1．本試卷共4頁，共三道大題，28道小題．滿分100分．考試時間120分鐘．
2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、班級、姓名和準(zhǔn)考證號．
3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．
4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．
一、選擇題（每小題2分，共16分）
第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．
1. 下列各式中，最簡二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了最簡二次根式的定義，掌握最簡二次根式需同時滿足兩個條件“一是被開方數(shù)中不含能開的盡方的因數(shù)或因式，二是被開方數(shù)中不含分母成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)最簡二次根式的條件逐項判斷即得可解答．
【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B、是最簡二次根式，故本選項符合題意；
C、不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D、不是最簡二次根式，故本選項不符合題意．
故選：B．
2. 等于（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，掌握是解題的關(guān)鍵.
根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得，再化簡絕對值即可解答.
【詳解】解：∵，，
∴，即.
故選：D.
3. 下列各式中，從左向右變形正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減法、算術(shù)平方根的性質(zhì)．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減法逐項判斷即可解答．
【詳解】解：A、變形正確，故A選項符合題意；
B、，故B說法錯誤，不符合題意；
C、 ，故C說法錯誤，不符合題意；
D、，故D說法錯誤，不符合題意．
故選A．
4. 下列各組數(shù)據(jù)中能作為直角三角形的三邊長的是（ ）
A. 1，3，3B. 1，，C. 4，5，7D. 2，，5
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了勾股逆定理的應(yīng)用，最大邊的平方等于兩個較小的邊的平方之和，即為直角三角形，據(jù)此進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：A、，不能作為直角三角形的三邊長，故該選項是錯誤的；
B、，能作為直角三角形的三邊長，故該選項是正確的；
C、，不能作為直角三角形的三邊長，故該選項是錯誤的；
D、2，，5，不能作為三角形的三邊長，故該選項是錯誤的；
故選：B．
5. 如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交CD邊于E，AD=3，EC=2，則AB的長為（ ）
A. 5B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】首先證明，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故選：A．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題．
6. 為迎接2024年5月28日北京大興西瓜節(jié)，某西瓜交易市場準(zhǔn)備在空地處建造一個菱形花壇，若菱形花壇的兩條對角線的長分別為6米和10米，則菱形花壇的面積（單位：平方米）為（ ）
A. 15B. 24C. 30D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形性質(zhì)，掌握菱形的面積等于對角線積的一半是解題的關(guān)鍵．
由菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可．
【詳解】解：菱形的面積，
故選：C．
7. 如圖，矩形紙片中，，，折疊紙片使邊落在對角線上，點落在點處，折痕為，則的長為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】利用勾股定理求出，由翻折得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理得出方程．本題主要考查了翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及勾股定理等知識，運用方程思想是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：
，
折疊紙片使邊落在對角線上，
，，
，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得：
，
解得，
，
故選：A．
8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點，的坐標(biāo)分別是，，點在軸上，則點的橫坐標(biāo)是（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別過點A、C作AE⊥x軸，CD⊥x軸于點E，D，證明得BE=OD，從而可得OB，即可解答此題．
【詳解】解：分別過點A、C作AE⊥x軸，CD⊥x軸于點E，D，如圖，
∴
∵點A的坐標(biāo)是（4，-2），點C的坐標(biāo)是（1，2）
∴OD=1，OE=4
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CO，AB//CO
∴
在和中

