河南省新鄉(xiāng)市2023-2024學年高三第二次模擬考試數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

數(shù)學
注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 設，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算即可求解.
【詳解】，
故，
故選：B
2. 在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，，則（）
A. 為銳角三角形B. 為直角三角形
C. 為鈍角三角形D. 的形狀無法確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【詳解】由于,
故為鈍角，進而三角形為鈍角三角形
故選：C
3. 已知直線與拋物線：圖象相切，則的焦點坐標為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用相切有求得，從而得解.
【詳解】依題意，聯(lián)立，消去，得，
則，由，所以，
故拋物線方程為，則其焦點坐標為.
故選：C.
4. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，代入即可求解.
【詳解】因為，可得，
則，
.
故選：A.
5. 老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）
A. 248種B. 168種C. 360種D. 210種
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分類加法原理，結(jié)合組合、排列的定義進行求解即可.
【詳解】根據(jù)題意進行分類：
第一類：甲、乙、丙每人分得2本，（種）；
第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3分，（種）.
所以由分類加法計數(shù)原理可得共有種不同的分法．
故選：D.
6. 函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式求解最值，即可根據(jù)一元二次不等式求解，即可根據(jù)取整函數(shù)的定義求解.
【詳解】，當且僅當時取等號，
由可得，
所以，故，
故選：C
7. 已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）
A. 奇函數(shù)B. 是奇函數(shù)
C. 是奇函數(shù)D. 是奇函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】利用賦值法推得，從而得到的對稱性，再利用函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可判斷B，舉反例排除ACD，由此得解.
【詳解】因為，
令，可得，則；
令，則，
故的圖象關(guān)于點對稱，
則的圖象關(guān)于點對稱，即是奇函數(shù)，故B正確；
對于C，令，可得，則，
當時，，此時不可能是奇函數(shù)，
由于無法確定的值，故不一定是奇函數(shù)，故C錯誤；
對于AD，取，滿足題意，但易知D錯誤；
故選：B.
8. 已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點在圓錐的側(cè)面上運動，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，最小時，有最小值，求的最小值即可.
【詳解】圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，
則有，，
點在圓錐的側(cè)面上運動，
則，
最小時，有最小值，的最小值為點到圓錐母線的距離，
中，，，則，點到的距離，
則的最小值為，的最小值為.
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時相對于平衡位置的高度（單位：）由關(guān)系式，確定，其中，，．小球從最高點出發(fā)，經(jīng)過后，第一次回到最高點，則（）

A.
B.
C. 與時的相對于平衡位置的高度之比為
D. 與時的相對于平衡位置的高度之比為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)周期求出，代入得到，從而得到函數(shù)解析式，再代入數(shù)據(jù)即可判斷CD.
【詳解】對于AB，由題可知小球運動的周期，又，所以，解得，
當時，，又，所以，故A錯誤，B正確；
對于CD，則，
所以與時的相對于平衡位置的高度之比為
，故C正確D錯誤.
故選：BC.
10. 已知，集合，，，，則下列結(jié)論一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)集合代表的含義，結(jié)合直線過定點以及直線與圓的關(guān)系，圓與圓的關(guān)系，即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】表示過定點,且斜率為的直線的點構(gòu)成的集合，
表示過定點且斜率為的直線的點構(gòu)成的集合，
表示圓心為，半徑為的圓上的點構(gòu)成的集合，
表示圓心為，半徑為的圓上的點構(gòu)成的集合，
對于A，集合中的直線平行，故，故A正確，
對于B，由于，故在圓內(nèi)，
故經(jīng)過點的直線與圓相交，，故B正確，
對于C，由于，故在圓外，
故當經(jīng)過點的直線與圓相離時，此時，故C錯誤，
對于D，由于，故兩圓相交，，D錯誤，
故選：AB
11. 如圖，已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，三點共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（）

