TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9526" 一、必備秘籍 PAGEREF _Tc9526 \h 1
\l "_Tc22558" 二、典型題型 PAGEREF _Tc22558 \h 2
\l "_Tc25514" 題型一：求二面角 PAGEREF _Tc25514 \h 2
\l "_Tc11626" 題型二：已知二面角求參數(shù) PAGEREF _Tc11626 \h 4
\l "_Tc16244" 題型三：求二面角最值（范圍） PAGEREF _Tc16244 \h 7
\l "_Tc24106" 三、專項訓(xùn)練 PAGEREF _Tc24106 \h 9
一、必備秘籍
1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點(diǎn)，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作
棱的垂線、,則稱為二面角的平面角.
2、二面角的范圍：
3、向量法求二面角平面角
（1）如圖①，，是二面角的兩個面內(nèi)與棱垂直的直線，則二面角的大小．
（2）如圖②③，，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足：
；（特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）
二、典型題型
題型一：求二面角
1．（22·23下·河南·模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱的底面是正方形，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
2．（2023·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱的體積為，的面積為．

(1)求到平面的距離；
(2)設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的大?。?br>3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，為邊上的點(diǎn)，且.將沿翻折，使得點(diǎn)到，滿足平面平面，連接.

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的大小.
4．（2023·河北滄州·三模）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成.在同一平面內(nèi)，且.

(1)證明：平面平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.
5．（2023·海南省直轄縣級單位·三模）如圖所示，為等邊三角形，平面，，，，為線段上一動點(diǎn)．

(1)若為線段的中點(diǎn)，證明：．
(2)若，求二面角的余弦值．
題型二：已知二面角求參數(shù)
1．（2023·四川南充·三模）如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面.

(1)證明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.
2．（2023·吉林長春·一模）長方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；
(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時，求四棱錐的體積．
3．（2023·福建寧德·一模）如圖①在平行四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，得到圖②所示幾何體．
(1)若為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積；
(2)在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由．
4．（2023·江西九江·一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），若二面角的余弦值為，求線段的長．
5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動點(diǎn)E在邊BC上移動，且.

(1)證明：垂直于底面.
(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動，使二面角為時，求二面角的余弦值.
題型三：求二面角最值（范圍）
1．（23·24高二上·山東·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且.

(1)證明：直線平面：
(2)求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.
2．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，.點(diǎn)、、、分別在棱、、、上，，，.

(1)證明：四點(diǎn)共面
(2)當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動時（包括端點(diǎn)），求平面與平面夾角余弦值的的取值范圍.
3．（23·24高二上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖（1），在矩形中，，為線段的中點(diǎn)，將沿直線AE折起，使得，如圖（2）.
(1)求證：平面平面；
(2)已知點(diǎn)H在線段AB上移動，設(shè)平面ADE與平面DHC所成的角為，求的取值范圍.
4．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段?的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.
三、專項訓(xùn)練
1．（23·24高二上·北京房山·階段練習(xí)）已知長方體中，，，則平面與平面所成銳二面角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
2．（23·24高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖所示，是棱長為6的正方體，分別是棱上的動點(diǎn)，且，當(dāng)四點(diǎn)共面時，平面與平面所成夾角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
3．（23·24高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱，上的動點(diǎn)，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長的最大值為（ ）

A．B．C．D．
4．（21·22高二·全國·單元測試）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（20·21高一下·湖北·階段練習(xí)）在正三棱柱中，，點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E為上的點(diǎn)，且滿足，當(dāng)二面角的正切值為時，實數(shù)m的值為（ ）
A．B．1C．2D．3
二、填空題
6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一個二面角的棱上有兩點(diǎn)，線段分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，則這個二面角的大小為 .
7．（23·24高二上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，已知菱形所在的平面與所在的平面互相垂直，且．則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為 ．

8．（22·23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，兩兩互相垂直，，，分別是側(cè)棱，上的點(diǎn)，平面與平面所成的（銳）二面角為，則當(dāng)最小時 ．

9．（23·24高二上·全國·單元測試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角的平面角的大小為時， ．

三、解答題
10．（23·24高三上·四川成都·開學(xué)考試）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面底面，，，，．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
11．（2023·新疆·三模）如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長為，AB為圓O的直徑．

(1)在弧上是否存在點(diǎn)C（C，在平面同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；
(2)求二面角的余弦值．
12．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，三棱錐中，，，，平面平面.

