1．本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷．
2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．
3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知向量，．若，則（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可.
【詳解】由，知，解得.
故選：C.
2. “”是“過點(diǎn)有兩條直線與圓相切”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由已知點(diǎn)在圓外，求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得答案.
【詳解】由題意，點(diǎn)圓外，則有，
?，所以“”是“過點(diǎn)有兩條直線與圓相切”的必要不充分條件.
故選：B
3. 為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A. 向左平移個(gè)單位B. 向左平移個(gè)單位
C. 向右平移個(gè)單位D. 向右平移個(gè)單位
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)平移的原則即可得到答案.
【詳解】，
則把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位即可，
故選：A.
4. 我們把各項(xiàng)均為0或1的數(shù)列稱為數(shù)列，數(shù)列在計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．把佩爾數(shù)列（，，，）中的奇數(shù)換成0，偶數(shù)換成1，得到數(shù)列．記的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A. 16B. 12C. 10D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意求得數(shù)列的前8項(xiàng)，通過觀察找到規(guī)律，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，，，?br>所以，
，
，
，
，
，…，
可以看出數(shù)列的前20項(xiàng)為，
故.
故選：C.
5. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先由求出，再由條件概率公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
所以，則.
故選：D
6. 在圓臺(tái)中，圓的半徑是圓半徑的2倍，且恰為該圓臺(tái)外接球的球心，則圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令外接球的半徑為，作出圖象，求出圓臺(tái)的母線，即可求出圓臺(tái)的側(cè)面積，再求出球的表面積，即可得解.
【詳解】令外接球的半徑為，依題意，，，
過點(diǎn)作，則，所以，
又，所以，
所以圓臺(tái)的側(cè)面積，
球的表面積，
所以圓臺(tái)的側(cè)面積與球的表面積之比為.
故選：C
7. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線交于另一點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)．若，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得出的周長(zhǎng)為，再由橢圓的定義得的周長(zhǎng)為，列出等式即可求解．
【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，則，，
設(shè)的內(nèi)切圓與，相切于點(diǎn)，如圖所示，
則，，
所以，
所以的周長(zhǎng)為，
由橢圓定義可得，，
所以，則，
故選：B．
.
8. 在斜中，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得出，由為斜三角形，得出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式，兩角和的正切公式，基本不等式求解即可．
【詳解】因?yàn)椋?br>所以為銳角，，則，即，
所以，即，所以，
當(dāng)時(shí)，即,所以，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故選：B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知，互為共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式驗(yàn)證各選項(xiàng)即可.
詳解】令，
對(duì)A，，
則不一定成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)B，，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)C，，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)D，，故D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
10. 已知函數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. 是偶函數(shù)D. 是奇函數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】利用賦值法求得，，可判斷各選項(xiàng)的正誤。
【詳解】令，則，
令，則，解得或，
若，則恒成立，不合題意，故，A選項(xiàng)正確；
，則,，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
函數(shù)，定義域?yàn)镽，，
為偶函數(shù)，C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC
11. 已知平行六面體的棱長(zhǎng)均為2，，點(diǎn)在內(nèi)，則（ ）
A. 平面B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由面面平行的判定及性質(zhì)即可判斷A；以為基底，證明出平面，即可判斷B；由即可判斷出D；由正弦定理，勾股定理及函數(shù)單調(diào)性即可判斷出C．
【詳解】對(duì)于A，連接，
由平行六面體得，平面平面，平面平面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>所以，同理可得，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面，同理可得平面，
因?yàn)椋?，平面?br>所以平面平面，
又平面，所以平面，故A正確；
對(duì)于B，以為基底，
則，，，
因?yàn)槠叫辛骟w的棱長(zhǎng)均為2，，
所以，
，
所以，
因?yàn)槠矫妫遥?br>所以平面，又平面，
所以，故B正確；
對(duì)于D，，
，即，
所以，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故D正確；
對(duì)于C，因?yàn)槠矫妫瑒t交的外心，連接，
則，
在中，由正弦定理得外接圓直徑，，則，，
設(shè)，
在中，，
在中，，
則，
所以，故C錯(cuò)誤；
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在平行六面體中，已知棱長(zhǎng)均為2，，處理該幾何體中的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系時(shí)，以為基底，利用向量解決問題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知集合，，則集合的元素個(gè)數(shù)為__________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用列舉法求解集合，即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，2，4，分別為,均不能滿足，
當(dāng)時(shí)，時(shí)可滿足，
時(shí)，，時(shí)，均不滿足，
當(dāng)時(shí)，可滿足，時(shí)，，時(shí)，均不滿足，
所以，故集合的元素有2個(gè)，
故答案為：2
13. 在平面四邊形中，，，，，則四邊形的面積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，，利用勾股定理得到，再由兩角和的正切公式及銳角三角函數(shù)求出、，最后根據(jù)計(jì)算可得.
【詳解】連接，依題意，設(shè)，，則，
又，
即，即，
即，顯然，則，即，
又，所以，整理得，
即，解得，所以，
所以
故答案為：
14. 已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，記，．點(diǎn)B，D在的圖象上，滿足，均垂直于y軸．若四邊形為菱形，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】令得，四邊形為菱形，由得，又，得，由，代入函數(shù)解析式求的值.