A. 的漸近線方程為B.
C. 的面積為D. 內(nèi)接圓的半徑為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)斜率以及雙曲線的對稱性可得為等邊三角形，即可根據(jù)同角關(guān)系與和差公式求解三角函數(shù)值，進而利用正弦定理求解，由雙曲線定義可得，進而根據(jù)選項即可逐一求解，
【詳解】對于A，依題意，直線的斜率為，所以，又，
所以為等邊三角形，故，
在中，為銳角，
，
所以，
根據(jù)正弦定理可得，
即，解得，
所以，即，
所以雙曲線的方程為，
對于AB，的漸近線方程為，故AB正確；
對于C，的面積為，故C錯誤；
對于D，的面積為，
所以內(nèi)接圓的半徑為，故D正確.
故選：ABD，
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用三角函數(shù)的知識與正弦定理求得，從而得到雙曲線的方程，從而得解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．
12. 已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用球的截面圓性質(zhì)求得球的半徑，再利用球的體積公式即可得解.
【詳解】由球的截面圓性質(zhì)可知球的半徑，
則該球的體積為.
故答案為：.
13. 若一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為3，方差為，則，，，，，9這6個數(shù)的平均數(shù)為______，方差為______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平均數(shù)公式與方差公式求解即可.
【詳解】依題意，知這6個數(shù)的平均數(shù)為，
又，得，
所以這6個數(shù)的方差為.
故答案為：；.
14. 已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有6個解，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】令，根據(jù)的圖象可知，等于常數(shù)的解最多只有3個，根據(jù)圖象性質(zhì)可知，等于常數(shù)的解最多只有2個，若有6個解，需要有3個解，有2個解，根據(jù)圖象先求出，再得出和中最小解之間的等式關(guān)系，而后結(jié)合的值域即可建立關(guān)于的不等式，最后構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，求導求單調(diào)性即可解不等式，進而得出結(jié)果.
【詳解】令，由函數(shù)的圖象可知，方程(為常數(shù))最多有3個解，
在上單調(diào)遞增，
當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以處取得極大值，即極大值為，如下圖：
故結(jié)合圖象可得，且方程的三個解中最小的解為.
又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以最小值為，即當時，有2個零點，
所以使關(guān)于的方程有6個解，則，
，即，令，
易知在上單調(diào)遞增，又，所以的解集為，
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：本題考查復合函數(shù)零點個數(shù)問題，此類題目一般做法為：
（1）先根據(jù)解析式畫出兩個函數(shù)圖象；
（2）令復合函數(shù)內(nèi)函數(shù)為；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象及零點個數(shù)，分析外函數(shù)根的個數(shù)以及自變量對應的取值范圍；
（4）再確定內(nèi)函數(shù)根個數(shù)及對應參數(shù)取值范圍；
（5）解出參數(shù)范圍即可.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．
（1）證明：平面；
（2）若，點滿足，求二面角的大?。?br>【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得證線面垂直后可得線線垂直，再由線面垂直的判定定理證明結(jié)論成立；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角．
【小問1詳解】
過作于點，平面平面，且平面平面，平面，
故平面．又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
【小問2詳解】
由（1）平面，平面,故,
以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則0,，，,1,，，
故，,所以,
，
設平面的法向量，
則，令有，故，
平面的法向量，
則，
又二面角所成角為銳角，
二面角所成角的余弦值為，角的大小為．
16. 已知數(shù)列滿足，．
（1）記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；
（2）求的前項和，并證明．
【答案】（1）證明見解析；.
（2）；證明見解析.
【解析】
【分析】（1）結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的概念即可證明并求得通項公式；
（2）利用遞推公式將用得前項和來表示，即，進而利用等比數(shù)列的前項和公式即可求解；令，并用可得單調(diào)性，從而即可證明.
【小問1詳解】
證明：由題意可知，，
所以數(shù)列是首項，公比為6的等比數(shù)列.
于是.
【小問2詳解】
由題意可知，，所以
又，
令，
，
所以數(shù)列單調(diào)遞增，故，即.