(1)求三棱錐的體積的最大值；
(2)求二面角的正弦值的最小值.
13．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線段CD上找出點(diǎn)F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，請指出點(diǎn)F的具體位置（無需給出證明過程）．
(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺的體積，并求出此時二面角的余弦值．
14．（22·23高一上·吉林·階段練習(xí)）如圖①所示，長方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)設(shè)的大小為，若，求平面的最小值．
17．（23·24上·湖北·開學(xué)考試）如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的菱形，；側(cè)面為矩形，，且平面平面.

(1)求證：；
(2)設(shè)是線段上的動點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使二面角的余弦值為.
專題03 平面與平面所成角（二面角）（含探索性問題）
(典型題型歸類訓(xùn)練)
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9526" 一、必備秘籍 PAGEREF _Tc9526 \h 1
\l "_Tc22558" 二、典型題型 PAGEREF _Tc22558 \h 2
\l "_Tc25514" 題型一：求二面角 PAGEREF _Tc25514 \h 2
\l "_Tc11626" 題型二：已知二面角求參數(shù) PAGEREF _Tc11626 \h 10
\l "_Tc16244" 題型三：求二面角最值（范圍） PAGEREF _Tc16244 \h 18
\l "_Tc24106" 三、專項訓(xùn)練 PAGEREF _Tc24106 \h 24
一、必備秘籍
1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點(diǎn)，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作
棱的垂線、,則稱為二面角的平面角.
2、二面角的范圍：
3、向量法求二面角平面角
（1）如圖①，，是二面角的兩個面內(nèi)與棱垂直的直線，則二面角的大小．
（2）如圖②③，，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足：
；（特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）
二、典型題型
題型一：求二面角
1．（22·23下·河南·模擬預(yù)測）如圖，直四棱柱的底面是正方形，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)G，連接FG，
因為E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)，
所以，且，
所以四邊形AEFG是平行四邊形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)，則，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則
,即，
不妨取，則，即，
設(shè)平面的一個法向量為，則
,即，
不妨取，則，即，
所以，
設(shè)二面角的平面角為，則
，
所以
故二面角的正弦值為.
2．（2023·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱的體積為，的面積為．

(1)求到平面的距離；
(2)設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的大?。?br>【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意知：；
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
，解得：，
即點(diǎn)到平面的距離為.
（2）取的中點(diǎn)，連接，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
三棱錐為直三棱柱，平面，
又平面，；
，平面，平面
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向為軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知：，，，
，，
，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，；
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，；
，
而，所以，
則二面角的大小為.
3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，為邊上的點(diǎn)，且.將沿翻折，使得點(diǎn)到，滿足平面平面，連接.

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的大小.
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）在中，，，，
同理，在中，，
，，
又因為平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
又，與是平面內(nèi)的兩條相交直線，
平面，又平面，
平面平面.
（2）
如圖，作，垂足為，在中，可得，，
由（1），，平面平面，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為，軸，過點(diǎn)垂直平面為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，
則，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，即，令，可得，，
，
設(shè)平面的一個法向量為，則
，即，令，可得，，
，
，
又，則，
所以二面角的正弦值為.
4．（2023·河北滄州·三模）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成.在同一平面內(nèi)，且.

(1)證明：平面平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）如圖，連接，因為該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，

，所以，所以，所以.
因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.
因為平面，平面，所以.
因為平面，，所以平面，
因為平面，所以平面平面.
（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，
則，，，，，，

則，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則即令，則，
令，則.
所以.
因此平面與平面所成角的余弦值為.
5．（2023·海南省直轄縣級單位·三模）如圖所示，為等邊三角形，平面，，，，為線段上一動點(diǎn)．

(1)若為線段的中點(diǎn)，證明：．
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為為線段的中點(diǎn)，
且為等邊三角形，所以，
因為平面，平面，所以，
因為，所以，，，四點(diǎn)共面，
因為平面，平面，，
所以平面，
因為平面，所以；
（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
由（1）可得兩兩垂直，
分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，令，得，，
所以平面的一個法向量為，
所以，
所以二面角的余弦值為．


題型二：已知二面角求參數(shù)
1．（2023·四川南充·三模）如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面.

