江蘇省蘇州市部分學(xué)校2025屆新高三暑期調(diào)研考試暨高考模擬考試數(shù)學(xué)試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與您本人是否相符．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 所在的象限為（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】將，與的終邊相同．
【詳解】，
又終邊在第三象限，
所在的象限為第三象限，
故選：C．
2. 過(guò)原點(diǎn)的圓的圓心為，則原點(diǎn)處與圓相切的直線(xiàn)的傾斜角為（）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)圓心為，即可求出，從而得到，再由誘導(dǎo)公式及傾斜角的定義判斷即可.
【詳解】設(shè)圓心為，則，
依題意，所以，
又，所以直線(xiàn)的傾斜角為3．.
故選：A
3. 已知函數(shù)的圖像如圖所示，則可能為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題使用排除法，通過(guò)賦值法可排除，項(xiàng)，通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長(zhǎng)速度的比較，可以排除項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于，，與題圖不符，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)大于冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度，所以，與題圖不符，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，與題圖不符，故錯(cuò)誤；
通過(guò)排除法，所以正確.
故選：.
4. 已知正四棱錐的8條棱長(zhǎng)均相等，為頂點(diǎn)在底面的射影，則（）
A. 側(cè)棱與底面所成角的大小為
B. 設(shè)，為正方形邊上的兩點(diǎn)，則二面角的值大于
C. 側(cè)面與底面所成角的大小為
D. 設(shè)為正方形上的點(diǎn)，則直線(xiàn)與底面所成角的最大值為
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)線(xiàn)面角、面面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，平面，
平面，則.
，
對(duì)于A，依題意可知是側(cè)棱與底面所成的角，
，為銳角，且，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于B，過(guò)作，垂足為，由于平面，
則，由于平面，
則平面，由于平面，則，
則二面角的平面角為，
由于平面，則，
當(dāng)時(shí)，平面，則平面..平面，
此時(shí)二面角為直角，
當(dāng)時(shí)，，由于是正方形邊上的兩個(gè)點(diǎn)，
則，則，
則二面角的值大于.則B選項(xiàng)正確.
對(duì)于C，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，
側(cè)面與底面的交線(xiàn)為，
則側(cè)面與底面所成角的平面角為，
由于平面，則，，
則，則側(cè)面與底面所成的角大于，則C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線(xiàn)與底面所成角為，則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B
5. 命題為的根，命題若，則，則命題為命題的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】首先推導(dǎo)出，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)?br>，
由命題為的根，則，
又，則，所以，
故，故由推得出，所以充分性成立；
若且，則，
所以，即，
所以為的根，故由推得出，即必要性成立；
所以命題為命題的充分必要條件.
故選：C
6. 在實(shí)際生活中，我們會(huì)用鐵片焊接到鋼管上以保證管道正常使用．更極端地，我們可以用有限個(gè)鐵片焊接到鋼管上繞整個(gè)鋼管側(cè)面一周，其類(lèi)似下面的數(shù)學(xué)概念．稱(chēng)為緊致的，如果對(duì)任意滿(mǎn)足的開(kāi)集族，都存在有限的，使得．稱(chēng)一個(gè)集合為開(kāi)集，如果對(duì)其中任意一個(gè)點(diǎn)，都存在一個(gè)，使得以為球心，為半徑的球的內(nèi)部包含于．則以下集合中，緊致的集合的個(gè)數(shù)為（）
①，②，③.
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)定義，只需要對(duì)每個(gè)集合都給出無(wú)限個(gè)開(kāi)集覆蓋之，而其中任意有限個(gè)都不能覆蓋之，即可證明每個(gè)集合都不是緊致的，從而A選項(xiàng)正確.
【詳解】對(duì)非空有限集，用表示中的最大元素.
由于，且都是開(kāi)集.
但對(duì)任意非空有限集（如果是空集，則不可能成立，后面兩種情況也類(lèi)似），有
.
而不包含，故不是緊致的；
由于，且都是開(kāi)集.
但對(duì)任意非空有限集，有.
而不包含，
故不是緊致的；
由于，且都是開(kāi)集.
但對(duì)任意非空有限集，有.
不包含，故不是緊致的.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)緊致集合定義的理解，以及對(duì)開(kāi)覆蓋的恰當(dāng)構(gòu)造.
7. 奇函數(shù)于上連續(xù)，滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，，且，若對(duì)任意使得直線(xiàn)，垂直的正數(shù)，都有：，則的最大可能值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先確定滿(mǎn)足，然后證明原命題的充要條件是，即可得到的最大值.
