（滿分100分，時間90分鐘）
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1. 下列式子中，是最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可得出答案．
【詳解】解：. ，故本選項不是最簡二次根式，不符合題意；
B. ，故本選項不是最簡二次根式，不符合題意；
C. 是最簡二次根式，符合題意；
D. ，故本選項不是最簡二次根式，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵．
2. 在下列以線段a，b，c的長為三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查勾股定理的逆定理及三角形內(nèi)角和定理，正確區(qū)分邊長的大小，熟記勾股定理的逆定理的計算公式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)勾股定理的逆定理即三角形內(nèi)角和定理解答，驗證較小的兩邊平方和是否等于最大邊的平方即可．
【詳解】A、∵，
∴該三角形是直角三角形，不符合題意；
B、設，
∵，
∴，
∴，
∴該三角形是直角三角形，不符合題意；
C、∵，
∴該三角形是直角三角形，不符合題意；
D、∵，
∴，
∴該三角形不是直角三角形，符合題意；
故選：D．
3. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的四則運算，熟知二次根式的四則運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算正確，符合題意；
故選：D．
4. 已知，則的值為（ ）
A. B. －C. D. －
【答案】C
【解析】
【分析】由題意根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出x、y的值，進行計算即可．
【詳解】解：由題意得，4-x≥0，x-4≥0，
解得x=4，則y=3，
則=．
故選：C．
【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．
5. 依據(jù)所標數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)定理判斷即可；
【詳解】解：平行四邊形對角相等，故A錯誤；
一組對邊平行不能判斷四邊形是平行四邊形，故B錯誤；
三邊相等不能判斷四邊形是平行四邊形，故C錯誤；
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D正確；
故選：D．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，點F是線段DE上的一點連接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，則EF的長是 （ ）

A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=4，根據(jù)BC= 14，由三角形中位線定理得到DE=7，解答即可．
【詳解】解：∵∠AFB=90°，點D是AB的中點，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分別是AB，AC的中點，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故選：B
【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和中位線性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，所有陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A， B， C的面積依次為2， 4， 3， 則正方形D的面積為（ ）
A. 9B. 27C. 29D. 45
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出方程，題目比較典型，難度適中．
設正方形D的面積為x，根據(jù)圖形得出方程，求出即可．
【詳解】解：設正方形D的面積為x，
∵正方形A、B、C的面積依次為2、4、3，
∴根據(jù)圖形得：，
解得：，
故選：A．
8. 如圖，菱形ABCD的周長為24，∠ABD＝30°，Q是BC的中點，則PC+ PQ的最小值是（ ）
A. 6B. 3C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】連接AQ， AC，AP，由菱形的對稱軸可知， ，從而當點 、 、 三點共線時，PC+ PQ最小，根據(jù)題意可得△ABC是等邊三角形，然后在Rt△ABQ中，由勾股定理，求出 即可．
【詳解】解：如圖，連接AQ， AC，AP，
由菱形的對稱軸可知， ，
∴，
即當點 、 、 三點共線時，PC+ PQ最小，
∵∠ABD＝30°，四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∵點Q為BC的中點，
∴AQ⊥BC，
∵菱形ABCD的周長為24，
∴AB＝BC＝6，
∵Q是BC的中點，
∴ ，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：
，
即PC+ PQ的最小值是 ．
故選：B
【點睛】本題主要考查了軸對稱——最短路線問題，菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，當點 、 、 三點共線時，PC+ PQ最小是解題的關(guān)鍵．
9. 在如圖的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三點均在正方形格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B.
