽一個單位，然后從所抽到單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】運用古典概型運算公式進行求解即可.
【詳解】從所抽到的單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為：
，
故選：D
5. 已知，則（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)運算律計算即可.
【詳解】
故選：A.
6. 在數(shù)列中，如果存在非零的常數(shù)T，使得對于任意正整數(shù)n均成立，那么就稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列的周期．已知數(shù)列滿足，若，（且），當(dāng)數(shù)列的周期為3時，則數(shù)列的前2024項的和為（）
A. 676B. 675C. 1350D. 1349
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得，得到，求得，進而得到，結(jié)合周期性，即可求解.
【詳解】因為且，滿足
所以，
因為數(shù)列的周期為，可得，所以，
所以，所以，
同理可得，所以，，
所以.
故選：C.
7. 設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，過左焦點作直線與圓切于點E，與雙曲線右支交于點P，且滿足，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意，再結(jié)合平面向量的性質(zhì)與雙曲線的定義可得，，再根據(jù)勾股定理列式求解決即可.
【詳解】∵為圓上的點，，
，∴是的中點，
又是的中點，，且，
又，，
是圓的切線，，
又，，
故，離心率.

故選：D
8. 已知，，，則（）
AB.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二項式展開式，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞增，根據(jù)，得到，令，得到，即可求解.
【詳解】由，
設(shè)，可得恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以在在上恒成立，
所以，所以，
設(shè)，可得，
所以，所以
設(shè)，
可得，
所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，即，
所以.
故選：B.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知函數(shù)的圖像為曲線C，下列說法正確的有（）
A. ，都有兩個極值點
B. ，都有零點
C. ，曲線C都有對稱中心
D. ，使得曲線C有對稱軸
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)極值的定義、零點的定義，結(jié)合函數(shù)的對稱性的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】A：，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，因此本選項正確；
B：當(dāng)時，，當(dāng)時，，而函數(shù)是連續(xù)不斷的曲線，所以一定存在，使得，因此本選項正確；
C：假設(shè)曲線C的對稱中心為，則有化簡，得，因為，
所以有，
因此給定一個實數(shù)，一定存在唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng)，因此假設(shè)成立，所以本選項說法正確；
D：由上可知當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以該函數(shù)不可能是關(guān)于直線對稱，因此本選項說法不正確，
故選：ABC
10. 如圖，正方體的棱長為2，若點M在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 直線平面
B. 三棱錐與三棱錐的體積之和為
C. 的周長的最小值為
D. 當(dāng)點M是的中點時，CM與平面所成角最大
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)面面平行、線面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式、線面角的定義、正方體展開圖逐一判斷即可.
【詳解】A：如下圖所示：
因為是正方體，
所以，而平面，平面，
所以平面，
同理由是正方體可得，同理可證明平面，
而平面，
所以平面平面，
而平面，所以直線平面，因此本選項正確；
B：如下圖所示：過作，交、于、，
過作，交于，
因為是正方形，所以可得，
，因此本選項正確；
C：將平面與平面展成同一平面，如下圖所示：
當(dāng)三點共線時，最小，作，交延長線于，
則，，
，
所以的周長的最小值為，因此本選項不正確；
D：當(dāng)點M是的中點時，，
因為平面，平面，
所以，而平面，
所以平面，CM與平面所成角為，因此本選項正確，
故選：ABD
11. 已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不等實根、、、（），則下列結(jié)論正確的是（）
A.
B.
C.
D. 的最小值為
【答案】BC
【解析】
【分析】畫圖象判斷m和的取值范圍，可得A錯誤，B正確；將方程變形，用m表示、、、，代入原式化簡，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值判斷C正確，利用基本不等式計算判斷D錯誤.
【詳解】
如圖，由函數(shù)的圖像可知，，A錯誤；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，B正確；
，則，，
所以
令，則，原式，
，顯然在時，，
即y在上單調(diào)遞增，，，
即，C正確；
由圖像可知，，則，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，D錯誤.
故選：BC.
12. 已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且，，則（）
A. B.
C. 在上是增函數(shù)D. 存在最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】AB選項，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而判斷AB選項，CD選項，構(gòu)造，二次求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，判斷CD.
詳解】設(shè)，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
A選項，因為，所以，即，A正確；
B選項，因為，所以，即，B正確；
C選項，，則，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，
故恒成立，
所以在上恒成立，故在上是增函數(shù)，C正確；
D選項，由C選項可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故無最小值.
故選：ABC
【點睛】利用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考?？碱}目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見思路：
比如：若，則構(gòu)造，
若，則構(gòu)造，
若，則構(gòu)造，
若，則構(gòu)造.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，滿足： =，⊥，則=_______
【答案】##
【解析】
【分析】由向量垂直即可得數(shù)量積為0,代入模長即可求解.
【詳解】由⊥可得，
故答案為：
14. 已知，則______________．
【答案】24
【解析】
【分析】利用賦值法進行求解即可.
【詳解】在中，
令，得①，
令，得②，
令，得
①②，得，
故答案為：
15. 已知函數(shù)，現(xiàn)將該函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，化簡函數(shù)，結(jié)合圖象平移求出函數(shù)，進而求出單調(diào)遞增區(qū)間，再列出不等式求解作答.
【詳解】函數(shù)，
因此，，
由，解得，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是，即，
解得，由，得，而，即或，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的取值范圍為.
故答案為：
16. 已知拋物線C：的焦點F到其準(zhǔn)線的距離為2，圓M；，過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點，則的最小值為______________．
【答案】12
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件先求出拋物線的方程，然后將問題轉(zhuǎn)化為計算“”的最小值，通過拋物線的焦半徑公式將表示為坐標(biāo)的形式，采用直線與拋物線聯(lián)立的思想，根據(jù)韋達(dá)定理和基本不等式求解出最小值.