【詳解】由已知可得在上二階可導(dǎo)，從而對(duì)，設(shè).
則當(dāng)時(shí)，有.
所以在上恒為定值，設(shè)為，則對(duì)有.
這表明對(duì)任意，都有，所以不小于每一個(gè)負(fù)數(shù)，故.
由于對(duì)，由知或，但在上二階可導(dǎo)，故和都連續(xù).
所以連續(xù)，從而只可能恒有或恒有.
若，設(shè)，則.
所以在上恒為定值，但由于在上連續(xù)，故在上連續(xù)，從而在上恒為定值.
而是奇函數(shù)，故，所以對(duì)有.
這就得到，故.
若，同理可得，
但這就得到，矛盾.
所以必有，再代入得.
從而.
由于對(duì)滿(mǎn)足，故在上單調(diào)遞增.
而，，.
故，從而對(duì)有，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故對(duì)任意實(shí)數(shù)都有.
另外，兩直線(xiàn)，垂直，當(dāng)且僅當(dāng)，即.
根據(jù)之前得到的，不等式等價(jià)于，即.
因此問(wèn)題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為：若對(duì)任意滿(mǎn)足的正數(shù)都有，求的最大值.
一方面，若對(duì)任意滿(mǎn)足的正數(shù)都有，則特別地，我們可以取，，因?yàn)樗鼈兌际钦龜?shù)，且滿(mǎn)足.
這就得到，從而；
另一方面，若，則.
從而對(duì)任意滿(mǎn)足的正數(shù)，我們有
，
所以，即，從而此時(shí)的滿(mǎn)足條件.
綜上，原命題成立的充要條件是，這表明的最大值是.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，從而能夠利用題目條件得到新函數(shù)的性質(zhì).
8. 考慮從到的所有正整數(shù)．我們作一個(gè)的數(shù)表，使得若為的倍數(shù)，則在位置填入，否則填為，則據(jù)數(shù)表中的數(shù)之和最接近的數(shù)為（）（已知）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將命題轉(zhuǎn)化為計(jì)算的大致區(qū)間，然后直接計(jì)算和，再用導(dǎo)數(shù)估計(jì)剩余的項(xiàng)，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則數(shù)表中的數(shù)之和為.
設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則對(duì)，在中有個(gè)的倍數(shù).
所以，故數(shù)表中的數(shù)之和為.
由于對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，
對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有，對(duì)有.
故
.
同時(shí)有
.
最后，設(shè)，則，所以對(duì)有，對(duì)有.
故在上遞減，在上遞增，從而.
所以對(duì)大于的正整數(shù)，由有，即；由有，即.
所以有，
.
從而，且
.
而，，
故，.
因此，從而選項(xiàng)中最接近的是D選項(xiàng).
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)目標(biāo)的表達(dá)式分為三段，每段需用不同的方式進(jìn)行處理.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，選對(duì)得6分，漏選得部分分，錯(cuò)選或不選得0分．
9. 1843年，Hamiltn在愛(ài)爾蘭發(fā)現(xiàn)四元數(shù)．當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)）．他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)．根據(jù)哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家運(yùn)河上散步時(shí)突然想到的方程解．之后哈密頓立刻將此方程刻在Brughant Bridge．對(duì)四元數(shù)，的單位，其運(yùn)算滿(mǎn)足：，，，，，，；記，，，定義，記所有四元數(shù)構(gòu)成的集合為，則以下說(shuō)法中正確的有（）
A. 集合的元素按乘法得到一個(gè)八元集合
B. 若非零元，則有：
C. 若，則有：
D. 若非零元，則有：
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A，利用已知條件求出所求集合為即可；對(duì)于B，直接給出反例，即可；對(duì)于C，利用的定義計(jì)算即可；對(duì)于D，利用C選項(xiàng)的結(jié)果驗(yàn)證即可.
【詳解】對(duì)于A，由于，，，，故集合的元素按乘法可以得到集合，容易驗(yàn)證該集合中任意兩個(gè)元素的乘積還在該集合中，故集合的元素按乘法得到的集合是八元集合，故A正確；
對(duì)于B，取，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，設(shè)，，則
，故C正確；
對(duì)于D，根據(jù)題目中的定義有，從而.
所以，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，只有理解了定義，方可求解所求的問(wèn)題.
