廣東省深圳市蛇口育才教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答題前，請(qǐng)將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和座位號(hào)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定的位置上，并將準(zhǔn)考號(hào)用2B鉛筆填涂完整．
2．全卷共3頁(yè)，考試時(shí)間90分鐘，滿分100分．
3．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)的信息點(diǎn)框涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題時(shí)，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）
1. “瓦當(dāng)”是中國(guó)古建筑中覆蓋檐頭筒瓦前端的遮擋，主要有防水、排水、保護(hù)木制飛檐和美化屋面輪廓的作用．瓦當(dāng)上的圖案設(shè)計(jì)優(yōu)美，字體行云流水，極富變化，是中國(guó)特有的文化藝術(shù)遺產(chǎn)．下面“瓦當(dāng)”圖案中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的定義解答．
【詳解】A、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)正確；
C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2. 下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查因式分解的定義：將一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解．根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、不是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行變形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、是因式分解，故選項(xiàng)正確，符合題意；
D、等式右邊不是整式的積的形式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
3. 如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A與點(diǎn)B所表示的數(shù)分別為a，b，則下列不等式成立的是（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由圖可知，，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：由圖可知，，則有
A、，成立，本選項(xiàng)符合題意；
B、，原不等式不成立，本選項(xiàng)不符合題意；
C、，原不等式不成立，本選項(xiàng)不符合題意；
D、，原不等式不成立，本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)軸和不等式的性質(zhì)，通過(guò)數(shù)軸判斷出，并掌握不等式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
4. 下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）
A. 2，3，4B. 1，，C. 4，6，8D. 5，12，15
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可知，兩條較小的邊的平方和等于第三條邊的平方，即可構(gòu)成直角三角形，依次即可求出答案．
【詳解】解：A、∵，
∴，
∴不能構(gòu)成直角三角形，
故A不符合題意；
B、∵，
∴，
∴能構(gòu)成直角三角形，
故B符合題意；
C、∵，
∴，
∴不能構(gòu)成直角三角形，
故C不符合題意；
D、∵，
∴，
∴不能構(gòu)成直角三角形，
故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三邊的關(guān)系，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖①是一把園林剪刀，把它抽象為圖②，其中，若剪刀張開(kāi)的角為，則的度數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可求解．本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握等邊對(duì)等角是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
∵，
∴，
故選：D．
6. 校園湖邊一角的形狀如圖所示，其中，，表示圍墻，若在線段右側(cè)的區(qū)域中找到一點(diǎn)P修建一個(gè)觀賞亭，使點(diǎn)P到三面墻的距離都相等，則點(diǎn)P在（）

A. 線段、的交點(diǎn)B. 、角平分線的交點(diǎn)
C. 線段、垂直平分線的交點(diǎn)D. 線段、垂直平分線的交點(diǎn)
【答案】B
【解析】
【分析】由角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可判斷為D．
【詳解】解：如圖，、角平分線的交點(diǎn)P，，，，垂足分別為K，L，M，則，即點(diǎn)P到三面墻的距離相等；
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理；掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，將周長(zhǎng)為16的沿方向平移2個(gè)單位得，則四邊形的周長(zhǎng)為（）
A. 18B. 20C. 22D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，可以得到AD=CF=2，AC=DF，再根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)為AB+BC+CF+DF+AD，結(jié)合的周長(zhǎng)為16即可求出答案．
【詳解】解：∵沿方向平移2個(gè)單位得
∴AD=CF=2，AC=DF
∵四邊形的周長(zhǎng)為AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD
∴四邊形的周長(zhǎng)=16+2+2=20
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，找到平移距離是解決本題的關(guān)鍵．
8. 如圖，在中，，，小田同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖：
①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)M，N；
②作直線，交邊于點(diǎn)D．則線段的長(zhǎng)為（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，理解尺規(guī)作圖作垂直平分線的步驟成為解題的關(guān)鍵．
由作圖可得垂直平分，即；然后根據(jù)勾股定理列方程求解即可．
【詳解】解：連接
由作法得垂直平分，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：A．
9. 用甲乙兩種原料配制成某種飲料，已知每千克的這兩種原料的維生素C含量及購(gòu)買這兩種原料的價(jià)格如表所示：現(xiàn)配制這種飲料，要求至少含有4200單位的維生素C，且購(gòu)買原料的費(fèi)用不超過(guò)72元．設(shè)所需甲種原料，則可列不等式組為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了列一元一次不等式組，理解題意、找準(zhǔn)不等關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．
設(shè)所需甲種原料的質(zhì)量為，則需乙種原料．再根據(jù)不等關(guān)系“至少含有4200單位的維生素C”和“購(gòu)買原料的費(fèi)用不超過(guò)72元”列出不等式組即可．
【詳解】解：設(shè)所需甲種原料的質(zhì)量為，則需乙種原料．
根據(jù)題意，得：．
故選：C．
10. 如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到．若，則的長(zhǎng)度為（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了圖形的折疊和勾股定理，搞清楚折疊中線段的數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得出，由第二次折疊，得出，進(jìn)而得出，最后利用線段的關(guān)系，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：第一次折疊，如圖②，