【詳解】因為拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，所以，
所以拋物線方程為，
如下圖，，
因為，
設(shè)，所以，
所以，
因為直線水平時顯然不合題意，故可設(shè)，
因為直線所過定點在拋物線內(nèi)部，則直線必然與拋物線有兩交點，同樣與圓也有兩交點，
聯(lián)立，，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為12.
故答案為：12.
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查圓與拋物線的綜合應(yīng)用，其中涉及拋物線的焦半徑公式的運用.常見拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）
（1）焦點軸正半軸，拋物線上任意一點，則；
（2）焦點在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點，則；
（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；
（4）焦點在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點，則.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 在等比數(shù)列中，，，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組求得，進而得到數(shù)列的通項公式；
（2）由（1），得到，利用乘公比錯位相減法求和，即可求解.
【小問1詳解】
解：由題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為，且，，成等差數(shù)列，可得，
則，即，解得，
所以數(shù)列的通項公式為.
【小問2詳解】
解：由（1）可得，
則，
，
兩式相減，可得
所以.
18. 在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答．
在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．
（1）求角A；
（2）若，求周長的范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）正弦定理結(jié)合余弦定理求解即可；
（2）先根據(jù)正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角表示，結(jié)合輔助角公式計算值域即可得出周長范圍.
【小問1詳解】
選擇①：因為，
由余弦定理可得，
所以結(jié)合正弦定理可得．
因為，則，
所以，即，
因為，所以；
選擇②：因為，
由正弦定理得，
由余弦定理得．
因為，所以；
【小問2詳解】
由（1）知，又已知，由正弦定理得：
∵,
∴，,
∴
,
∵,
∴,
∴,
∴．
19. 在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩?防護服?消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩.現(xiàn)利用分層隨機抽樣的方法從樣本口罩中隨機抽取8個口罩，再從抽取的8個口罩中隨機抽取3個，記其中一級口罩的個數(shù)為，求的分布列及均值.
（2）甲計劃在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上參加店的一個訂單“秒殺”搶購，乙計劃在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上參加店的一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單均由個該型號口罩構(gòu)成.假定甲?乙兩人在，兩店訂單“秒殺”成功的概率均為，記甲?乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量?口罩總數(shù)量分別為，.
①求的分布列及均值；
②求的均值取最大值時，正整數(shù)的值.
【答案】（1）分布列答案見解析，；（2）①分布列答案見解析，；②的值為2.
【解析】
【分析】（1）可得的可能取值為0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）①可得的可能取值為0，1，2，求出取不同值的概率，即可得出分布列；
②利用基本不等式可求出.
【詳解】（1）結(jié)合頻率分布直方圖，得用分層隨機抽樣抽取8個口罩，其中二級?一級口罩的個數(shù)分別為6，2，所以的可能取值為0，1，2.
，，，
所以的分布列為
所以.
（2）①由題意，知的可能取值為0，1，2.
，，
，所以的分布列為
所以.
因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
所以取最大值時，的值為2.
20. 如圖，在四棱錐中，底面，，，，直線與平面所成的角為.
（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作于點，于點，通過余弦定理角解得，再通過勾股數(shù)得，再利用線面垂直的性質(zhì)得到，從而得到平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可證明結(jié)果；
（2）建立空間直角坐標(biāo)，利用向量法即可求出二面角的大小.
【小問1詳解】
作于點，于點，
因為，，則，，
所以，又，所以，
由余弦定理可知，得到，所以，
所以，又底面，面，
所以，又，面，所以平面，
又面,所以.
【小問2詳解】
以點為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖坐標(biāo)系
因為平面，所以與平面所成的角就是
所以，為等腰直角三角形，所以
，，，，
設(shè)平面的法向量，則則由，得到，
取，得，
又易知，平面的一個法向量，
，由圖知二面角為銳角
所以二面角的余弦值為.
21. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求證：；
（2）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得到，然后作差，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法證明.
（2）將對成立，轉(zhuǎn)化對成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求得其最大值即可.
【詳解】（1）時，，
令，
令，則，∴在上是增函數(shù)，
∴，∴在上是增函數(shù)，
∴，
∴時，，
∴；
（2）∵對成立，
∴對成立，
令，則，
令，則，
∵，∴，∴，
∴在上是減函數(shù)，∴，∴在上是減函數(shù)，
∴，
∴，∴，
即．
【點睛】方法點睛：求解不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍問題，一般常用分離參數(shù)的方法，但是如果分離參數(shù)后對應(yīng)的函數(shù)不便于求解其最值，或者求解其函數(shù)最值繁瑣時，可采用直接構(gòu)造函數(shù)的方法求解．
22. 已知橢圓，離心率，且過點，
（1）求橢圓方程；
（2）以為直角頂點，邊與橢圓交于兩點，求面積的最大值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率及所給的點可得方程，解之即得橢圓方程；
（2）不妨設(shè)方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出兩點的坐標(biāo)，結(jié)合弦長公式及三角形面積公式得到關(guān)于的函數(shù)，然后利用換元法及基本不等式求函數(shù)的最值．
【小問1詳解】
由，，得，
把點帶入橢圓方程可得，解得，所以，
所以橢圓方程為：；
【小問2詳解】
由題可知，不妨設(shè)的方程，則的方程為，
由，得，
所以，
用代入，可得
從而有，
于是，
令，有，
當(dāng)且僅當(dāng)時，面積的最大值為．
0
1
2
0
1
2

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