廣東省江門市江海實驗教育集團2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1. 若代數(shù)式有意義，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A. a≥﹣2B. a≠2C. a≥2D. a＞﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)，進而得出a的取值范圍．
【詳解】解：代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a﹣2≥0，
解得：a≥2．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握被開方數(shù)的符號是解題關(guān)鍵．
2. 下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可，
本題考查了最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的概念．最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式，不能含有分母．
【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；
B、，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；
C、，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；
D、，是最簡二次根式，故該選項符合題意；
故選：D．
3. 以下各組數(shù)據(jù)為三角形的三邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，據(jù)此性質(zhì)逐項依次判斷即可解題．
【詳解】解：A、22+12≠22，不是直角三角形，不符合題意；
B、22+32≠42，不是直角三角形，不符合題意；
C、32+42＝52，是直角三角形，符合題意．
D、52+62≠72，不是直角三角形，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查直角三角形三邊關(guān)系、勾股定理及其逆定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題根據(jù)．
4. 如圖，在中，AD＝8，點E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點，則EF等于（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得，又由點E、F分別是BD、CD的中點，利用三角形中位線的性質(zhì)，即可求得答案．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，，
∴．
∵點E、F分別是BD、CD的中點，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)，熟記平行四邊形的各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5. 下列計算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式混合運算的計算法則，依次計算，即可求解，
本題考查了，二次根式的混合計算，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握二次根式混合運算的計算法則．
【詳解】解：A、，錯誤，不符合題意，
B、，錯誤，不符合題意，
C、，正確，符合題意，
D、，錯誤，不符合題意，
故選：D．
6. 如圖，下列條件中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理進行分析即可．
【詳解】解：根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形為平行四邊形，則B選項正確，
故選：B．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定，熟記基本的判定方法是解題關(guān)鍵．
7. 如圖，一棵大樹在一次強臺風中于離地面5米處折斷倒下，樹干頂部在離根部12米處，則這棵大樹的高度為（）．

A. 13B. 17
C. 18D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】由直角三角形三邊關(guān)系，利用勾股定理解題即可．
【詳解】

由題意可知：AC=5米，BC=12米，
在RtABC中，由勾股定理得：，
解得AB=13，
這棵大樹的高度為：5+13=18米．
故選C．
【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
8. 如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論不正確的是（）

A. 當時，它是菱形B. 當時，它是菱形
C. 當時，它是矩形D. 當時，它是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)矩形、菱形及正方形的判定可進行求解．
【詳解】解：A、由四邊形是平行四邊形，，可知該四邊形是菱形，故不符合題意；
B、由四邊形是平行四邊形，，可知該四邊形是菱形，故不符合題意；
C、由四邊形是平行四邊形，，可知該四邊形是矩形，故不符合題意；
D、由四邊形是平行四邊形，，可知該四邊形是矩形，故符合題意；
故選D．
【點睛】本題主要考查矩形、菱形及正方形的判定，熟練掌握它們的判定定理是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，矩形中，連接，延長至點，使，連接．若，則的度數(shù)是（）

A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，求出∠DBE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
連接，交于，由矩形的性質(zhì)得，，，，則，得，再證，由等腰三角形的性質(zhì)得，則，即可求解．
【詳解】解：連接，交于，如圖：

四邊形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
故選：D．
10. 如圖，將一個邊長為4和8的長方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則折痕EF的長是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，四邊形AFEB與四邊形FDCE全等，
所以EC=AF=AE，
由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，即42+（8﹣AE）2=AE2，
解得，AE=AF=5，
所以BE=3，
作EG⊥AF于點G，則四邊形AGEB是矩形，
所以AG=3，GF=2，GE=AB=4，
由勾股定理得EF=．
故選：D．
二、填空題（本大題5小題，每小題3分，滿分15分）
11. 計算：_________．
【答案】4
【解析】
【分析】先計算有理數(shù)的乘方，再進行二次根式的化簡，
本題考查了，有理數(shù)的乘方，二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)運算法則．
【詳解】解：，
故答案為：4．
12. 計算的結(jié)果等于__________．
【答案】3
【解析】
【分析】先運用用平方差公式把括號展開，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算可得．
【詳解】解：原式=（）2-（）2
=6-3
=3，
故答案為3．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式與二次根式的性質(zhì)是關(guān)鍵．
13. ?ABCD中，∠A+∠C＝200°，則∠A＝_______．
【答案】100°
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的對角相等，可得∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝200°，可得∠A的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，
又∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°．
故答案是：100°．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．
14. 如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形ABCD，中間陰影部分是一個小正方形EFGH，這樣就組成一個“趙爽弦圖”．若AB=5，AE=4，則正方形EFGH的面積為_____．
【答案】1
【解析】
【分析】利用勾股定理求得直角邊的較短邊，進一步根據(jù)正方形EFGH的面積=大正方形面積-4個直角三角形面積即可求得正方形EFGH的面積．
【詳解】直角三角形直角邊的較短邊為=3，
正方形EFGH的面積=5×5-4×3÷2×4=25-24=1．
故答案為1．
【點睛】此題考查勾股定理的運用，掌握勾股定理的推導過程是解決問題的關(guān)鍵．
15. 如圖，已知菱形的邊長為6，且，點分別在邊上，將菱形沿折疊，使點B正好落在邊上的點G處．若，則的長為_________．
【答案】
【解析】
【分析】由菱形的性質(zhì)可知是等邊三角形，再通過折疊的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出，即是菱形的高，最后用勾股定理求高即可，
本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)并能將FG轉(zhuǎn)化成菱形的高是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點，交于點．
∵ 四邊形是菱形，，
∴，
∴是等邊三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形的高，
即為等邊三角形的高，
∴ ．
三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
16. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次根式的運算法則，即可求解，
（2）根據(jù)二次根式的運算法則，即可求解，
本題考查了，二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)運算法則．
【小問1詳解】
解：
，
【小問2詳解】
解：
．
17. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．在圖中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形的其中兩邊的邊長為和．
【答案】詳見解析
【解析】
【分析】直接利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格得出符合題意的圖形，
本題考查了勾股定理和網(wǎng)格問題，熟練掌握定理即可求解．
【詳解】解：根據(jù)勾股定理，得：，，