∴≌
∴
∴
∴點的橫坐標(biāo)是5
故選：C．
【點睛】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題2分，共16分）
9. 式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則 x 的取值范圍是_______ ．
【答案】x≥3
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意義的條件得到關(guān)于x的不等式，解不等式即可得答案.
【詳解】由題意可得：x—3≥0，
解得：x≥3，
故答案為：x≥3
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.
10. 計算：＝_______．
【答案】3
【解析】
【詳解】分析：．
11. 化簡：＝___．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行分母有理化即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】本題考查二次根式化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，確定分母的有理化因式是解題的關(guān)鍵．
12. 已知是正整數(shù)，且也是正整數(shù)，寫出一個滿足條件的的值，這個的值為______．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】先根據(jù)被開方數(shù)不小于零的條件求出n的取值范圍，再根據(jù)題意求取n的值即可．本題考查二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)不小于零的條件是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題可知，
，
則．
要使也是一個正整數(shù)，
則n可取3．
故答案：3（答案不唯一）．
13. 如圖，A，兩點被池塘隔開，在外選一點，連接和，分別取，的中點，，測得，兩點間的距離為，則A，兩點間的距離為______m．
【答案】40
【解析】
【分析】本題主要考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
先判斷出是的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得即可解答．
【詳解】解：∵點D，E分別是和的中點，
∴是的中位線，
∴．
故答案為：40．
14. 如圖，已知菱形ABCD的一個內(nèi)角∠BAD=80°，對角線AC，BD相交于點O，點E在AB上，且BE=BO，則∠EOA=___________°.
【答案】25
【解析】
【分析】根據(jù)∠BAD和菱形鄰角和為180°的性質(zhì)可以求∠ABC的值，根據(jù)菱形對角線即角平分線的性質(zhì)可以求得∠ABO的值，又由BE=BO可得∠BEO=∠BOE，根據(jù)∠BOE和菱形對角線互相垂直的性質(zhì)可以求得∠EOA的大?。?br>【詳解】解：∵∠BAD=80°，菱形鄰角和為180°
∴∠ABC=100°，
∵菱形對角線即角平分線
∴∠ABO=50°，
∵BE=BO
∴∠BEO=∠BOE==65°，
∵菱形對角線互相垂直
∴∠AOB=90°，
∴∠AOE=90°-65°=25°，
故答案為 25．
【點睛】本題考查了菱形對角線互相垂直平分且平分一組對角的性質(zhì)，考查了等腰三角形底角相等的性質(zhì)，本題中正確的計算∠BEO=∠BOE=65°是解題的關(guān)鍵．
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，請確定點C的坐標(biāo)，使得以A，B，C，O為頂點的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的所有點C的坐標(biāo)是______．
【答案】或或
【解析】
【分析】分兩種情況：①當(dāng)為平行四邊形的邊時，②當(dāng)為平行四邊形的對角線時，討論可得點C的坐標(biāo)．
【詳解】解：①當(dāng)為平行四邊形的邊時，，
∵，，，
∴點C坐標(biāo)為或；
②當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，
故答案為：或或．
【點睛】此題考查了平行四邊形性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是要注意分兩種情況進(jìn)行求解．
16. “趙爽弦圖”通過對圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，它表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智．如圖所示的“趙爽弦圖”是由4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是29，小正方形的面積是9；設(shè)直角三角形較長直角邊的長為，較短直角邊的長為，則的值是______．
【答案】7
【解析】
【分析】本題主要考查勾股定理、完全平方公式等知識點，熟練運用勾股定理以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
由題意可知，中間小正方形的邊長為，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)可知大正方形的面積為，然后求得，最后求其算術(shù)平方根即可．
【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為，
∴，即①，
根據(jù)勾股定理可知：大正方形的面積為②，
由①②可得，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：7．
三、解答題（本題共68分，第17-23題，每小題5分，第24-25題，每小題6分，第26-28題，每小題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
17. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查二次根式的加減運算，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)，，二次根式的加減運算求解即可．
【詳解】
．
18. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，掌握相關(guān)運算法則成為解題的關(guān)鍵．
先運用二次根式除法法則計算，然后運用二次根式的性質(zhì)化簡，最后合并同類二次根式即可解答．
【詳解】解：
．
19. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二次根式乘法法則運算，再進(jìn)行二次根式的化簡最后合并即可得解．
【詳解】解：原式=，
=，
=
【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，在二次根式的混合運算中，如能夠結(jié)合題目的特征，靈活運用二次根式性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
20. 已知直角三角形的一條直角邊的長是，斜邊的長是，求另一條直角邊的長．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵直角三角形的一條直角邊的長是，斜邊的長是，
∴另一條直角邊的長為．
21. 已知：，．
求作：矩形．作法：如圖，
①作線段的中點；
②連接并延長，在延長線上截取；
③連接，．
四邊形即為所求作的矩形．