10. 考慮函數(shù)，記函數(shù)，其中為的整數(shù)部分，定義為在上滿(mǎn)足的根的個(gè)數(shù)，則以下說(shuō)法正確的有（）
A. 的值域?yàn)锽.
C. 為周期函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為有理數(shù)D. 對(duì)成立
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)于A，直接給出作為反例即可；對(duì)于B，根據(jù)定義，將命題轉(zhuǎn)化為求方程在上的解的個(gè)數(shù)，再用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可；對(duì)于C，直接說(shuō)明和或者都是周期函數(shù)或者都不是周期函數(shù)即可；對(duì)于D，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【詳解】對(duì)于A，顯然當(dāng)時(shí)有，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，根據(jù)定義，是方程在上的解的個(gè)數(shù).
而，故意味著，即.
由于是整數(shù)，故，從而是方程在上的解的個(gè)數(shù).
又因?yàn)椋试摲匠痰葍r(jià)于或，這在上的全部解構(gòu)成的集合是，共個(gè)解，故B正確；
對(duì)于C，由于（二者函數(shù)值相等或同時(shí)沒(méi)有定義），故和或者都是周期函數(shù)，或者都不是周期函數(shù).
所以或者時(shí)不是周期函數(shù)，或者時(shí)是周期函數(shù)，無(wú)論哪種情況，都能導(dǎo)致C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D，該選項(xiàng)等價(jià)于，對(duì)任意，方程在上都有解.
而，故等價(jià)于或，即或.
由于恒成立，故方程等價(jià)于或，即或..
但當(dāng)時(shí)，有，；
當(dāng)時(shí)，有；
當(dāng)時(shí)，有；
當(dāng)時(shí)，有.
從而原方程在上無(wú)解，從而，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于使用余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，以及對(duì)取整函數(shù)定義的理解.
11. 在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)生活中，投資者在面對(duì)不確定性時(shí)往往表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)厭惡的特征．當(dāng)投資者的財(cái)富發(fā)生變化時(shí)，其用于投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的絕對(duì)量和相對(duì)量都將會(huì)發(fā)生變化．假設(shè)一名風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者的效用函數(shù)（，為一連續(xù)區(qū)間）是可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)也可導(dǎo)的．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則稱(chēng)該投資者是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則稱(chēng)該投資者是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的．則以下哪些效用函數(shù)對(duì)應(yīng)的投資者是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，但不是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的？（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的概念分別判斷即可.
【詳解】A選項(xiàng)：，則，
所以，在上單調(diào)遞增，
所以不是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：，，，
所以在上單調(diào)遞減，所以是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，
，在上單調(diào)遞增，所以不是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)：，則，，
所以，，，
所以，即單調(diào)遞減，所以是滿(mǎn)足遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，
又，恒成立，即單調(diào)遞增，所以不是遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)：，則，，
所以，，即單調(diào)遞增，所以不是遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：BC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的兩個(gè)空中，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．
12. 已知某工廠有三條流水線(xiàn)用于生產(chǎn)某產(chǎn)品，三條流水線(xiàn)的產(chǎn)量之比為2：1：2，根據(jù)抽樣，有：
則流水線(xiàn)2的均值為_(kāi)_________，流水線(xiàn)3的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】設(shè)三條流水線(xiàn)的產(chǎn)量為，根據(jù)平均數(shù)和分層抽樣方差計(jì)算公式求解.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)三條流水線(xiàn)的產(chǎn)量為，流水線(xiàn)2的均值為m，
則，解得，
設(shè)流水線(xiàn)3的方差為，則
，
解得.
故答案為：；.
13. 數(shù)列滿(mǎn)足，其中，，．當(dāng)，時(shí)，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________，若該數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意的正整數(shù)，都有：，當(dāng)時(shí)，符合條件的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．其中為的最大公因數(shù)．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）直接構(gòu)造通項(xiàng)并驗(yàn)證滿(mǎn)足遞推公式即可；
（2）利用最大公因數(shù)的性質(zhì)，將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再求解滿(mǎn)足的的個(gè)數(shù)即可.
【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，有，，.
設(shè)，則，，且
.
故具有相同的初值和遞推式，故，從而；
（2）根據(jù)，，，知，.
一方面，若，則，故.
從而；
另一方面，若，下面證明：.
定義數(shù)列滿(mǎn)足，，.
則用數(shù)學(xué)歸納法可證明，，
直接利用公式計(jì)算可知，對(duì)，有.
由于，，，故.
從而如果，就有；
如果，就有.
定義序列如下：，且對(duì)非負(fù)整數(shù)，.
則根據(jù)上面的結(jié)論，有，同時(shí)根據(jù)最大公因數(shù)的性質(zhì)，有.
