注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚。
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。在試題卷上作答無效。
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知為兩條直線，為兩個(gè)平面，，則是的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
2.早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.若，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.
3.已知，為兩個(gè)隨機(jī)事件，，，，，則（ ）
A.0.1B.D.
4.某地計(jì)劃對如圖所示的半徑為的直角扇形區(qū)域按以下方案進(jìn)行擴(kuò)建改造，在扇形內(nèi)取一點(diǎn)使得，以為半徑作扇形，且滿足，其中，，則圖中陰影部分的面積取最小值時(shí)的大小為（ ）
A.B.C.D.
5.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則的值為（ ）
A.B.C.D.
6.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最大值為（ ）
A.1B.2C.3D.4
7.在正方體中，E為BD的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A.0B.C.D.
8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A.6B.9C.11D.14
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對1個(gè)得2分.
9.下列說法正確的是（ ）
A.“”是“”的既不充分也不必要條件
B.命題“，”的否定是“，”
C.若，則
D.的最大值為
10.已知函數(shù)，，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.當(dāng)時(shí)，B.
C.若，則D.
11.已知，，其中，.若，則（ ）
A.B.
C.D.
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則.
13.在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為，若直線 的傾斜角為，則______.
14.已知雙曲線的一條漸近線平行于直線，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則該雙曲線的方程為.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，，數(shù)列滿足.
(1)求，，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前和.
16.（15分）如圖，在圓錐中，是圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面圓的圓心，是圓錐底面圓的直徑，等邊三角形是圓錐底面圓的內(nèi)接三角形，是圓錐母線的中點(diǎn)，.
(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)點(diǎn)在線段上，且，求直線與平面所成角的正弦值.
17.（15分）隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，大數(shù)據(jù)的驅(qū)動(dòng)，線上線下相結(jié)合的新零售時(shí)代已全面開啟，新零售背景下，即時(shí)配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長.某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評分調(diào)查（滿分100分），評分結(jié)果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)；
(2)規(guī)定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司的客戶人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18.（17分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，為上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的面積為1.
(1)求的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，如果直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率滿足，試探究點(diǎn)到直線的距離的最大值.
19.（17分）在函數(shù)極限的運(yùn)算過程中，洛必達(dá)法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：
①且（或，）；
②在點(diǎn)的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；
③（可為實(shí)數(shù)，也可為），則.
(1)用洛必達(dá)法則求；
(2)函數(shù)（，），判斷并說明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(3)已知，，，求的解析式.
參考公式：，.
參考答案
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【答案】A
【解析】若，因?yàn)?，所以，即由可以得到?br>若，如圖，在正方體中，取平面為平面，平面為平面，
取為直線，為直線，顯然有，，但與不垂直，即由得不到，
故選：A.
2.【答案】D
【解析】不妨設(shè)，，則，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
所以
，（）
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
故選：D.
3.【答案】B
【解析】，
所以，
，
所以，
所以，
即，
所以，
即，
解得，
故選：B.
4.【答案】A
【解析】由題意知，
則圖中陰影部分的面積
，
因?yàn)?，，所以，所以?br>令，
則，
由，得，
因?yàn)?，所以?br>令，得，
所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，最小，即圖中陰影部分的面積取最小值.
故選：A.
5.【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
即，因?yàn)?，則，
且余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
所以，又，所以，
由正弦定理得，即，
所以.
故選：B.
6.【答案】C
【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)為，
由題意可得：，表示復(fù)平面中點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為1，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑的圓，
因?yàn)楸硎颈硎緩?fù)平面中點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，
所以，即的最大值為3.
故選：C.
7.【答案】D
【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為，
則，
則直線與所成角的余弦值為
，
故選：D
8.【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
由，
則有，解得，
所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
故.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對1個(gè)得2分.
9.【答案】AD
【解析】對于A，“若，則”是假命題，因?yàn)?，而；“若，則”是假命題，因?yàn)?，而，即“”是“”的既不充分也不必要條件，A正確；
對于B，命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，因此它的否定是“，”，B錯(cuò)誤；
對于C，當(dāng)時(shí)，成立，因此成立，不一定有，C錯(cuò)誤；
對于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，D正確.
故選AD.
10.【答案】ACD
【解析】A選項(xiàng)，設(shè)，作出單位圓，與軸交于點(diǎn)，則，
過點(diǎn)作垂直于軸，交射線于點(diǎn)，連接，
由三角函數(shù)定義可知，，
設(shè)扇形的面積為，則，即，故，
當(dāng)時(shí)，有不等式，A正確；
B選項(xiàng)，畫出，，且與的函數(shù)圖象，如下：
可以看出，，故，B不正確；
C選項(xiàng)，的最小正周期為，由圖象可知，故，C正確；
D選項(xiàng)，由，
，
因?yàn)?，，故?br>而，
但，且在為增函數(shù)，
故，故，D正確.
故選：ACD.
11.【答案】AB
【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），
，
所以，，
因?yàn)?，所以，解得（舍去）或，故A正確；
由，
令可得，故B正確；
由，
令可得，
令可得，所以，故C錯(cuò)誤；
將兩邊對求導(dǎo)可得，
，
令可得，故D錯(cuò)誤.
故選：AB
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.【答案】
【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
用替換上式中的，可得，
在中，用替換，可得，
所以，用替換該式中的，可得，
所以，所以函數(shù)的周期為，
在中，令，得，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，
所以.
故答案為：.
13.【答案】/
【解析】由題意得，點(diǎn)，，
所以直線的斜率，
所以，即，
所以或者，
當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)重合，不合題意，
當(dāng)時(shí)，即，
可得.
故答案為：.
14.【答案】
【解析】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，
令，則，故雙曲線的右焦點(diǎn)為，
所以，所以，①
又因?yàn)殡p曲線的一條漸近線平行于直線，
所以，②
由①②解得，
所以，雙曲線的方程為：.
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）【答案】(1)，，，
(2)
【解析】（1）由題意可知，，，
由題意可知，正偶數(shù)與不互素，所有正奇數(shù)與互素，比小的正奇數(shù)有個(gè)，
所以；
（2）由（1）知，所以，
所以 ，
，
所以，①
，②
所以①－②得
，
所以.
16.（15分）【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，
在圓錐中，底面圓，所以，
又等邊三角形是圓錐底面圓的內(nèi)接三角形，為直徑，所以，
所以，所以，
可知，即是的中點(diǎn)，
又是母線的中點(diǎn)，所以，所以平面，
又平面，所以平面平面；

