（新高考九省聯(lián)考題型）
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知樣本數(shù)據(jù)為、、、、、、，去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（ ）
A. 極差B. 平均數(shù)C. 中位數(shù)D. 方差
【答案】C
【解析】樣本數(shù)據(jù)為、、、、、、，去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，假設(shè)從小到大就是從到，極差可能變化，故A錯；
平均數(shù)為，可能變，故B錯；
中位數(shù)還是按從小到大排序中間位置的數(shù)，故C正確；
方差為，有可能變，故D錯.
故選：C
2．已知全集，集合A，B滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】因為集合A，B滿足，故可得，
對A：當(dāng)為的真子集時，不成立；
對B：當(dāng)為的真子集時，也不成立；
對C：，恒成立；
對D：當(dāng)為的真子集時，不成立；
故選：C.
3．，展開式中項的系數(shù)等于40，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】的展開式中含項為，
故，解得，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4．若，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】由，得，
即，即，
所以，所以，
則
故選：C.
5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量 與 關(guān)于x軸對稱，向量 若滿足 的點A的軌跡為E，則（ ）
A. E是一條垂直于x軸的直線B. E是一個半徑為1的圓
C. E是兩條平行直線D. E 是橢圓
【答案】B
【解析】設(shè)，由題有，，
所以，，
所以，即，
所以點的集合是以為圓心，1為半徑的圓.
其軌跡為半徑為1的圓，
故選：B．
6．夾彈珠游戲是兒童特別喜歡的游戲，夾彈珠能有效提高參與者的注意力與協(xié)調(diào)性，調(diào)整邏輯思維判斷和空間控制平衡能力，鍛煉小肌肉，增強手眼協(xié)調(diào)，培養(yǎng)敏捷的反應(yīng)能力，從而提高參與者的適應(yīng)能力.如圖，三個半徑都是的玻璃彈珠放在一個半球面形狀的容器（不計厚度）中，每顆彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個容器的表面積（包括容器的內(nèi)部和外部兩部分）是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在面上的投影為為大球球心，為小球球心.

，大球半徑為，
，
，
故選：D.
7．已知函數(shù)，，，若的最小值為，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因為，
又，，且的最小值為，
所以，即，又，所以，
所以，又，所以，即，
因為，所以，
所以，令，，
解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：B
8．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，P，Q是它們的兩個公共點，且P，Q關(guān)于原點對稱， 若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，
則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，
，設(shè)，
根據(jù)橢圓與雙曲線的對稱性知四邊形為平行四邊形，則，
則在中，由余弦定理得，，
化簡得，即，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由題可知，，，故A正確；
，，故B錯誤；
，所以，C正確；
，
所以，故D正確.
故選：ACD
10．設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】，故A對.
，故B錯.
，故C對.
，
，故D對.
故選：ACD.
11．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，且，
則（ ）
A. 的圖象關(guān)于點中心對稱B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由題意可得，兩式相減可得①，
所以的圖象關(guān)于點中心對稱，A錯誤；
由②，②式兩邊對求導(dǎo)可得，可知偶函數(shù)，
以替換①中的可得，
可得，所以是周期為4的周期函數(shù)，B正確；
因為，可知也是周期為4的周期函數(shù)，即，
兩邊求導(dǎo)可得，所以，C正確；
因為，令，則，即，
又因為是偶函數(shù)，所以，
又因為是周期為4的周期函數(shù)，則，
由可得，
所以，D正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若成等比數(shù)列，則的前5項的和為__________.
【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為且，且，
因為成等比數(shù)列，可得，即，
即或（舍去），
所以.
故答案為：
13.已知圓錐的母線長為2，則當(dāng)圓錐的母線與底面所成的角的余弦值為__________時，圓錐的體積最大，最大值為__________.
【答案】 ；
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑r，母線為l，高為h，
設(shè)母線與底面所成的角為，
則，
則，
則，
則圓錐的體積為
，
令，則，
令，求導(dǎo)得，
令，則或舍去，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值.
