注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．或D．或
2．在中，若，，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是平面內(nèi)的一組基底，，，，若，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．9B．13C．15D．18
4．已知是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，則
5．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則“”是“為直角三角形”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
6．已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)度為6，一只螞蟻從圓錐的底面圓上一點(diǎn)出發(fā)，繞著圓錐側(cè)面爬行一周，再回到出發(fā)點(diǎn)的最短距離為，則此圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
7．為了測(cè)量、兩島嶼之間的距離，一艘測(cè)量船在處觀(guān)測(cè)，、分別在處的北偏西、北偏東方向．再往正東方向行駛48海里至處，觀(guān)測(cè)在處的正北方向，在處的北偏西方向，則、兩島嶼之間的距離為（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
8．如圖，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為6，以該正六邊形的中心為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限D(zhuǎn)．的共軛復(fù)數(shù)為
10．在正四棱臺(tái)中，，且該四棱臺(tái)的體積為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．該四棱臺(tái)的表面積為32
C．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為
D．直線(xiàn)與所成角的余弦值為
11．在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．若，則角的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知向量，滿(mǎn)足，且，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
13．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則______．
14．已知正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球的球面上，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，且平面，則線(xiàn)段的最小值為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（本小題滿(mǎn)分13分）
已知，．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的值．
16．（本小題滿(mǎn)分15分）
如圖，在四棱錐中，四邊形是梯形，，，是等邊三角形，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．
（1）設(shè)平面與平面的交線(xiàn)為，求證：；
（2）求證：平面平面．
17．（本小題滿(mǎn)分15分）
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（1）求角的大??；
（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，求的周長(zhǎng)．
18．（本小題滿(mǎn)分17分）
如圖，在中，，，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)．
（1）求與的夾角；
（2）求的大??；
（3）求的取值范圍．
19．（本小題滿(mǎn)分17分）
如圖，在三棱柱中，是等邊三角形，，，平面平面，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的正切值．
新高中創(chuàng)新聯(lián)盟TOP二十名校高一年級(jí)5月調(diào)研考試?數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則
1．A因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以解得．故選A．
2．B在中，若，，，由正弦定理得：．故選B．
3．C因?yàn)?，，，所以，，又因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，即，所以解得，．故選C．
4．D若，，則或，故A錯(cuò)誤；若，，，則與可能平行，可能相交，可能異面，故B錯(cuò)誤；若，，，則與可能平行，可能相交，故C錯(cuò)誤；兩條平行直線(xiàn)，其中一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也與該平面垂直，故D正確．故選D．
5．A因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，，則，為直角三角形，但為直角三角形時(shí)不一定是，所以“”是“為直角三角形”的充分不必要條件．故選A．
6．B設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，記點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，作出圓錐側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示：
又螞蟻爬行的最短路程為，故，又，所以，所以．設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則，解得，所以，所以圓錐的體積．故選B．
7．D根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：
由題意知，，，所以，在中，由正弦定理得：解得，又，，所以，，又，在中，由余弦定理得：，解得，所以、兩島嶼之間的距離為海里．故選D．
8．B以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，垂直于的直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，，設(shè)，所以，，所以，又，所以，即的取值范圍是．故選B．
9．AC 因?yàn)閺?fù)數(shù)滿(mǎn)足，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故C正確；的共軌復(fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤．故選AC．
10．ACD 設(shè)該四棱臺(tái)的高為，所以，解得，記上、下底面的中心分別，，連接，，，如圖所示，則平面．在直角梯形中，，，，取中點(diǎn)，連接，如圖所示，則，，，，故A正確；在梯形中，，，所以梯形的面積為，所以該四棱臺(tái)的表面積為，故B錯(cuò)誤；易得平面，則是直線(xiàn)與平面所成的角，所以，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，故C正確；連接，，如圖所示，易得，所以為直線(xiàn)與所成的角或補(bǔ)角．在中，易得，，，由余弦定理得，所以直線(xiàn)與所成角的余弦值為，故D正確．故選ACD．
11．ACD 因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，所以，所以，同理可得，所以，故A正確；因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，所以，又，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，所以，所以，又，所以，，所以，故C正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，又，所以角的最大值為，故D正確．故選ACD．
12．因?yàn)橄蛄?，且，那么，所以向量在向量上的投影向量的坐?biāo)為．
13．設(shè)，，所以，又，所以，，，所以，又，所以．
14．設(shè)正三棱柱的外接球的半徑為，的外接圓的半徑為，所以，解得，又，解得，又，即，解得．取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，如圖所示，所以，又平面，平面，所以平面，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，所以在線(xiàn)段上．所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)線(xiàn)段取得最小值，所以，即線(xiàn)段的最小值為．
15．解：（1）因?yàn)?，，解得，?br>所以，，
又，所以，
解得．
（2）由（1）知，又，
所以，
解得．
16．證明：（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>又平面平面，平面，所以．
（2）取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示．在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以．
因?yàn)槭堑冗吶切?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以．
又，，平面，所以平面，
又平面，所以．
因?yàn)槭堑冗吶切?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
17．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以?br>又，所以，所以，
又，所以．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
所以，
即，
解得或（舍）．
在中，由余弦定理得，
即，所以，
所以的周長(zhǎng)．
18．解：（1）設(shè)與的夾角為，
由題意知，，
所以
，
解得，又，所以，即與的夾角為．
（2）設(shè)，所以，又，，三點(diǎn)共線(xiàn)，所以．
又，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，解得，，
所以，
所以
．
（3）設(shè)，，所以，，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為；
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為16，
所以的取值范圍是．
19．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示．因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，又平面，平面，所以平面．
在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）證明：連接，如圖所示．因?yàn)槭堑冗吶切?，是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，，所以，又，平面，所以平面．
（3）解：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，連接，如圖所示．
由（2）易得平面，又平面，所以，．
又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以二面角的平面角為．
在中，，，，所以．
在中，，，，所以，
即二面角的正切值是．

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