而若，則；
若，則.
綜上，總有.
由于非負(fù)整數(shù)不能無(wú)限嚴(yán)格遞減下去，故存在非負(fù)整數(shù)，使得.
考慮前面的不等號(hào)的取等條件，有，，或，.
即存在非負(fù)整數(shù)，使得或.
若，則；
若，則.
所以，而我們又有，，故
.
從而.
綜上，的充要條件是.
從而我們需要確定的是，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù).
而在的情況下，有，故所求的的個(gè)數(shù)，就是中和互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù).
由于，故中和互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從該集合中去掉的倍數(shù)后的元素個(gè)數(shù)，即等于.
所以滿(mǎn)足條件的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為.
故答案為：，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于使用遞推數(shù)列和最大公因數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.
14. 已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，滿(mǎn)足若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于，則有．在上有三點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，其中心的軌跡記為，則的軌跡方程為_(kāi)__________，試給出一圓，使得對(duì)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線(xiàn)分別交于不同于的點(diǎn)，則必為的切線(xiàn)：___________．
【答案】 ①. ②. （答出一種特殊情況即可）
【解析】
【分析】（1）先確定的方程，然后利用等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算軌跡方程；
（2）先給出圓的方程，再計(jì)算驗(yàn)證即可.
【詳解】
（1）設(shè)直線(xiàn)交的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，據(jù)已知有，故.
而點(diǎn)都在線(xiàn)段外，故重合，從而在的準(zhǔn)線(xiàn)上，所以的準(zhǔn)線(xiàn)是.
這就得到，所以的方程是.
設(shè)上的三個(gè)不同點(diǎn)，，構(gòu)成等邊三角形，設(shè)該三角形的重心為，則.
所以的坐標(biāo)分別是.
故，.
得，
.
兩式分別相加，相減，得，.
故可得方程組.
展開(kāi)即得.
將第一式減去第二式的倍，得，從而.
再由第二式得，兩式作差即有.
所以，即
所以或.
若，則由知，所以重合，這不可能.
故一定有，即.
另一方面，若，則取方程的一根后，根據(jù)上面類(lèi)似的計(jì)算知.
取的坐標(biāo)為，則等邊三角形的頂點(diǎn)在上，且中心為.
綜上，上的等邊三角形的中心的軌跡方程為.
（2）我們?cè)O(shè)圓的方程為.
則對(duì)上的點(diǎn)，設(shè)過(guò)該點(diǎn)的與圓相切，則根據(jù)距離公式有.
從而，即
設(shè)滿(mǎn)足條件的分別為，則，.
同時(shí)，該直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)滿(mǎn)足，從而由韋達(dá)定理知.
設(shè)，，則，.
而直線(xiàn)的方程為，即，從而圓心到直線(xiàn)的距離.
而，故，
所以，得.
且
.
故，得.
從而，
這就得到.
所以直線(xiàn)到圓的距離恰等于其半徑，故是其切線(xiàn).
故答案為：，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)拋物線(xiàn)方程的使用和計(jì)算.
四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 雙曲線(xiàn)，為兩焦點(diǎn)，為的頂點(diǎn)，為上不同于的一點(diǎn)．
（1）證明：，的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡為一對(duì)平行直線(xiàn)的一部分，并求出這對(duì)平行線(xiàn)的方程；
（2）若平面上僅有的曲線(xiàn)，沒(méi)有坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)，請(qǐng)給出確定的兩個(gè)焦點(diǎn)的位置的方法并給出作長(zhǎng)為的線(xiàn)段的方法．（敘述即可）
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，和
（2）作圖方法見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用內(nèi)切圓的性質(zhì)和雙曲線(xiàn)的定義，即可證明所求交點(diǎn)在直線(xiàn)上或在直線(xiàn)上；
（2）利用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)先確定雙曲線(xiàn)的中心，再作圓確定坐標(biāo)軸，最后直接根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程即可確定作法.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)為，則就是的內(nèi)心.
設(shè)的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為，則
.
所以由或，知或.
而，故或者，
或者.
故或者和重合，或者和重合，而是在軸上的投影，故的橫坐標(biāo)是或.
所以點(diǎn)必定在直線(xiàn)或上，結(jié)論得證.
【小問(wèn)2詳解】
任意作一對(duì)平行線(xiàn)，使得它們和都有兩個(gè)公共點(diǎn).
那么兩直線(xiàn)分別將截得一條弦，取這兩條弦的中點(diǎn)，并設(shè)直線(xiàn)交于點(diǎn).