C. D. 點到直線的距離是2
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積公式，根據(jù)勾股定理求得進而根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，故A,B選項正確；
∴，故C選項錯誤；
設點到直線的距離是，則，
∴，故D選項正確
故選：C．
10. 如圖，已知正方形的邊長為12，，將正方形的邊沿折疊到，延長交于，連接．現(xiàn)有如下3個結(jié)論：；；五邊形的周長是44，其中正確的個數(shù)為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，，于是根據(jù)“”判定，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到；再由勾股定理求出相應線段的長可得五邊形的周長．
【詳解】解：由折疊可知：，，，
，
在和中，
，
，
，
，故正確；
，
，
由折疊可得，，
，故正確；
正方形邊長是12，
，
設，則，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，
五邊形的周長是：，故正確；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．
二、填空題（本大題共12小題，每小題2分，共24分）
11. 函數(shù)中，自變量x的取值范圍是__________．
【答案】x≥-2且x≠1
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件即可求出結(jié)論．
【詳解】解：由題意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案為：x≥-2且x≠1．
【點睛】此題考查的是求自變量的取值范圍，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解決此題的關(guān)鍵．
12. 已知在平行四邊形ABCD中，∠A比∠B小40°，那么∠C=________．
【答案】##70度
【解析】
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可求解
【詳解】 在平行四邊形ABCD中，∠A比∠B小40°


又

故答案為：
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，牢記并靈活運用是解本題關(guān)鍵.
13. 如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A、B，道路因為施工需要封閉，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點H（A，H，B在同一條直線上），并新修一條道路，已知千米，千米，千米，新的取水點H與原取水點A相距1.5千米，請問新修道路是不是村莊C到河邊最近的路？______（填是或不是）；走新修路比走原路少走_______千米？
【答案】 ①. 是 ②. 0.5##
【解析】
【分析】此題考查了勾股定理和勾股定理逆定理的應用，
首先根據(jù)勾股定理的逆定理得到，進而得到新修道路是村莊C到河邊最近的路；然后勾股定理求出，進而求解即可．
【詳解】∵千米，千米，千米
∴
∴
∴新修道路是村莊C到河邊最近的路；
∵千米
∴
∴千米
∴走新修路比走原路少走0.5千米．
故答案為：是；0.5．
14. 如圖，在矩形中，邊的長為3，的長為2，在數(shù)軸上，以點A為圓心，的長為半徑畫弧，與數(shù)軸相交，則交點表示的實數(shù)是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，熟知實數(shù)與數(shù)軸上各點是一一對應關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
設原點為O，連接，以點A為圓心，為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，，根據(jù)勾股定理求出，進而求解即可．
【詳解】如圖所示，設原點為O，連接，以點A為圓心，為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，
∵，，
∴
∴
∴，
∴點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為．
∴交點表示的實數(shù)是或．
故答案為：或．
15. 已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為________

【答案】0
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)軸所示，a＜0，b＞0， b-a＞0，依據(jù)開方運算的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：由圖可知：a＜0，b＞0， b-a＞0，
∴．
故填：0．
【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)和化簡，實數(shù)與數(shù)軸，絕對值的意義，解題的關(guān)鍵在于求出b-a＞0，從而得出|b-a|=b-a．
16. 如圖，點E、F、G、H分別是四邊形邊、、、的中點，則下列命題中：①若，則四邊形為矩形；②若，則四邊形為菱形；③若四邊形是平行四邊形，則與互相平分；④若四邊形是正方形，則與互相垂直且相等．其中是真命題的序號是________．
【答案】④
【解析】
【分析】本題考查中點四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的判定等知識，
先證明一般四邊形的中點四邊形是平行四邊形，當對角線時，中點四邊形是菱形，當對角線時，中點四邊形是矩形，當對角線，且時，中點四邊形是正方形，再逐一分析各選項即可．
【詳解】解：∵點 E、F、G、H分別是四邊形邊邊、、、的中點，
∴，，，，，，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
①當時，則， 則四邊形為菱形，①說法錯誤；
②當時，則， 則四邊形為矩形，②說法錯誤；
③四邊形一定是平行四邊形，與不一定互相平分，③說法錯誤；
④當四邊形是正方形時，與互相垂直且相等，④說法正確；
故答案為：④．
