北京市第十九中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 下列各式中是最簡二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了最簡二次根式及分母有理化，根據(jù)最簡二次根式的條件及分母有理化逐一判斷即可求解，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、是最簡二次根式，故符合題意；
B、，則不是最簡二次根式，故不符合題意；
C、，則不是最簡二次根式，故不符合題意；
D、，則不是最簡二次根式，故不符合題意；
故選A．
2. 以下列各組數(shù)為三角形的三邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）
A. 2，3，4B. 6，8，9C. 1，2，D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．
【詳解】A、∵，∴，
∴不能構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；
B、∵，∴，
∴不能構(gòu)成直角三角形，故B不符合題意；
C、∵，
∴不能構(gòu)成直角三角形，故C不符合題意；
D、∵，∴，
∴能構(gòu)成直角三角形，故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
3. 在一次學(xué)校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的20名運(yùn)動(dòng)員的成績?nèi)绫硭荆?br>這些運(yùn)動(dòng)員成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）
A. 1.70和1.80B. 1.65和1.75C. 1.675和1.75D. 1.70和1.75
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了中位數(shù)，眾數(shù)，理解概念是解題關(guān)鍵．
根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念進(jìn)行求解．
【詳解】解：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：1.55，1.60，1.60，1.60，1.60，1.65，1.65，1.65， 1.70，1.70，1.70，1.70，1.75，1.75，1.75，1.75，1.75，1.75，1.80，1.80．
∴第10個(gè)數(shù)為1.70，第11個(gè)數(shù)為1.70，
∴中位數(shù)為，
∵1.75出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴眾數(shù)為1.75．
故選：D．
4. 矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）
A. 對(duì)邊相等B. 對(duì)角線互相平分
C. 對(duì)角線相等D. 對(duì)角線互相垂直
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，以及有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形來進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．
【詳解】解：A、對(duì)邊相等是矩形和平行四邊形都有的性質(zhì)，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
B、對(duì)角線互相平分是矩形和平行四邊形都有的性質(zhì)，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
C、對(duì)角線相等是矩形有的性質(zhì)，而平行四邊形沒有，故該選項(xiàng)是正確的；
D、對(duì)角線互相垂直不是矩形和平行四邊形有的性質(zhì)，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；
故選：C ．
5. 如圖，在中，，于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)，掌握平行四邊形對(duì)角相等是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：在中，
，
，
，
故選B．
6. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB邊的中點(diǎn)，則CD的長為（）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，
∴AB=，
∵D是AB邊的中點(diǎn)，
∴CD=，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
7. 如圖，在矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，若，，則的長為（）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由矩形的性質(zhì)得到，，，再證明是等邊三角形，得到，據(jù)此利用勾股定理即可求出答案．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，
∴，，，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，由勾股定理得，
故選：C．
8. 在如圖的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三點(diǎn)均在正方形格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A. B.
C. D. 點(diǎn)到直線的距離是2
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積公式，根據(jù)勾股定理求得進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，故A,B選項(xiàng)正確；
∴，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
設(shè)點(diǎn)到直線的距離是，則，
∴，故D選項(xiàng)正確
故選：C．
9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），頂點(diǎn)B，C在第一象限，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）
A. （2，3）B. （，3）C. （，2）D. （，3）
【答案】D
【解析】
【分析】延長BC交x軸于D，由點(diǎn)A坐標(biāo)求OA=2，由四邊形OABC是菱形，可得AO=OC=BC=2，在Rt△OCD中，由勾股定理OD=即可．
【詳解】解：延長BC交x軸于D，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），
∴OA=2，
∵四邊形OABC菱形，
∴AO=OC=BC=2，
∵BC∥y軸，
∴BD⊥x軸，
在Rt△OCD中，
∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1，
∴CD=1，
∴OD=，
∵BD=BC+CD=2+1=3，
∴點(diǎn)B（，3）．
故選擇D．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)，菱形性質(zhì)，勾股定理，掌握點(diǎn)的坐標(biāo)求法，菱形性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．
10. 如圖，矩形中，O為中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與、交于點(diǎn)E、F，連結(jié)交于點(diǎn)M，連結(jié)、．若，，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
①；②四邊形是菱形；③；④
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，先證明，再證明是等邊三角形，即可判斷①選項(xiàng)；由和是等邊三角形，可得，即可判斷②選項(xiàng)；由含角的直角三角形的性質(zhì)即可判斷③選項(xiàng)；先證明，可知，設(shè)，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)，，可得，進(jìn)一步即可判斷④選項(xiàng)．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵O為的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
在和中，
，
，
，，
在等邊中，，
，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
平分，
，，
垂直平分，
如圖，連接，
在矩形中，為的中點(diǎn)，
，，三點(diǎn)在同一直線上，
在線段的垂直平分線上，
，
，
是等邊三角形，
，
故①符合題意；
由①得和是等邊三角形，
，
四邊形是菱形；
故②符合題意；
是等邊三角形，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
；
故③不符合題意；
在和中，
，
，
，
垂直平分，
，
設(shè)，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
故④不符合題意，
綜上所述，正確的結(jié)論有①②，
故選：B
二、填空題（本題共24分，每小題3分）
11. 若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得，
，
故答案為：．
12. 已知正方形的邊長為2，則正方形的對(duì)角線長為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)與勾股定理，熟練掌握運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵正方形的邊長為2，
∴對(duì)角線長為．
故答案為：．
13. 在湖的兩側(cè)有A，B兩個(gè)觀湖亭，為測定它們之間的距離，小明在岸上任選一點(diǎn)C，并量取了AC中點(diǎn)D和BC中點(diǎn)E之間的距離為50米，則A，B之間的距離應(yīng)為______米．
【答案】100
【解析】
【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)定理，解答即可．
【詳解】∵點(diǎn)D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，
∴AB=2DE=100（米），
故答案為：100．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊長的一半，是解題的關(guān)鍵．
14. 在四邊形中，，補(bǔ)充一個(gè)條件______，則四邊形是平行四邊形．
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法，結(jié)合已知條件即可解答.