17. 根據(jù)國家電影局統(tǒng)計，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國電影票房為80.16億元，觀影人次為1.63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長了18.47%和26.36%，均創(chuàng)造了同檔期新的紀錄．2024年2月10日某電影院調(diào)查了100名觀影者，并統(tǒng)計了每名觀影者對當日觀看的電影的滿意度評分（滿分100分），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間為，，，，，）．
（1）求這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)；
（2）估計這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；
（3）設這100名觀影者滿意度評分小于70分的頻率為，小于80分的頻率為，若甲、乙兩名觀影者在春節(jié)檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看，影片的概率分別為，，乙觀看，影片的概率分別為，，當天甲、乙觀看哪部電影相互獨立，記甲、乙這兩名觀影者中當天觀看影片的人數(shù)為，求的分布列及期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列見解析；
【解析】
【分析】（1）利用頻率分布直方圖的頻率與頻數(shù)公式即可得解；
（2）利用頻率分布直方圖中百分位數(shù)的計算方法即可得解；
（3）先求得，再利用獨立事件的概率公式分別求得的取值對應的概率，從而得解.
【小問1詳解】
由圖可知，滿意度評分不低于60分的頻率為，
所以這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)為.
【小問2詳解】
因為，
所以這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)位于第三組，
則這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)的估計值為.
【小問3詳解】
由圖可知，，同理，
而的可能取值為，
則，
，
，
所以的分布列為
故.
18. 已知，分別是橢圓：（）的左、右頂點，為的上頂點，是上在第一象限的點，，直線，的斜率分別為，，且．
（1）求的方程；
（2）直線與交于點，與軸交于點，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；
（2）分別聯(lián)立直線與橢圓方程、直線與直線方程，求得的坐標，從而將所求轉(zhuǎn)化為的縱坐標的表達式，從而得解.
【小問1詳解】
依題意，設，顯然，，
則，又，即，
所以，即①，
由，得②，
聯(lián)立①②，解得，
所以橢圓的方程為，
【小問2詳解】
由（1）得，，
設直線的方程為，
因為點位于第一象限，所以，
聯(lián)立，整理得，
則，所以，則，
所以，
又直線的方程為，即，
所以聯(lián)立，解得，
故
，
因為，所以，，則，
所以，
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，將轉(zhuǎn)化為的縱坐標的比值，從而得解.
19. 定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點，滿足曲線在和處的切線重合，則稱，為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”．
（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；
（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；
（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，…，，若（），證明：．
【答案】（1）是，理由見解析；
（2）；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用直線的斜率與導數(shù)的幾何意義求得切點，再分別求切線方程驗證即可.
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，并設出切點，求出處的切線方程，再利用“雙重切線”的定義求出切線方程.
（3）利用“雙重切線”的定義，分別設出對應的切點，分別利用導數(shù)的幾何意義得到對應切點之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)結(jié)合零點存在性定理確定判的零點所在區(qū)間，然后借助不等式性質(zhì)推理即得.
【小問1詳解】
的定義域為，求導得，直線的斜率為2，
令，解得，不妨設切點，
則點處的切線方程為，即，
點處的切線方程為，即，
所以直線是曲線的“雙重切線”.
【小問2詳解】
函數(shù)，求導得，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
設切點，則存在，使得，
則在點處的切線方程為，在點處的切線方程為，
因此，消去可得，
令，求導得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)的零點為，因此，
所以曲線的“雙重切線”的方程為.
【小問3詳解】
設對應的切點為，對應的切點為，
由，得，，
由誘導公式及余弦函數(shù)的周期性知，只需考慮，，其中，
由及余弦函數(shù)在上遞增知，，
則，
，
因此，又，，
則，同理，
令，求導得，
則在上單調(diào)遞增，顯然，且，
函數(shù)在上的值域為，即函數(shù)在上存在零點，則有，
由，同理可得，而，因此，
于是，即有，
所以，即
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵點有兩個：一是利用導數(shù)的幾何意義求解切線的斜率；二是設切點并利用和切線方程得到之間的等式，進而消去一個未知數(shù)，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)的性質(zhì)求得方程的零點.
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