取的中點(diǎn)，則是坐標(biāo)原點(diǎn).
以為圓心，作一半徑足夠大的圓，使得該圓與有四個(gè)公共點(diǎn)，這四個(gè)公共點(diǎn)構(gòu)成矩形，
過(guò)作該矩形兩條相鄰邊的平行線(xiàn)，則與有公共點(diǎn)的平行線(xiàn)是軸，與無(wú)公共點(diǎn)的平行線(xiàn)是軸，這就得到了兩個(gè)實(shí)軸的端點(diǎn)和.
然后，在軸上方基于點(diǎn)作正方形，并以為圓心，以為半徑作圓，交軸正半軸于點(diǎn)，再過(guò)作軸垂線(xiàn)，在軸上方交于點(diǎn).
則我們得到所求，.
最后，以為圓心，以為半徑作圓，交軸正半軸于點(diǎn)，再以為圓心，以為半徑作圓，交軸于點(diǎn)，則就是的兩個(gè)焦點(diǎn).
下面我們說(shuō)明上面的作法是可行的，需要論證的地方有二：
①坐標(biāo)原點(diǎn)的確定；②最后的確定.
關(guān)于①，利用韋達(dá)定理，我們可以證明用斜率為的直線(xiàn)截雙曲線(xiàn)時(shí)，弦的中點(diǎn)總在一條過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)上.
事實(shí)上，兩方程聯(lián)立后可得到，從而兩交點(diǎn)和滿(mǎn)足，故.
從而代入知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，它總在直線(xiàn)上，這就證明了①；
關(guān)于②，根據(jù)后續(xù)的作法不難看出，，設(shè)，則，，解得.
從而，故，這就得到，這就證明了②.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于恰當(dāng)利用雙曲線(xiàn)的不同性質(zhì).
16. 在高中課本中，我們研究導(dǎo)數(shù)是在實(shí)數(shù)上研究的．實(shí)際上，求導(dǎo)（微分）是一個(gè)局部性質(zhì)．那么我們能不能在某些范圍內(nèi)推廣導(dǎo)數(shù)這一種局部性質(zhì)．我們?cè)诟咧姓n本中講到：若在附近連續(xù)，且若存在，則為點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．我們能不能將概念推廣到復(fù)數(shù)域上呢？顯然，我們是可以做到的．此時(shí)考慮函數(shù)，若在附近連續(xù)（實(shí)際上可以考慮一個(gè)非常非常小的圓），且若存在，則為點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．
（1）按此定義，驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)的除法公式在復(fù)函數(shù)求導(dǎo)下仍然成立．
（2）更一般地，若在某個(gè)區(qū)域上均可導(dǎo)，我們稱(chēng)為上解析的函數(shù)．考慮復(fù)函數(shù)，其中為一個(gè)模長(zhǎng)小于的復(fù)數(shù)，為一個(gè)模長(zhǎng)為的復(fù)數(shù)．證明：
①該復(fù)函數(shù)將上的點(diǎn)映為上的點(diǎn)，且將上的點(diǎn)映為上的點(diǎn)．
②為上的解析函數(shù)．
（3）已知：（?。┤艉瘮?shù)為上的解析函數(shù)，且值域在中，滿(mǎn)足，則有：．
（ⅱ）若函數(shù)，分別為，上的解析函數(shù)，則為上的解析函數(shù)．
此時(shí)若為上的解析函數(shù)，且值域在中，滿(mǎn)足，證明：．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的定義證明；
（2）根據(jù)給出的函數(shù)表達(dá)式，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證明；
（3）利用（2）的結(jié)論構(gòu)造復(fù)合函數(shù)，然后用給定的結(jié)論證明命題.
【小問(wèn)1詳解】
.
【小問(wèn)2詳解】
①由于，
且.
故.
當(dāng)即時(shí)，有，從而；
當(dāng)即時(shí)，有，從而.
②直接由（1）可得，故是上的解析函數(shù).
【小問(wèn)3詳解】
取，則，由（ⅱ）的結(jié)論，知是的解析函數(shù).
則取，就有是的解析函數(shù)，且.
從而，據(jù)（?。┑慕Y(jié)論，知.
而，故.
直接計(jì)算可得，，故.
所以，故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于恰當(dāng)利用給出的已知結(jié)論，以證明新結(jié)論.