∵，
∴，
∵，
∴，
由折疊性質(zhì)，，
∴，
第二次折疊，如圖③，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選：A．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了因式分解，如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，把公因式提出來(lái)，將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
12. 直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．
【詳解】解：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
13. 若關(guān)于x的不等式組的解集是x＞2，則m的取值范圍是______．
【答案】m≤2
【解析】
【分析】根據(jù)不等式組的解集，可判斷m與2的大小．
【詳解】解：因?yàn)椴坏仁浇M的解集是x＞2，根據(jù)同大取較大原則可知：m＜2，
當(dāng)m=2時(shí)，不等式組的解集也是x＞2，
所以m≤2．
故答案為：m≤2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．先分別解兩個(gè)不等式，求出它們的解集，再求兩個(gè)不等式解集的公共部分．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無(wú)解．
14. 如圖，“三等分角器”是由兩根有槽的棒PA，PB組成，兩根棒在P點(diǎn)相連，并可繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固定，O，A可在槽內(nèi)滑動(dòng)，，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____°．
【答案】20
【解析】
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等邊對(duì)等角得到，，利用外角的性質(zhì)推出，再次利用外角的性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：20．
15. 如圖，中，，，，D是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在外作等邊．若F是DE的中點(diǎn)，當(dāng)CF取最小值時(shí)，的周長(zhǎng)為_(kāi)___________．
【答案】18
【解析】
【分析】連接BF，由△BDE是等邊三角形、點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射線BF的位置是固定的，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可得到當(dāng)CF⊥BF時(shí)，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)列方程求出BD，最后求周長(zhǎng)即可．
【詳解】解：解：如圖，連接BF，
∵△BDE是等邊三角形，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，
∴∠DBF=∠DBE=30°，
又∵∠ABC=30°，
∴∠CBF=60°，
∴即射線BF的位置是固定的，
∴當(dāng)CF⊥BF時(shí)，CF最短，此時(shí)∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°，
∴BF=BC.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=，
∴BF=，
設(shè)BD=2x，則DF=x，
∴，即，解得x=3
∴BD=6
∴的周長(zhǎng)為18．
故填：18．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，說(shuō)明射線BF的位置不會(huì)隨著點(diǎn)D的移動(dòng)而改變，而點(diǎn)C是射線BF外一點(diǎn)，由此可得當(dāng)CF⊥BF時(shí)，CF的長(zhǎng)度最小成為解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共7小題，其中第16題6分，第17題6分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題10分，第22題9分）
16. 按要求計(jì)算
（1）計(jì)算：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】（1）先運(yùn)用乘方、負(fù)整數(shù)次冪、零次冪化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算即可；
（2）先提取公因數(shù)3，然后再運(yùn)用完全平方公式因式分解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：
．
【小問(wèn)2詳解】
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方、負(fù)整數(shù)次冪、零次冪、因式分解等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
17. 解不等式組：，并寫出該不等式組的整數(shù)解．
【答案】不等式的解集為，整數(shù)解為，，，0
【解析】
【分析】先求出兩個(gè)一元一次不等式的解集，然后求出不等式組的解集，最后找出其中的整數(shù)即可
【詳解】解：
解不等式①：，解得，
解不等式②：，得，解得
∴不等式的解集為，
∴不等式組的整數(shù)解為，，，0．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．先分別解兩個(gè)不等式，求出它們的解集，再求兩個(gè)不等式解集的公共部分．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無(wú)解．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
（1）平移，平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)畫出平移后對(duì)應(yīng)的，其中的坐標(biāo)為_(kāi)_____；
（2）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段掃過(guò)的面積為_(kāi)_____．
【答案】（1）見(jiàn)解析，
（2）見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】本題考查了作平移圖形，旋轉(zhuǎn)圖形，求扇形面積，寫出直角坐標(biāo)系坐標(biāo)點(diǎn)．
（1）先作出點(diǎn)A、、平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、，然后順次連接即可，根據(jù)圖形寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先作出點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、，然后順次連接即可，根據(jù)扇形面積公式，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，即為所求，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，即所求．
邊在平移過(guò)程中掃過(guò)的面積為扇形，
此時(shí)，，．
19. 如圖，在中，，過(guò)的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)D，作，垂足為E，交邊于點(diǎn)F．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）若，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，求和的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）12，24
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握相關(guān)定理進(jìn)行推論是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，得，再利用進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)換，得出即可得出結(jié)論；