此時最大，，
即圓錐的母線與底面所成的角的余弦值時，
圓錐的體積最大，最大值為
故答案為：；
14.在中，角所對的邊分別為，若分別在邊和上，且把的面積分成相等的兩部分，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
由，得，
即，解得，
，
，令，
令，得，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．為了開展“成功源自習(xí)慣，習(xí)慣來自日?！敝黝}班會活動，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的行為習(xí)慣，提高學(xué)習(xí)積極性和主動性，在全校學(xué)生中隨機調(diào)查了名學(xué)生的某年度綜合評價學(xué)習(xí)成績，研究學(xué)習(xí)成績是否與行為習(xí)慣有關(guān).已知在全部人中隨機抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為，現(xiàn)按“行為習(xí)慣良好”和“行為習(xí)慣不夠良好”分為兩組，再將兩組學(xué)生的學(xué)習(xí)成績分成五組：、、、、，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）若規(guī)定學(xué)習(xí)成績不低于分為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵”，請你根據(jù)已知條件填寫下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”；
（2）現(xiàn)從樣本中學(xué)習(xí)成績低于分的學(xué)生中隨機抽取人，記抽到的學(xué)生中“行為習(xí)慣不夠良好”的人數(shù)為，求的分布列和期望.
參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有 （2）分布列見解析，
【解析】（1）已知在全部人中隨機抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為，
則名學(xué)生中，行為習(xí)慣良好的有人，行為習(xí)慣不夠良好的有人.
由頻率分布直方圖可知，行為習(xí)慣良好組中不低于分的學(xué)生有人，
行為習(xí)慣不夠良好組中不低于分的學(xué)生有人
則列聯(lián)表為：
，，
因為，所以有的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”.
（2）行為習(xí)慣良好組中低于分的學(xué)生有人，
行為習(xí)慣不夠良好組中低于分的學(xué)生有人，則的可能值為、、，
，，.
的分布列為：
期望.
16．已知．
（1）若在恒成立，求a的范圍；
（2）若有兩個極值點s，t，求的取值范圍．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由函數(shù)，因為在上恒成立，
即在恒成立，
令，可得，
令，可得，
所以在單調(diào)遞減，所以，
所以恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，
所以，所以實數(shù)的取值范圍為.
（2）因為有兩個極值點，
可得是的兩不等正根，
即是的兩不等正根，則滿足，解得，
則
，
所以的取值范圍為．
17．如圖，在三棱錐中，和都是正三角形，E是的中點，點F滿足．
（1）求證：平面平面；
（2）若，且平面，求的長．
【答案】（1）證明見解析 （2）6
【解析】（1）如圖，連接，因為，所以．所以A，E，D，F(xiàn)四點共面．
因為在三棱錐中，和都是正三角形，E是的中點，
所以，．因為平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）如圖，記的中心為O，連接，由（1）得．同理可證，
且,所以平面，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
因為是正三角形，，所以，，．
所以，，，，．
所以，．
設(shè)平面的一個法向量為，則，即，
令，則，，所以．
因為，，
所以．
因為平面，所以，
即，解得，
此時．故DF的長為6．
18．已知拋物線的焦點為各頂點均在上，且．
（1）證明：是的重心；
（2）能否是等邊三角形？并說明理由；
（3）若均在第一象限，且直線的斜率為，求的面積．
【答案】（1）證明見解析 （2）不肯能，理由見解析 （3）
【解析】（1）設(shè)的中點為，的中點為，
因為，所以，
又為公共端點，所以三點共線，
同理可得，又為公共端點，所以三點共線，
所以是的兩條中線，
所以是的重心；
（2）由題意，設(shè)，
則，
由，可得，
由拋物線的定義可得，
若是等邊三角形，則由（1）知，
由，可得，
又因不重合，所以，
所以，
所以，，
故，這與矛盾，
所以不可能是等邊三角形；
（3）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，化簡得，
，所以，
由韋達(dá)定理得，
由（2）有，
，所以，
由得，解得，
所以，即，
直線的方程為，
所以
，
點到直線的距離，
所以的面積為
19． 對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列P：，定義變換，將數(shù)列P變換成數(shù)列：．對于每項均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義，定義變換，將數(shù)列Q各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列．
（1）若數(shù)列為2，4，3，7，求的值；
（2）對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，令，．
（i）探究與的關(guān)系；
（ii）證明：．
【答案】（1）172； （2）（i）；（ii）證明見解析.
【解析】（1）依題意，，，
.
（2）（i）記，
，
，
，
，所以.
（ii）設(shè)是每項均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，
當(dāng)存在，使得時，交換數(shù)列的第項與第項得到數(shù)列，
則，
當(dāng)存在，使得時，若記數(shù)列為，則，
因此，從而對于任意給定的數(shù)列，
由，，由（i）知，
所以.
行為習(xí)慣良好
行為習(xí)慣不夠良好
總計
學(xué)習(xí)標(biāo)兵
非學(xué)習(xí)標(biāo)兵
總計
行為習(xí)慣良好
行習(xí)慣不夠良好
總計
學(xué)習(xí)標(biāo)兵
非學(xué)習(xí)標(biāo)兵
總計

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