【詳解】解：∵，
∴當(dāng)，（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．）
或（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．）時(shí)，四邊形是平行四邊形．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，平行四邊形的五種判定方法分別是：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
15. 如圖，已知菱形的對(duì)角線，的長分別為24，10，則長為_______．
【答案】13
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，由菱形的性質(zhì)得出、的長，再在中利用勾股定理求出，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴在中，由勾股定理得：
，
故答案為：．
16. 如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，平分交于點(diǎn)F．若，，則的長為________．

【答案】5
【解析】
【分析】由勾股定理可求，由，平分，可得，則，然后作答即可．
【詳解】解：∵矩形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∵平分，
∴，
∴，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線，等角對(duì)等邊．熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線，等角對(duì)等邊是解題的關(guān)鍵．
17. 如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．點(diǎn)E為邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△AD'E與△ADE關(guān)于直線AE對(duì)稱，當(dāng)△CD'E為直角三角形時(shí)，DE的長為__．
【答案】3或6
【解析】
【分析】分兩種情況分別求解，（1）當(dāng)∠CED′＝90°時(shí)，如圖（1），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；
（2）當(dāng)∠ED′A＝90°時(shí)，如圖（2），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得AC＝10，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，根據(jù)勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相關(guān)的值，計(jì)算即可．
【詳解】解：當(dāng)∠CED′＝90°時(shí)，如圖（1），
∵∠CED′＝90°，
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝6；
（2）當(dāng)∠ED′A＝90°時(shí)，如圖（2），
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E為直角三角形，
即∠CD′E＝90°，
∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，
∴A、D′、C在同一直線上，
根據(jù)勾股定理得，
∴CD′＝10?6＝4，
設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，
在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，
即x2＋16＝(8?x)2，
解得x＝3，
即DE＝3；
綜上所述：DE的長為3或6；
故答案為：3或6．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，分情況討論，作出圖形是解題關(guān)鍵．
18. 如圖，線段，點(diǎn)M為線段延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，則線段的最小值為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，確定取最小值時(shí)的情況．
在線段延長線上截取，則，當(dāng)最小時(shí)，也最小，通過證明得出即點(diǎn)N的在與線段夾角為的直線上，則當(dāng)時(shí)，取最小值，根據(jù)勾股定理得：，求出，即可解答．
【詳解】解：在線段延長線上截取，
∵，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，
∴，則當(dāng)最小時(shí)，也最小，
∵，，
∴，
即點(diǎn)N的在與線段夾角為的直線上，
∴當(dāng)時(shí)，取最小值，
∵，，
∴，
∴，
∵，
根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
故答案為：．
三、解答題（本題共46分，19題8分，20題4分，21-24每題5分，25題7分，26題7分）
19. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
（1）先化簡二次根式，再根據(jù)二次根式加減混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）先計(jì)算二次根式的乘除法、化簡二次根式，再計(jì)算二次根式的加減法即可解題．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
解：原式
．
20. 若，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再將，代入求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
21. 已知：為銳角三角形，．
求作：菱形．
作法：如圖，
①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；
②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)E，作射線與交于點(diǎn)O；
③以點(diǎn)O為圓心，以長為半徑作弧，與射線交于點(diǎn)D，連接，；
四邊形就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）：
（2）完成下面的證明：
證明：∵平分，
∴__________．
∵，
∴四邊形是平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）．
∵，
∴四邊形是菱形（）（填推理的依據(jù)）．
【答案】（1）圖見解析
（2）OB，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給幾何語言畫出對(duì)應(yīng)的圖形即可；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CO=OB，再根據(jù)平行四邊形和菱形的判定解答即可.
【小問1詳解】
解：如圖，菱形ABDC即為所求作；
【小問2詳解】
證明：∵，平分，
∴．
∵，
∴四邊形是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．
∵，
∴四邊形是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
故答案為：OB，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
【點(diǎn)睛】本題考查基本尺規(guī)作圖-作角平分線、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定，熟練掌握基本尺規(guī)作圖的方法步驟，熟知平行四邊形的判定和菱形的判定是解答的關(guān)鍵.