如圖所示：三角形即為所求．
18. 已知：如圖，在中，點E，F(xiàn)分別在和上，．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】證明見詳解．
【解析】
【分析】先根據(jù)平行四邊形得出，再由一組對邊平行且相等判斷四邊形DEBF是平行四邊形即可．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵點E在AB上，點F在CD上，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的判定定理進行求解．
四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）
19. 已知x=2+，y=2﹣，
求代數(shù)式的值：（1）x2﹣y2 （2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件先計算出x+y=4，x-y=，再利用平方差公式得到x2-y2=（x+y）（x-y），然后利用整體代入的方法計算；
（2）先計算出、xy的值，再代入原式=計算可得．
【詳解】解：（1）∵x=，y=，
∴x+y=4，x-y=，
∴x2-y2=（x+y）（x-y）
=4×
=；
（2）∵x=，y=，
∴，
xy，
則原式=
=
=.
【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值：先根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運算法則進行化簡，然后把滿足條件的字母的值代入求值．
20. 在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點，，其中，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點（、、在一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．
（1）問是否為從村莊到河邊的最近路？請通過計算加以說明；
（2）求原來的路線的長．
【答案】（1）是，理由見解析；
（2）千米．
【解析】
【分析】（）根據(jù)勾股定理的逆定理和垂線段最短解答即可；
（）根據(jù)勾股定理解答即可；
本題考查了勾股定理及逆定理及垂線段最短在實際生活中的運用，根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由勾股定理即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及逆定理的應(yīng)用.
【小問1詳解】
是，理由，
在中，，，
∴，
∴
∴，
根據(jù)垂線段最短，則是從村莊到河邊的最近路；
【小問2詳解】
設(shè)，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
答：原來的路線的長為千米．
21. 如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作且，連接CE．
（1）求證：四邊形OCED是矩形．
（2）連接AE交OD于點F，若菱形ABCD的邊長為4，，求AE的長．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)菱形的對角線互相垂直能得到，然后再結(jié)合題意即可證明四邊形OCED為矩形；
（2）先判斷與均為等邊三角形，然后利用勾股定理計算出EC長，再次利用勾股定理即可求出AE的長．
小問1詳解】
證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴，即，且．
∵且，
∴，，
∴四邊形OCED為平行四邊形，
∴四邊形OCED為矩形．
【小問2詳解】
解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴△ABC為等邊三角形，AC=4，
由（1）可知四邊形OCED為矩形,OC=AC=2,
EC=OD=BD=，
在Rt△ACE中
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，靈活運用所學知識，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
五、解答題（三）（本大題共2小題，每小題12分，共24分）
22. 如圖，已知四邊形是正方形，，點E為對角線上一動點，連接．過點E作，交射線點F，以為鄰邊作矩形．連接．
（1）連接，求證：．
（2）求證：矩形是正方形．
（3）探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．
【答案】（1）見解析（2）見解析
（3）的值是定值，定值為4．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及邊角邊的關(guān)系證明即可得到結(jié)論；
（2）作出輔助線，得到，然后判斷，得到，則有即可證明矩形是正方形；
（3）同（法判斷出得到，即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵點E是正方形對角線上的點，
∴，，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
證明：如圖，作，
∴，
∵點E是正方形對角線上的點，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∴矩形正方形；
【小問3詳解】
解：的值是定值，定值為4．
理由：∵四邊形、都是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的全等的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷三角形全等．
23. 如圖，在中，，，，點從點出發(fā)沿方向以每秒2個單位長的速度向點勻速運動，同時點從點出發(fā)沿方向以每秒1個單位長的速度向點勻速運動，當其中一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點、運動的時間是秒，過點作于點，連接、．
（1）求證：；
（2）求：經(jīng)過多少秒四邊形是矩形；
（3）四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，并求出此時四邊形的面積；如果不能，說明理由．
【答案】（1）見解析（2）經(jīng)過秒四邊形是矩形；
（3）能，，面積
【解析】
【分析】（1）由，，證出；
（2）當四邊形是矩形時，為直角三角形且，求出的值即可；
（3）先證明四邊形為平行四邊形．得出，，若四邊形為菱形，得出，，求出的值即可．
小問1詳解】
證明：在中，，，，
．
又，
；
【小問2詳解】
解：時，四邊形為矩形．
在中，，
．即，
．
答：經(jīng)過秒四邊形是矩形；
【小問3詳解】
解：能；理由如下：
，，
∴．
又，
四邊形為平行四邊形．
，，
，
，
若平行四邊形為菱形，則，
，
；
當時，四邊形能夠成為菱形．
此時，，
，
此時四邊形的面積．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形、菱形、矩形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的知識；考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．

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