17. 將全體定義在上的函數(shù)的集合記為．對(duì)，，定義上的函數(shù)之間的加法和數(shù)乘運(yùn)算：，．已知為一個(gè)滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系的映射，即，，這里，，且滿(mǎn)足對(duì)任意整數(shù)，有，數(shù)列，，其中．
（1）求，的遞推公式；（不需要提供初值，遞推公式可以由，組成）
（2）若滿(mǎn)足，，且為單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列：
①求，的通項(xiàng)公式；
②記，記為的前項(xiàng)和，證明：為定值，并求出該定值．
【答案】（1），
（2）①， ②證明見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）使用三角恒等變換求出遞推式；
（2）先用已知求出通項(xiàng)，再利用通項(xiàng)驗(yàn)證②的結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
我們有
，
.
這就得到，.
所以，即.
而，故
.
所以所求的遞推式為：，.
【小問(wèn)2詳解】
①設(shè)，，則，，.
由，知.
所以，從而存在實(shí)數(shù)，使得.
同理存在實(shí)數(shù)，使得.
兩式作差就得到，故.
從而具有形式，即.
故.
據(jù)已知有，遞減，故，從而，.
由于，，故.
代入，解得，所以，.
②此時(shí).
由于對(duì)，有
.
故.
所以，即.
整理得到，從而，得.
而，故，所以.
這就表明，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，以及三角恒等變換的使用.
18. 在中，，的外接圓圓心為，內(nèi)切圓的圓心為，垂心為，為的中點(diǎn)，在上的投影為，以為半徑作．
（1）證明：，相切；
（2）記，的切點(diǎn)為，直線(xiàn)交于點(diǎn)，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，證明：直線(xiàn)和的交點(diǎn)在的外接圓上．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）這就是平面幾何中的著名定理——費(fèi)爾巴哈定理，這里使用解析法證明；
（2）先證明必要的結(jié)論作為準(zhǔn)備，再用適當(dāng)?shù)墓ぞ呓鉀Q原問(wèn)題.
【小問(wèn)1詳解】
建立平面直角坐標(biāo)系（注意不是坐標(biāo)原點(diǎn)），并不妨設(shè)，，再設(shè)，并不妨設(shè).
設(shè)，則由得，解得，故.
設(shè)，則由得，解得，故.
所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)是.
顯然，所以.
這就得到的方程：.
設(shè)內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)分別為，則
.
而，故
.
同理.
所以.
另一方面，的內(nèi)切圓半徑.
故.
從而和的半徑之差為，
而.
下面說(shuō)明二者相等，即
.
設(shè)，，則我們要證明的就是
.
將兩個(gè)較大的平方式展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)，得.
再將展開(kāi)，移項(xiàng)即得
.
顯然和不異號(hào)，而，故.
所以上面的方程兩邊同號(hào)，故其等價(jià)于兩邊平方后的方程，即
.
此即.
將右邊展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)，得
.
而，.
故
，
從而上面的方程
等價(jià)于.
此即.
即.
而.
故命題最終等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明.
而，，故
.
從而確有，這就證明了和的半徑之差等于.
所以和相切.
【小問(wèn)2詳解】
先證明四個(gè)引理，注意引理的字母與原題中都可能不一致，僅單獨(dú)作為一個(gè)定理使用.
引理1：設(shè)的外心為，垂心為，則的中點(diǎn)，往對(duì)邊各自的投影，以及各自的中點(diǎn)九點(diǎn)共圓，圓心為的中點(diǎn)，該圓稱(chēng)為的“九點(diǎn)圓”.
引理1的證明：將的外接圓記為，其半徑為，然后記關(guān)于的對(duì)徑點(diǎn)為.
設(shè)的中點(diǎn)為，以為圓心作，使得的半徑為的一半，從而和關(guān)于點(diǎn)位似，且位似比為.
則，且
.
其中為的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為.
顯然和平行，故和的交點(diǎn)滿(mǎn)足，所以和重合，從而三點(diǎn)共線(xiàn)，且.
從而根據(jù)和的位似關(guān)系，知在上，同理在上.
直接根據(jù)的定義，及和的位似關(guān)系，知在上.
設(shè)分別與交于不同于的點(diǎn).
由于是直徑，故，從而和平行，而三點(diǎn)共線(xiàn)，且，故.
從而根據(jù)和的位似關(guān)系，知在上，同理在上.
至此我們就證明了引理1成立.
引理2：設(shè)的內(nèi)切圓為，邊切點(diǎn)分別為，邊的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在邊上的投影為，的平分線(xiàn)交于，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線(xiàn)交于不同于的點(diǎn)，則在的九點(diǎn)圓上，這里九點(diǎn)圓的定義如引理1所述.