(1)證明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【詳解】（1）證明:如圖所示，連接,
因為為棱臺，所以四點(diǎn)共面，
取，可得，所以.
又由平面的法向量為，
所以，解得
由于二面角為銳角，則點(diǎn)在線段上，所以，即
故上存在點(diǎn)，當(dāng)時，二面角的余弦值為.

2．（2023·吉林長春·一模）長方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；
(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時，求四棱錐的體積．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）證明：在長方形中，，為中點(diǎn)，
，
，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，平面，
，又，平面，平面，
則，，
令，得，
，
又平面，是平面的一個法向量，，
令，解得或（舍）.
即為的靠近的三等分點(diǎn)時，二面角的平面角為，
平面，且，
到平面的距離為，又四邊形的面積為3，
四棱錐的體積
3．（2023·福建寧德·一模）如圖①在平行四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，得到圖②所示幾何體．
(1)若為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積；
(2)在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的值為
【詳解】（1）由圖①知，，所以，在中，因為，，
可得，，所以．
即，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
所以，則，
令，得，
設(shè)平面的法向量為，
所以， 解得或（舍去），
所以此時的值為.
4．（2023·江西九江·一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），若二面角的余弦值為，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）易知，，，平面，
平面，
又平面，所以
由直角梯形，，，，
可得，又，得；
又，平面，所以平面
又平面，可得平面平面
（2）取的中點(diǎn)，連接，，

，，
又平面平面，平面平面，平面，
為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，又，
平面的一個法向量為
可得，解得或(舍)
即為的中點(diǎn)，易知，
故線段的長為.
5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動點(diǎn)E在邊BC上移動，且.

(1)證明：垂直于底面.
(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動，使二面角為時，求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，
而底面是矩形，故,底面，
故平面，而平面，故;
（2）由（1）知底面，底面，
故，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，且，
故，；
又平面，,故平面，
平面，故，而平面，
故平面，故即為二面角的平面角，
由原圖可知二面角為銳角，
故二面角的余弦值為.
題型三：求二面角最值（范圍）
1．（23·24高二上·山東·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且.

(1)證明：直線平面：
(2)求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）如圖，連接并延長交于，過作交于，連接，
因為，所以，
又，所以，得到，
又易知，且，又且，故且，所以四邊形為平行四邊形，
得到，又，所以，
又平面，平面，所以平面，

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因為，
則，，，，，
所以，，，，，
又因為，則，
，
所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
又因為，，，
所以，即平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為.

2．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，.點(diǎn)、、、分別在棱、、、上，，，.

(1)證明：四點(diǎn)共面
(2)當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動時（包括端點(diǎn)），求平面與平面夾角余弦值的的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析．
(2)．
【詳解】（1）分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，
∴，，，
∴，
所以共面，即四點(diǎn)共面；
，
，則，所以，
∴平面與平面夾角余弦值的的取值范圍是．
3．（23·24高二上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖（1），在矩形中，，為線段的中點(diǎn)，將沿直線AE折起，使得，如圖（2）.
(1)求證：平面平面；
(2)已知點(diǎn)H在線段AB上移動，設(shè)平面ADE與平面DHC所成的角為，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題意證明如下，
取線段AE的中點(diǎn)O，連接DO，OC，如圖.
則，，，.
易知平面ADE的一個法向量為.
設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為，，
則，.
設(shè)平面DHC的法向量為，
則
令，則.
∴.
令，則，
∴.
又，所以，
∴的取值范圍為.
4．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段?的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由平面平面，且兩平面交線為,為中點(diǎn)，，
平面，所以平面，由于平面，故，
在菱形中，，，所以為等邊三角形，

（2），
設(shè)，則，
，，；
由（1）知平面，
平面的一個法向量，
設(shè)平面的法向量，又
則，，即，
令，則，，，
，
令，則，
，
，所以，
，，
即銳二面角的余弦值的取值范圍為．
三、專項訓(xùn)練
1．（23·24高二上·北京房山·階段練習(xí)）已知長方體中，，，則平面與平面所成銳二面角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則
可得，
則，
可得，
所以平面與平面所成銳二面角的正切值.
故選：A.
2．（23·24高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖所示，是棱長為6的正方體，分別是棱上的動點(diǎn)，且，當(dāng)四點(diǎn)共面時，平面與平面所成夾角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，當(dāng)時，即為的中點(diǎn)時，四點(diǎn)共面，
可得，且，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
設(shè)平面的法向量為，則
取，可得，所以，
設(shè)平面與平面所成的二面角為，
則，
所以平面與平面所成的二面角的余弦值.
故選：D.