完成下面的證明．
證明： ，，
四邊形是平行四邊形（ ）（填推理的依據(jù)）．
，
四邊形是矩形（ ）（填推理的依據(jù)）．
【答案】；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定、矩形的判定填空即可．本題考查平行四邊形的判定、矩形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定、矩形的判定是解答本題的關(guān)鍵．
【詳解】證明：，，
四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．
，
四邊形是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．
故答案為：；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
22. 在ABCD中，DE ⊥AB，BF ⊥CD，垂足分別是E、F．求證：AE=CF.
【答案】詳見解析.
【解析】
【分析】由DE與AB垂直，BF與CD垂直，得到一對直角相等，再由ABCD為平行四邊形得到AD=BC，對角相等，利用AAS即可得到全等三角形，再得出結(jié)論；
【詳解】證明：∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF(AAS)；
∴AE=CF
【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
23. 如圖，在中，，點為邊中點，，求的長度．

【答案】4
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半成為解題的關(guān)鍵．
由平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．
【詳解】解：∵在中，，
∴，
∵，點為邊中點，
∴．
24. 如圖，在中，，延長到點，使，連接．求證：四邊形是菱形．
【答案】證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，再證明結(jié)合即可證明四邊形是菱形．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，即，
∵，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是菱形．
25. 已知：如圖，在中，，的角平分線交邊于點，且，．求證：是等腰三角形．

【答案】見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識點，證得成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)勾股定理逆定理可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后結(jié)合公共邊可證，進(jìn)而得到即可證明結(jié)論．
【詳解】證明：∵，，，
∴,
∴，
∵的角平分線交邊于點，
∴，
∵,
∴，
∴,即是等腰三角形．
26. 閱讀材料，解答下列問題：
材料：已知，求的值．
小云同學(xué)是這樣解答的：
，．
問題：已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）1 （2）2
【解析】
【分析】（1）利用例題的解題思路進(jìn)行計算，即可解答；
（2）設(shè)，，然后利用（1）的結(jié)論可得：，從而進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了二次根式的化簡求值，加減消元法，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：
，
，
；
【小問2詳解】
解：設(shè)，，
由（1）得：，
解得：，
．
27. 已知：如圖，正方形的邊上有一動點（與點，不重合），連接，延長至點，使得，過點作于點，交正方形的對角線于點．若．

（1）求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；
（2）用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1）
（2）,證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)判定和性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵．
（1）由直角三角形性質(zhì)兩銳角互余可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，則，然后代入即可解答；
（2）先說明，再證，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得出，由題意可得為等腰直角三角形，然后用表示出與，然后化簡即可解答．
【小問1詳解】
解：.理由如下：
∵，
∴，
∵正方形的對角線，
∴，即：，
∴．
【小問2詳解】
解：線段與之間的數(shù)量關(guān)系：，證明如下：
如圖：連接，過點M作，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，即．
28. 我們知道：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．類似地，我們定義：至少有一組對角是直角的四邊形叫做對角直角四邊形．
（1）下列圖形：①有一個內(nèi)角為的平行四邊形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中對角直角四邊形是 （只填序號）；
（2）如圖，菱形的對角線，相交于點，在菱形的外部以為斜邊作等腰直角，連接．
①求證：四邊形是對角直角四邊形；
②若點到的距離是2，求四邊形的面積．
【答案】（1）② （2）①見解析；②4．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對角直角四邊形的定義逐個判斷即可；
（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，即，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，然后根據(jù)對角直角四邊形的定義即可證明結(jié)論；②如圖：過N作于H，于G，證明四邊形是矩形可得，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形是正方形，最后四邊形的面積=正方形的面積．
【小問1詳解】
解：①有一個內(nèi)角為45°的平行四邊形，沒有的內(nèi)角，不是對角直角四邊形；②矩形的對角為，是對角直角四邊形；③菱形的對角不一定為，不是對角直角四邊形；④直角梯形，的鄰角為，但對角不一定為，不是對角直角四邊形．
故答案：②．
【小問2詳解】
①證明:∵.四邊形是菱形，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四邊形是對角直角四邊形；
②如圖：過N作于H，于G，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴四邊形正方形，
∴四邊形的面積=正方形的面積.
【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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