17. 如圖，四邊形是菱形，，于點，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，先求出的長度，在中根據(jù)面積相等方法即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的對角線相互垂直且相互平分，直角三角形的勾股定理，等面積法求邊長或高是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，將邊長為的正方形放在平面直角坐標系中，O是原點，點A的橫坐標為1，則點C的坐標為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等得出對應邊相等是解決問題的關(guān)鍵．
作軸于，作軸于，則，得出，由正方形的性質(zhì)得出，，證出，由證明，，，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：作軸于，作軸于，如圖所示：
則，
，
四邊形正方形
∴，
∵，
∴，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
點的坐標為．
故答案為：．
19. 正方形和正方形中，點D在上，，H是的中點，那么的長是 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)求出，，再求出，然后利用勾股定理列式求出，由直角三角形的性質(zhì)可求解．解題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．
【詳解】解：如圖，連接，
∵正方形和正方形中，，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，，
∵H是的中點，
∴，
故答案為：．
20. 如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為、的交點，則的最小值為_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)矩形的判定得出是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，互相平分，且，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出時，的值最小，即的值最小，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．
【詳解】解，，，
，
于，于，
四邊形是矩形，
，互相平分．且，
，的交點就是點．
當?shù)闹底钚r，的值就最小，
當時，的值最小，即的值最?。?br>，
，
，，，
，
，
；
，
最小為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質(zhì)的運用，解答時求出的最小值是關(guān)鍵．
21. 如圖，菱形中，點E，F(xiàn)分別是，上的動點，，，與相交于點G，則下列結(jié)論：①；②是等邊三角形；③．其中結(jié)論正確的有_______個．
【答案】①②③
【解析】
【分析】本題主要考查運用菱形的性質(zhì)求解，主要的知識點有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是對幾何圖形的性質(zhì)能夠靈活應用．
①首先證為等邊三角形，得，，結(jié)合已知條件可證；②得，，得，進而可得結(jié)論；③證明則可得結(jié)論．
【詳解】解：在四邊形菱形中，
∵，
∴，，
∴，，
∴為等邊三角形，
∴，
又，
∴，故①正確；
∴，
∴，
∴為等邊三角形，故②正確；
∵，，
又∵，
∴，
由①得，，
∴，故③正確．
故答案為：①②③．
22. 在平面直角坐標系中，對于線段和點P作出如下定義：若點M，N分別是線段，的中點，連接，我們稱線段的中點Q是點P關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)點”．
已知點，點P關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)點”是點Q．
①若點P的坐標是，則點Q的坐標是______；
②若點E的坐標是，點F的坐標是．點P是線段上任意一點，求線段長的取值范圍______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本題主要考查了坐標與圖形，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理等，理解新定義是解題的關(guān)鍵．
①設點O和點M分別是，的中點，根據(jù)定義求出，再由點Q是的中點即可得到答案；
②設點O和點M分別是，的中點，，同理可得，由勾股定理得到，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：①設點O和點M分別是，的中點，
∵，點P的坐標是，
∴，
∵點Q是的中點，
∴點Q的坐標為，即，
故答案為：；
②設點O和點M分別是，的中點，，
∴，
∵點Q是的中點，
∴點Q的坐標為，即，
∴
，
∵，
∴，
∴當s增大時，的值也增大，則的值也增大，
當時，，即；
當時，，即；
∴；
故答案為：；．
三、解答題（本大題6題共46分，23題至24題，每小題5分；25題至27題， 每小題6分；28題8分）
23. 計算：
（1）；
（2）；
（3）已知：，，求．
【答案】（1）
（2）
（3）10
【解析】
【分析】（1）先化簡，然后合并同類項即可；
（2）先化簡，然后合并同類項即可；
（3）先求出，，再代入代數(shù)式即可求解．
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】
；
【小問3詳解】
∵，，
∴，
∴
．
【點睛】本題考查二次根式的混合運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，完全平方公式，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式混合運算的運算法則和運算順序，注意平方差公式和完全平方公式的應用．
24. 如圖，在中，平分，交于點E，交的延長線于點F．
（1）求證：；
（2）若，，，求的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，得到得證，結(jié)合平分，得繼而得到即得．
（2）根據(jù)，，得，過點D作，交的延長線與點H，結(jié)合，得到，結(jié)合，根據(jù)勾股定理確定，根據(jù)計算即可．