（2）先證，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)；作于點(diǎn)H，證明，得到，由三線合一定理即可得到．
【小問(wèn)1詳解】
證明：中，，
，
，
，，
，
又，
，
是等腰三角形；
【小問(wèn)2詳解】
解：F為中點(diǎn)，
，
是等腰三角形，
，
，
，
；
如圖所示，作于點(diǎn)H，
在和中
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
20. 某貨運(yùn)電梯限重標(biāo)志顯示，載重總質(zhì)量禁止超過(guò)．現(xiàn)要用此貨運(yùn)電梯裝運(yùn)一批設(shè)備，每套設(shè)備由1個(gè)甲部件和2個(gè)乙部件組成．現(xiàn)已知2個(gè)甲部件和1個(gè)乙部件總質(zhì)量為，3個(gè)甲部件和4個(gè)乙部件質(zhì)量相同．
（1）請(qǐng)分別求出1個(gè)甲部件和1個(gè)乙部件的質(zhì)量各是多少千克？
（2）每次裝運(yùn)都需要工人裝卸，設(shè)備需要成套裝運(yùn)，現(xiàn)已知裝卸工人總重量為，則貨運(yùn)電梯一次最多可裝運(yùn)多少套設(shè)備？
【答案】（1）1個(gè)甲部件的質(zhì)量是，1個(gè)甲部件的質(zhì)量是
（2）貨運(yùn)電梯一次最多可裝運(yùn)7套設(shè)備
【解析】
【分析】（1）本題考查二元一次方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)題意找到等量關(guān)系式列方程組求解即可得到答案；
（2）本題考查不等式的應(yīng)用，根據(jù)載重總質(zhì)量禁止超過(guò)列不等式求解即可得到答案；
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)1個(gè)甲部件的質(zhì)量是，1個(gè)甲部件的質(zhì)量是，
根據(jù)題意得：，解得：．
答：1個(gè)甲部件的質(zhì)量是，1個(gè)甲部件的質(zhì)量是；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)貨運(yùn)電梯一次可裝運(yùn)m套設(shè)備，
根據(jù)題意得：，解得：，
又∵m為正整數(shù)，
∴m的最大值為7．
答：貨運(yùn)電梯一次最多可裝運(yùn)7套設(shè)備．
21. 在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)表達(dá)式——利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)——運(yùn)用函數(shù)解決問(wèn)題”的學(xué)習(xí)過(guò)程．結(jié)合所學(xué)研究函數(shù)的方法，我們研究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用，請(qǐng)根據(jù)下表信息，按要求完成下列各小題．
（1）______，______，______；
（2）請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；
（3）判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的說(shuō)法是否正確（正確的打√，錯(cuò)誤的打×）；
①該函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸為y軸．（______）
②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．（______）
（4）請(qǐng)?jiān)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中再畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出不等式的解集______．
【答案】（1），，
（2）見(jiàn)解析（3）①√；②√
（4）見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次不等式，利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)圖象解題是關(guān)鍵．
（1）把代入，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得，將和分別代入函數(shù)即可求解出；
（2）利用描點(diǎn)法畫出圖象；
（3）觀察圖象即可判斷；
（4）求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象即可求得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
解得，
∴這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是；
∴當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴，，；
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)的圖象如圖所示：
【小問(wèn)3詳解】
①該函數(shù)圖象是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸為y軸．正確；
②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，正確；
故答案為：√；√；
【小問(wèn)4詳解】
在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出直線與函數(shù)的圖象，如圖
把代入，得，
解得，
根據(jù)圖象可知，不等式的解集是．
故答案為：．
22. 閱讀材料，并解決問(wèn)題：
（1）方法指引
如圖①等邊內(nèi)有一點(diǎn)，若點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離分別為，，，求的度數(shù)．
解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)，連接，是______三角形；這樣利用旋轉(zhuǎn)變換，我們將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出______°；
（2）知識(shí)遷移
已知如圖②，中，，，、為上的點(diǎn)且，求證：；
（3）能力提升
如圖③，在中，，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，且，求出的值．
【答案】（1）等邊，
（2）見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答．
（2）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，再利用勾股定理列式即可得證．
（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，連接，根據(jù)直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出，即的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得，等邊三角形三個(gè)角都是，求出，然后求出、、、四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出，從而得到．
【詳解】解：（1）∵，
∴、、，
由題意知旋轉(zhuǎn)角，
∴為等邊三角形，
，，
易證為直角三角形，且，
∴；
故答案為：；
（2）如圖，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即．
（3）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，連接，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
∴如圖所示：
，
∵，，，
∴，
∵繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，
∴，，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴、、、四點(diǎn)共線，
在中，，
∴．原料
甲
乙
維生素
600單位
100單位
原料價(jià)格
8元
4元
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
m
0
2
n
…

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