引理2的證明：不妨設(shè)，記的中點(diǎn)分別為，在線(xiàn)段上取點(diǎn)，使得.
則根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，三點(diǎn)共線(xiàn)，且所在直線(xiàn)與相切于點(diǎn).
記的中點(diǎn)為，則
，
而根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)相等，知
，
故三點(diǎn)共線(xiàn).
由于分別是的中點(diǎn)，故，而根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)相等有，故.
由于，故四點(diǎn)共圓，所以.
而，故相似于，所以，即.
而直接根據(jù)圓冪定理，有，再結(jié)合，就有，所以四點(diǎn)共圓.
故
.
而注意到是直角的斜邊，是其中點(diǎn)，故.
再由知
.
所以四點(diǎn)共圓.
根據(jù)引理1，的外接圓就是的九點(diǎn)圓，所以在的九點(diǎn)圓上，引理2得證.
引理3：設(shè)的外心為，內(nèi)切圓的圓心為，在邊上的切點(diǎn)為，直線(xiàn)交的外接圓于，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則三點(diǎn)共線(xiàn).
引理3的證明：設(shè)的外接圓為，的外接圓為，并記直線(xiàn)和交于不同于的點(diǎn)，則由于平分，知是上的弧的中點(diǎn).
所以，且.
故，從而，同理有，故.
以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，使得平行于軸，不妨設(shè)為軸正方向，在軸下方，且的半徑為.
則的方程為，且，我們?cè)O(shè)，.
此時(shí)由，可直接解出的外接圓圓心為，外接圓的方程為.
由于，故在以為圓心，半徑為的圓上.
而，故該圓的方程為.
從而可設(shè)，則.
記直線(xiàn)的斜率為，則的方程為，且.
再將與的方程聯(lián)立，得.
解得，故.
由于直線(xiàn)的斜率，故直線(xiàn)的方程是.
將與的方程聯(lián)立，得.
解得，所以.
從而.
由的方程為，而，故關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為
，
即.
由于，故，所以.
所以，且.
設(shè)，則有
，
，
，
.
所以，，以及.
所以的斜率
，
且的斜率
下面證明兩直線(xiàn)斜率相等，即.
這即是要證明，即
.
由于，故這等價(jià)于證明.
而
，
故我們就證明了，所以三點(diǎn)共線(xiàn).
這表明關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上，所以關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上.
這就得到了三點(diǎn)共線(xiàn)，引理3得證.
引理4：設(shè)的外心為，內(nèi)切圓的圓心為，點(diǎn)在線(xiàn)段上，使得平分.
過(guò)作的切線(xiàn)，其中一條切線(xiàn)是，設(shè)其切點(diǎn)為，另一條切線(xiàn)的切點(diǎn)記為.
設(shè)的中點(diǎn)為，直線(xiàn)交于不同于的點(diǎn)，直線(xiàn)交的外接圓于不同于的點(diǎn)，則平分.
引理4的證明：建立直角坐標(biāo)系（不是坐標(biāo)原點(diǎn)），使得對(duì)應(yīng)軸正方向.
不妨設(shè)，的方程為，且，其中，則由在外部，知.
設(shè)的方程是的切線(xiàn)，對(duì)應(yīng)切點(diǎn)，則據(jù)對(duì)稱(chēng)性有.
由于，故和的方程分別可設(shè)為和，二者的并集為，代入的方程，得.
展開(kāi)即，從而得到的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
所以
.
故.
而，故的斜率滿(mǎn)足
.
結(jié)合，就知道的方程是.
考慮的坐標(biāo)，將的方程代入的方程，就得到.
展開(kāi)即為.
即，從而該方程的不同于的解是
.
所以
，
從而
.
這就得到了：.
另外，和的方程分別為和，的方程是，解得
，.
先記，，則和的中垂線(xiàn)分別是和.
聯(lián)立得方程組，解得.
整理得.
由于，，故
.
且.
所以
，
且
故.
由于，，故
.
所以，且.
將上面的結(jié)果簡(jiǎn)記為.
再由，，以及之前得到的，知
，.
所以，且
.
所以.
根據(jù)，就得到直線(xiàn)的斜率.
所以直線(xiàn)的方程是.
之前我們已經(jīng)得到的方程是，故的斜率.
設(shè)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則由，知的斜率.
從而和的斜率互為相反數(shù).
由于是的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，故關(guān)于對(duì)稱(chēng)，而都是的平分線(xiàn)，故關(guān)于對(duì)稱(chēng).