3．（23·24高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱，上的動點(diǎn)，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長的最大值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】依題意，，，兩兩互相垂直，
以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，（，，且m，n不同時為0），
則，，，所以，.
設(shè)平面AEF的一個法向量為，
則，
令，得，則，
顯然為平面ABC的一個法向量.
因為平面與平面所成角的大小為，
所以，
即，
得，
所以，所以當(dāng)時，m取得最大值，最大值為.
故選：B
4．（21·22高二·全國·單元測試）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
由二面角的平面角大小為，可知Q的軌跡是過點(diǎn)D的一條直線，
又Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），則Q的軌跡是過點(diǎn)D的一條線段.
設(shè)Q的軌跡與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知，，，所以，，．
易知平面APD的一個法向量為，
設(shè)平面PDG的法向量為，
則，即，
令，得，，所以是平面PDG的一個法向量，
則二面角的平面角的余弦值為
，
解得或（舍去），
所以Q在DG上運(yùn)動，所以面積的取值范圍為．
故選：B．
5．（20·21高一下·湖北·階段練習(xí)）在正三棱柱中，，點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E為上的點(diǎn)，且滿足，當(dāng)二面角的正切值為時，實數(shù)m的值為（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【詳解】如圖，
以D原點(diǎn)，DA，DB，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
由得，，即，
所以，，
設(shè)面的法向量為：，則
取，
取面的法向量為：，
設(shè)二面角為，
由得，，則，
所以，
故選：D.
二、填空題
6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一個二面角的棱上有兩點(diǎn)，線段分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，則這個二面角的大小為 .
【答案】
【詳解】如圖，設(shè)，（），則二面角的大小為，

，，，，
故.
故，故，.
因此所求二面角的度數(shù)為.
故答案為：.
7．（23·24高二上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，已知菱形所在的平面與所在的平面互相垂直，且．則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為 ．

【答案】
【詳解】取中點(diǎn)，連接，在菱形中，所以是正三角形，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
又因為，，平面，
所以平面.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，
設(shè)面的法向量是，，，
則由，即，則令，得，
所以，
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值是.
故答案為: ．
8．（22·23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，兩兩互相垂直，，，分別是側(cè)棱，上的點(diǎn)，平面與平面所成的（銳）二面角為，則當(dāng)最小時 ．

【答案】/60
【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，，則，，，，
所以，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，則，
又平面的一個法向量為，
所以，即，
當(dāng)最小時，，，
所以，所以，
故答案為：．
9．（23·24高二上·全國·單元測試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角的平面角的大小為時， ．

【答案】
【詳解】設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
又由平面的一個法向量為，
則，
解得或（舍去），所以.
故答案為：.

三、解答題
10．（23·24高三上·四川成都·開學(xué)考試）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面底面，，，，．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為平面平面，且平面平面，平面，，
所以平面，
又平面，所以．
因為，，，所以，故．
又，平面，所以平面．
因為平面，所以，平面平面．
（2）作的高，因為，，，
所以，所以，
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．
所以，可以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，其中軸．
則，，，，
所以，，．
設(shè)平面的法向量為，

則即
令得，，
所以平面的一個法向量為．
設(shè)平面的法向量為，
則即
令得，，
所以平面的一個法向量為．
，
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．
11．（2023·新疆·三模）如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長為，AB為圓O的直徑．

(1)在弧上是否存在點(diǎn)C（C，在平面同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)存在，為圓柱的母線
(2)
【詳解】（1）存在，當(dāng)為圓柱的母線時，．證明如下：
連接BC，AC，，因為為圓柱的母線，所以平面ABC，
又因為平面ABC，所以．
因為AB為圓O的直徑，所以．
又，平面，所以平面，
因為平面，所以．
（2）以為原點(diǎn)，OA，分別為y，z軸，垂直于y，z軸的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，
因為劣弧的長為，所以，，
則，．
設(shè)平面的法向量，
則，
令，解得，，所以．
因為x軸垂直平面，所以平面的一個法向量．
所以，
又二面角的平面角為銳角，
故二面角的余弦值為．
12．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，三棱錐中，，，，平面平面.