22. 如圖，點(diǎn)E、F在的對(duì)角線上，且．求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)．
根據(jù)題意得到，然后證明出，進(jìn)而得到．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，．
∴．
在和中，
．
∴．
∴．
23. 如圖，是的對(duì)角線，，延長至點(diǎn)C，使，連接交于點(diǎn)O，連接．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）連接，若，，求的長．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，然后證明出四邊形是平行四邊形，然后由即可證明出四邊形是矩形；
（2）過O作于F，首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形；
【小問2詳解】
過O作于F，
∵四邊形是矩形，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形中位線的性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
24. 如圖，在中，，DE平分∠BDC交BC于點(diǎn)O，交AB的延長線于點(diǎn)E，連接CE．
（1）求證：四邊形BECD是菱形；
（2）如果，，求四邊形BECD的面積．
【答案】（1）見解析（2）24
【解析】
【分析】（1）利用平行線和角平分線的性質(zhì)證明，推出，結(jié)合已知條件證明，，得出四邊形BECD是平行四邊形，結(jié)合即可證明四邊形BECD是菱形；
（2）利用菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半求解；
【小問1詳解】
證明：∵中，，
∴，
∴．
∵DE平分∠BDC，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四邊形BECD是平行四邊形．
又∵，
∴四邊形BECD是菱形；
【小問2詳解】
解：∵中，，，
∴，，
由（1）知四邊形BECD是菱形，
∴，，
中，由勾股定理可得，，
∴，
∴，
即四邊形BECD的面積為24．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、菱形的面積公式、勾股定理等，掌握菱形的判定方法及面積公式是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，已知正方形中，點(diǎn)E是延長線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．
（1）求證：；
（2）作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接，
①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
③若F為中點(diǎn)，，連接，直接寫出線段的長為_______．
【答案】（1）見解析（2）①圖見解析；②．證明見解析；③，證明見解析
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)運(yùn)用，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，綜合運(yùn)用以上幾何知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）由于，，根據(jù)同角的余角相等即可得證；
（2）① 過點(diǎn)作垂足為，延長取，點(diǎn)即為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)；
②在上截取點(diǎn)N，使得，連接，證明，得到，，即可證得是等腰直角三角形，進(jìn)而可證四邊形為平行四邊形，由此得證；
③連接，證明，即為直角三角形，應(yīng)用勾股定理即可求解；
【小問1詳解】
證明：，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
又，，
，
．
【小問2詳解】
①如圖：過點(diǎn)作垂足為，延長取，點(diǎn)即為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，圖形即為所求作．
②結(jié)論：．
理由：在上截取點(diǎn)N，使得，連接．
四邊形是正方形，
．
在和中
，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)M，
，
，，
，
，
，
．
，，
，
四邊形為平行四邊形，
，
．
③，證明：連接，如圖所示，
在中，F(xiàn)為中點(diǎn)，
，
，
，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
，
，
，
點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
，，
，又，
，
在中，應(yīng)用勾股定理，
，
．
26. 在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)，和圖形，如果在圖形上存在點(diǎn)，，可以重合）使得，那么稱點(diǎn)與點(diǎn)是圖形的一對(duì)平衡點(diǎn)．
（1）如圖1，已知點(diǎn)，．
①設(shè)點(diǎn)與線段上一點(diǎn)的距離為，則的最小值是，最大值是；
②在，，這三個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)是線段的一對(duì)平衡點(diǎn)的是；
（2）如圖2，已知正方形的邊長為2，一邊平行于軸，對(duì)角線的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．若點(diǎn)在第一象限，且點(diǎn)與點(diǎn)是正方形的一對(duì)平衡點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)，，某正方形對(duì)角線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長為．若線段上的任意兩個(gè)點(diǎn)都是此正方形的一對(duì)平衡點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）①3，；②
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①觀察圖象的最小值是長，最大值是長，由勾股定理即可得出結(jié)果；
②過作于，可得出，根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，即可得出點(diǎn)與點(diǎn)是線段的一對(duì)平衡點(diǎn)；
（2）如圖2，可得，，由平衡點(diǎn)的定義可求出的范圍；
（3）如圖2，正方形邊長為2，，上任意兩點(diǎn)關(guān)于是一對(duì)平衡點(diǎn)，且，的交點(diǎn)是，根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，可得，，即可求出的范圍．
【小問1詳解】
解：①由題意知：，，則最小值是3，最大值是；
②如圖1，過作于，
，
根據(jù)平衡點(diǎn)的定義，點(diǎn)與點(diǎn)是線段的一對(duì)平衡點(diǎn)；
故答案為：3，，；
小問2詳解】
如圖2中，，，
且，均在正方形上，符合平衡點(diǎn)的定義，
；
【小問3詳解】
如圖2，正方形邊長為2，
，上任意兩點(diǎn)關(guān)于是一對(duì)平衡點(diǎn)，且，的交點(diǎn)是，
則，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了點(diǎn)與點(diǎn)是圖形的一對(duì)平衡點(diǎn)、正方形性質(zhì)、點(diǎn)與點(diǎn)的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)取特殊點(diǎn)特殊位置解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
成績
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人數(shù)
1
4
3
4
6
2

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