【詳解】函數(shù)，，
若，恒成立，在上單調(diào)遞增，不合題意，
時(shí)，，得，
則，，
四邊形為菱形，則，
，故，，
，則，，
由，化簡(jiǎn)得，令，則，
即，解得，故，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是用好四邊形為菱形，由對(duì)角線互相垂直利用直線斜率得，利用對(duì)角線互相平分有，求出，由求的值.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x（萬(wàn)元）與銷售額y（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：
（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬(wàn)元的超市個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望；
（2）利用最小二乘法求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)廣告支出為10萬(wàn)元時(shí)的銷售額．
附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．
【答案】（1）X的分布列見解析，期望
（2）；預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出10萬(wàn)元時(shí)的銷售額為87萬(wàn)元．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列，進(jìn)而可求解期望，
（2）利用最小二乘法求解線性回歸方程即可
【小問1詳解】
從A，B，C，D，E這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬(wàn)元的超市有C，D，E這3家超市，
則隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3
，，，
的分布列為：
數(shù)學(xué)期望．
【小問2詳解】
，，
，
．
關(guān)于的線性回歸方程為；
在中，取，得．
預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出10萬(wàn)元時(shí)的銷售額為87萬(wàn)元．
16. 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最小值為，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，分別求出及，即可寫出切線方程；
（2）計(jì)算出，令，解得或，分類討論的范圍，得出的單調(diào)性，由在區(qū)間上的最小值為，列出方程求解即可．
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則，，所以，
所以曲線在處的切線方程為：，即．
【小問2詳解】
，令，解得或，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
所以，則，符合題意；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
所以，則，不合題意；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
所以，不合題意；
綜上，．
17. 在五面體中，平面，平面．
（1）求證：；
（2）若，，點(diǎn)D到平面的距離為，求二面角的大小．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面，平面，得，由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理，即可得出答案．
（2）利用等體積法可得為等腰直角三角形，所以,建立坐標(biāo)系，利用向量垂直可得,求解兩平面的法向量，進(jìn)而可得求解．
【小問1詳解】
證明：因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面?br>所以．
【小問2詳解】
由于平面，，所以平面，平面，故,
又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又，平面，所以平面
由于，則,故,
故為等腰直角三角形，所以,
如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為，，軸建系，
設(shè)，則，
故
由于，所以，故，
設(shè)平面的法向量為,,，平面的法向量為,,，
因?yàn)?，?br>所以，即
令，則，
因?yàn)?，?br>所以，即
令，則，
設(shè)成的角為，由圖可知為鈍角，
所以，故，
18. 已知拋物線與雙曲線（，）有公共的焦點(diǎn)F，且．過F的直線1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，與E的兩條近線交于P，Q兩點(diǎn)(均位于y軸右側(cè)).
（1）求E漸近線方程；
（2）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由兩曲線有公共的焦點(diǎn)F，且，得，，可求漸近線方程；
（2）通過設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理，表示出和，由求的取值范圍．
【小問1詳解】
拋物線與雙曲線（，）有公共的焦點(diǎn)F，
設(shè)雙曲線E的焦距為，則有，
又，則.
由，得，
所以E的漸近線的方程為
【小問2詳解】
設(shè)，，
1與E的兩條近線交于P，Q兩點(diǎn)均位于y軸右側(cè)，有，
由，解得，，
.
設(shè)， 由，消去得，
則有，
，
由，，
有，即，
由，有，所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．
19. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對(duì)每一個(gè)，有且僅有一個(gè)，使得，則稱為“X數(shù)列”.記，，稱數(shù)列為的“余項(xiàng)數(shù)列”.
（1）若的前四項(xiàng)依次為0，1，，1，試判斷是否為“X數(shù)列”，并說明理由；
（2）若，證明為“X數(shù)列”，并求它的“余項(xiàng)數(shù)列”的通項(xiàng)公式；
（3）已知正項(xiàng)數(shù)列為“X數(shù)列”，且的“余項(xiàng)數(shù)列”為等差數(shù)列，證明：．
【答案】（1）不是“X數(shù)列”
（2）證明見解析；，
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）依次求出，再根據(jù)“X數(shù)列”定義進(jìn)行判斷即可.
（2）由先求出數(shù)列通項(xiàng)公式，再依據(jù)“X數(shù)列”定義進(jìn)行推算證明即可，接著由“余項(xiàng)數(shù)列”的定義公式進(jìn)行計(jì)算即可.
（3）先探究得出“余項(xiàng)數(shù)列”公差情況，再討論時(shí)推出矛盾得到，接著探究時(shí)若得出矛盾，從而得出，進(jìn)而得出即可進(jìn)一步推出.
【小問1詳解】
由題，
所以有，，
故根據(jù)“X數(shù)列”的定義不是“X數(shù)列”.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
則不滿足，所以，
令，即，
則當(dāng)時(shí)，有，；
當(dāng)時(shí)，有；故即，
則對(duì)每一個(gè)，有且僅有一個(gè)且，使得，
綜上，對(duì)任意，有且僅有一個(gè)，使得，
所以為“X數(shù)列”，
由上，，
即的“余項(xiàng)數(shù)列”通項(xiàng)公式為，.
【小問3詳解】
因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以單調(diào)遞增，
所以，故，
因?yàn)椋覟椤癤數(shù)列”，
所以，故由得，
的“余項(xiàng)數(shù)列”為等差數(shù)列，故其公差，
因?yàn)?，所以?br>若，則當(dāng)時(shí)，，與矛盾，
故，所以，，即，
對(duì)于，若，則，與正項(xiàng)數(shù)列矛盾，
所以，故，
所以，故，
所以，
又，
所以，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：證明的關(guān)鍵第一步是探究出“余項(xiàng)數(shù)列”公差；第二步是探究出時(shí)有矛盾得到；第三步是探究出時(shí)若有矛盾，從而得到，進(jìn)而得出.超市
A
B
C
D
E
廣告支出x
2
4
5
6
8
銷售額y
30
40
60
60
70
1
2
3

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