(1)求三棱錐的體積的最大值；
(2)求二面角的正弦值的最小值.
【答案】(1)
(2).
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，

因為，所以
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因為，，，所以，，
所以三棱錐的體積為
以，
過作于，連接，

因為平面，，所以平面，
又平面，所以，所以為二面角的平面角，
在中，，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以的最小值為2.
此時取得最小值，
故二面角的正弦值的最小值為.
解法二：由（1）可知平面，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
又取平面的法向量為，
設(shè)二面角的大小為，，
所以，
因為，所以，
故二面角的正弦值的最小值為.
13．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線段CD上找出點(diǎn)F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，請指出點(diǎn)F的具體位置（無需給出證明過程）．
(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺的體積，并求出此時二面角的余弦值．
【答案】(1)或為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)；
(2)；.
【詳解】（1）在直角梯形中，延長交于點(diǎn)，連接并延長交于，如圖，

，，，于是，則，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
將四邊形沿翻折，即將沿翻折，無論二面角多大，
所成幾何體均為三棱錐，顯然平面平面，
于是平面，同理平面，而平面，
因此平面平面，從而幾何體是棱錐被平行于底面的平面所截，
截面和底面間的部分，即幾何體是棱臺，
所以無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺，，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
（2）翻折前，將,,延長一倍，三線交予點(diǎn)，
在等腰直角三角形中，，在棱臺中，，
又二面角為直二面角，平面，
即三棱錐的體積為，
在線段上取，有，四邊形為平行四邊形,，
又面，則，以為原點(diǎn)，為,,的單位向量建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
，取平面的法向量為，
，令，取，
所以二面角的余弦值為.

14．（22·23高一上·吉林·階段練習(xí)）如圖①所示，長方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因為，則，
當(dāng)平面平面時，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，此時平面，且，
底面為梯形，，
則四棱錐的體積最大值為.
（2）連接，因為，所以，所以為的平面角，即，
過點(diǎn)作平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以DA，DC，DZ所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
過作于點(diǎn)，由題意得平面，
設(shè)，因為，所以，，，
所以，，
所以，
所以，，
設(shè)平面PAM的法向量為，則，
令，則，
可得，
設(shè)兩平面夾角為，
則
令，，所以，
所以，
因為的對稱軸為，
所以當(dāng)時，有最小值，
所以平面和平面夾角余弦值的最小值為．
15．（22·23下·信陽·階段練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，且滿足.若不存在，請說明理由；若存在，求出的長度.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【詳解】（1）∵為等腰梯形，，∴
∵，則，∴.
又∵，則，
∴，∵平面，平面，∴.
∵平面，∴平面，
∵四邊形為矩形，則，
∴平面.
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知，，則，
，設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，∴，令，
則，取平面的法向量，
，
由題意，.
解得.
因此在線段上存在點(diǎn)，
使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，
且滿足.
16．（23·24上·山東·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面，，，，點(diǎn)E在平面上運(yùn)動．

(1)試確定一點(diǎn)E，使得平面，并說明點(diǎn)E的位置；
(2)若四棱錐的體積為6，在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)F，使得二面角的余弦值為．若存在，求的長，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)E在的邊的中線上運(yùn)動時，平面；
(2)存在，.
【詳解】（1）點(diǎn)E在的邊的中線上，
取的中點(diǎn)G，連接，如圖，
由，，得，，即四邊形為平行四邊形，
于是，而平面，平面，則平面，
所以當(dāng)點(diǎn)E在的邊的中線上運(yùn)動時，平面．

（2）由于底面，，則四棱錐的體積，解得，
由（1）知，，則有，，有，，
向量，
于是二面角的余弦值，
解得，即F為中點(diǎn)，此時，．

設(shè)，且，，則，，
設(shè)是平面MBC的一個法向量，由及，
故可取，明顯平面BCD的一個法向量為，
由已知有，解得或（舍去），
所以當(dāng)點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)時，二面角的余弦值為.

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