（2）由（1）平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

在等腰三角形中，
又，所以，
所以，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，即，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
17.（15分）【答案】(1)
(2)，分布列見解析
【解析】（1）將抽取的這20位客戶的評分從小到大排列為：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.
因?yàn)椋?br>所以抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)為.
（2）由已知得分公司中75分以下的有66分，72分；
分公司中75分以下的有62分，70分，73分，
所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司中2人，分公司中3人，
所以的所有可能取值為1，2，3.
，
所以的分布列為
數(shù)學(xué)期望.
18.（17分）【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由題意得，由，，即，
從而的面積，則，
所以，拋物線的方程為；
（2）設(shè)（），則，，
由，得，即，
所以，此時(shí)，
由題意可知，斜率必不等于0，于是可設(shè)：，
由，可得，
上述方程的判別式滿足，即，
設(shè)，，
根據(jù)韋達(dá)定理有：，，
因?yàn)椋?，?br>于是，
所以，，即，
故直線的方程為，即，
所以直線恒過定點(diǎn)，
則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離有最大值，
且最大值為.
19.（17分）【答案】(1)
(2)僅在時(shí)存在1個(gè)零點(diǎn)，理由見解析
(3)
【解析】（1）
（2），，
所以，.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，
當(dāng)時(shí)，，所以僅在時(shí)存在1個(gè)零點(diǎn).
（3），所以，，…，
將各式相乘得，
兩側(cè)同時(shí)運(yùn)算極限，所以，
即，
令，原式可化為，又，
由（1）得，
故，由題意函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>綜上，1
2
3

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