而直線(xiàn)與軸重合，故關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).
同時(shí)由于都在上，而軸經(jīng)過(guò)的圓心，且和的斜率互為相反數(shù)，故也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).
此即關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以平分.
根據(jù)引理3，我們有三點(diǎn)共線(xiàn)，所以平分，引理4得證.
回到原題.
我們使用同一法，記直線(xiàn)和的外接圓交于點(diǎn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，然后在此條件下，我們證明，這同樣可以說(shuō)明原結(jié)論成立.
設(shè)的中點(diǎn)為，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線(xiàn)交于不同于的點(diǎn).
則根據(jù)引理2，我們知道點(diǎn)在的九點(diǎn)圓上.
由于的圓心是的中點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)在邊上的投影，故根據(jù)引理1，知就是的九點(diǎn)圓，所以點(diǎn)在上.
而根據(jù)（1）的結(jié)論，和相切，故它們的公共點(diǎn)一定是切點(diǎn)，從而和重合.
換言之，點(diǎn)就是直線(xiàn)與的不同于的交點(diǎn)，根據(jù)引理4，我們知道平分.
由于也平分，故，同理.
從而，，這就得到
，
所以.
根據(jù)同一法，原結(jié)論得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于使用適當(dāng)?shù)钠矫鎺缀沃械亩ɡ?
19. 設(shè)為空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)非空閉凸集，即，且若，則對(duì)任意有，且對(duì)任意的，都存在，使得，這里為線(xiàn)段的長(zhǎng)度．稱(chēng)的下確界或最大下界為，定義為小于等于在中的所有數(shù)的最大實(shí)數(shù)，如果不存在這樣的實(shí)數(shù)，則記為．已知若為閉集，則為開(kāi)集.
（1）設(shè)點(diǎn)，，證明：為非空閉凸集，并求．
（2）證明：對(duì)任意，存在唯一的一個(gè)，使得；
（3）證明：對(duì)任意，存在非零向量以及實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有：．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，.
（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）先用定義證明為非空閉凸集，然后確定的最小值為即可；
（2）利用凸集的定義，分存在性和唯一性?xún)煞矫孀C明；
（3）直接根據(jù)幾何意義，通過(guò)幾何直觀以及內(nèi)積的性質(zhì)證明.
【小問(wèn)1詳解】
由于，故.
由于對(duì)任意，有或或，故可取
.
則在時(shí)，首先有，，故：
如果，就有，且.
故，，所以
，
從而；
如果，就有，且.
故，，所以
，
從而.
如果，就有，故.
從而.
綜上，有，故是閉集.
由于對(duì)，，設(shè)，則
.
故只要，就有在上遞減，在上遞增，故，即.
顯然，當(dāng)時(shí)，有.
故無(wú)論如何都有.
故若，，則
，，.
故，所以是凸集.
綜上，是閉凸集.
由于對(duì)，有，故
.
而對(duì)，有.
故.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，根據(jù)的定義，對(duì)任意正整數(shù)，不是的上界，從而可取，使得.
那么，所以是有界序列.
從而該序列一定有一個(gè)收斂子列，記，由于是閉集，故.
在兩邊同時(shí)取極限就得到.
根據(jù)的定義及有，所以.
假設(shè)對(duì)不相等的有，由于互不相同，而三角形的中線(xiàn)長(zhǎng)一定小于與該中線(xiàn)具有公共端點(diǎn)的兩條邊中的較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度，故根據(jù)幾何意義有.
而，這與的定義矛盾，所以這樣的是唯一的.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)如（2）所說(shuō)，過(guò)作的法平面，如果存在，使得和在的同側(cè)（不包括本身），則到由和確定的直線(xiàn)上的投影滿(mǎn)足，而是凸集，故，這與的定義矛盾.
所以中每個(gè)點(diǎn)都在上或在的不包含的一側(cè)，從而對(duì)任意，在上的投影不小于，從而有.
所以取，，就有恒成立，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用幾何意義與向量結(jié)合，從而得到相應(yīng)的代數(shù)結(jié)論. 同時(shí)，本題的（2）小問(wèn)的證明過(guò)程使用了結(jié)論：中的有界序列必定有收斂子列，這是（2）結(jié)論背后的本質(zhì)，難以規(guī)避.
流水線(xiàn)1
流水線(xiàn)2
流水線(xiàn)3
總計(jì)
方差
0.825
0.634
0.810
均值
9.0
9.4
9.2

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