【小問1詳解】
∵，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【小問2詳解】
∵，，
∴，
過點D作，交的延長線與點H，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
25. 在中，，是中點，過點作，使．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）取中點，作，交于點，若，，求的長．
【答案】（1）見詳解 （2）3
【解析】
【分析】（1）先由已知條件證得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證得，即可得到四邊形是矩形；
（2）連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，設，則，在中，根據(jù)勾股定理求出，即可得到．
【小問1詳解】
證明：，，
四邊形平行四邊形，
，是中點，
，
，
四邊形是矩形；
【小問2詳解】
解：連接，
是的中點，，
，
四邊形是矩形，，，
，，
設，則，
四邊形是矩形，
，
在中，
，
，
，
即．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造出是解決問題的關(guān)鍵．
26. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，BC的中點，，．
（1）求證：四邊形BDEF菱形；
（2）連接DF交BC于點M，連接CD，若BE＝4，，求DM，CD的長．
【答案】（1）見解析 （2）DM=1，CD=
【解析】
【分析】（1）先證明四邊形BDEF是平行四邊形，再由等腰三角形的中位線的性質(zhì)得到BD=AB，DE=AC，推出BD=DE，由此得到結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得到DF⊥BE，BM=EM=BE=2，根據(jù)三角形中位線得到CE=BE=4，DE=AC=，即可利用勾股定理求出DM，CD．
【小問1詳解】
證明：∵，．
∴四邊形BDEF是平行四邊形，
∵AB＝AC，
∴∠ABC=∠C，
∵D，E分別是AB，BC的中點，
∴DE是△ABC的中位線，BD=AB，
∴DE=AC，
∴BD=DE，
∴四邊形BDEF是菱形；
【小問2詳解】
連接DF交BE于M
∵四邊形BDEF是菱形，
∴DF⊥BE，BM=EM=BE=2，
∴∠DME=90°，
∵DE是△ABC的中位線，
∴CE=BE=4，DE=AC=，
在Rt△DEM中，DM=，
在Rt△CDM中，CM=EM+CE=2+4=6，
∴CD=．
【點睛】此題考查了菱形的判定定理及性質(zhì)定理，勾股定理，三角形中位線的判定及性質(zhì)定理，正確掌握各知識點并應用是解題的關(guān)鍵．
27. 閱讀材料：
材料一：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方式及二次根式的性質(zhì)化去一層（或多層）根號，如：．
材料二：配方法是初中數(shù)學思想方法中的一種重要的解題方法，配方法的最終目的就是配成完全平方式，利用完全平方式來解決問題，它的應用非常廣泛，在解方程、化簡根式、因式分解等方面都經(jīng)常用到．
如：，
，
，即．
的最小值為1．
閱讀上述材料解決下面問題：
（1）_______，______；
（2）求的最值；
（3）比較和的大小，并說明理由．
【答案】（1）；
（2）的最小值為
（3）
【解析】
【分析】此題主要考查二次根式的應用，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式及配方法的應用．
（1）利用完全平方公式及二次根式的性質(zhì)即可求解；
（2）利用完全平方公式配方即可求解；
（3）首先計算和，然后比較即可．
【小問1詳解】
（1），
；
故答案為：；；
【小問2詳解】
∵
∴的最小值為；
【小問3詳解】
∵
∴．
28. 已知正方形中，直線是正方形外側(cè)過點A的直線，，點B關(guān)于直線的對稱點為E，連接，，交直線于點F．
（1）直接寫出度數(shù)為 ；
（2）如圖1，當時，請用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖2，當時，請直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
（4）如圖3，若將主題干中的正方形中改成菱形中，，其他條件不變，當時，請直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
【答案】（1）
（2），理由見解析
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）連接，證出，求出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案；
（2）在上截取，連接，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）在上截取，連接，，同理可證，由（1）可知，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（4）在上截取，連接，，同（2）可證，過點A作于H，由等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案．
【小問1詳解】
解：連接，
∵點E與點B關(guān)于直線對稱，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，．
∴，．
∴，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：．
證明：在上截取，連接，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
根據(jù)勾股定理可得：，
∴；
【小問3詳解】
解：在上截取，連接，，
同理可證，
由（1）可知，
∴為等腰直角三角形，則，
∴根據(jù)勾股定理可得：，
∴；
故答案為：；
【小問4詳解】
解：在上截取，連接，，
同（2）可證，
∴，，
∴，
過點A作于H，
∴，
根據(jù)勾股定理定理可得：，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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