1．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣i，則|z|＝（ ）
A．B．1C．2D．4
2．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x+1＞0}，則A∪B＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x≥﹣2}
3．（5分）在“雙11”促銷活動中，某網(wǎng)店在11月11日9時到14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知12時到14時的銷售額為42萬元，則9時到11時的銷售額為（ ）
A．9萬元B．18萬元C．24萬元D．30萬元
4．（5分）設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點P（﹣3，4），那么sinθ+2csθ＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a＝6b＝9c＝t，那么（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a4+a7＝0，a5+a8＝﹣4，則下列命題：①{an}是遞減數(shù)列；②使Sn＞0成立的n的最大值是9；③當(dāng)n＝5時，Sn取得最大值；④a6＝0，其中正確的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①②③
7．（5分）曲線f（x）＝x3+x﹣2在p0處的切線平行于直線y＝4x﹣1，則p0點的坐標(biāo)為（ ）
A．（1，0）B．（2，8）
C．（2，8）和（﹣1，﹣4）D．（1，0）和（﹣1，﹣4）
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2﹣2ax，命題“?x∈[2，6]，f（x）≤﹣2a+3”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．
9．（5分）設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，下列四個命題中，正確命題的序號是（ ）
①若m∥α，n∥α，則m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若m⊥α，n∥α，則m⊥n；
④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．
A．①②B．②③C．③④D．①④
10．（5分）已知直線y＝kx與雙曲線C：相交于不同的兩點A，B，F(xiàn)為雙曲線C的左焦點，且滿足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）函數(shù)的部分圖象如圖所示，給下列說法：
①函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
②直線為函數(shù)f（x）的一條對稱軸；
③點為函數(shù)f（x）的一個對稱中心；
④函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位后得到的圖象．
其中不正確說法的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝x+sinx，下列說法正確的個數(shù)是（ ）
①f（x）是奇函數(shù)
②f（x）是周期函數(shù)
③f（x）有零點
④f（x）在上單調(diào)遞增
A．1B．2C．3D．4
二、填空題（每空5分，共20分）
13．（5分）小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強國”的答題活動，要從4道題中隨機抽取2道作答，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的概率為 ．
14．（5分）已知向量，，若，則銳角θ的值是 ．
15．（5分）設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，則a5+a6+a7＝ ．
16．（5分）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則ω的最大值為 ．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答，共70分。
17．（10分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．
（1）求的值；
（2）若，b＝2，求△ABC的面積．
18．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且，|PA|＝2．
（1）求三棱錐B﹣ACP的體積；
（2）求證：AB⊥PC．
19．（12分）某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程是否與性別有關(guān)，隨機抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如下表：
（1）判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程與性別有關(guān)？（公式和對照表見題后）
（2）用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生做進一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1個男生和1個女生的概率．
附：，n＝a+b+c+d
20．（12分）已知橢圓C：）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，P為橢圓C上的一個動點．△PF1F2面積的最大值為2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)斜率存在的直線PF2與C的另一個交點為Q，是否存在點T（t，0），使得|TP|＝|TQ|．若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣ax（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2ey+1＝0垂直，求a的值；
（2）當(dāng)x∈（0，2]時，討論函數(shù)F（x）＝f（x）﹣xlnx零點的個數(shù)．
(二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程，并化為標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點P的極坐標(biāo)為（1，π），l與曲線C交于A，B兩點，求的值．
23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣1|+|x+a|．
（1）當(dāng)a＝1時，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）若a＞0，對任意的x∈R，f（x）≥a2﹣2a+3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
2024年陜西省西安一中高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題5分，共60分）
1．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝1﹣i，則|z|＝（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】A
【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解．
【解答】解：z＝1﹣i，
則．
故選：A．
【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x+1＞0}，則A∪B＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x≥﹣2}
【答案】D
【分析】可以求出集合B，然后進行并集的運算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x＞﹣1}；
∴A∪B＝{x|x≥﹣2}．
故選：D．
【點評】考查描述法的定義，以及并集的運算．
3．（5分）在“雙11”促銷活動中，某網(wǎng)店在11月11日9時到14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知12時到14時的銷售額為42萬元，則9時到11時的銷售額為（ ）
A．9萬元B．18萬元C．24萬元D．30萬元
【答案】D
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率比與銷售額的比相等，即可求出對應(yīng)的值．
【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖知，12時到14時的頻率為0.35，9時到11時的頻率為1﹣0.4﹣0.25﹣0.10＝0.25，
所以時到11時的銷售額為：（萬元）．
故選：D．
【點評】本題考查頻率分布直方圖，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．
4．（5分）設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點P（﹣3，4），那么sinθ+2csθ＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求得sinθ＝ 和csθ＝ 的值，從而求得sinθ+2csθ 的值．
【解答】解：由于角θ的終邊經(jīng)過點P（﹣3，4），那么x＝﹣3，y＝4，r＝|OP|＝5，
∴sinθ＝＝，csθ＝＝﹣，∴sinθ+2csθ＝﹣，
故選：C．
【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a＝6b＝9c＝t，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將指數(shù)式化為對數(shù)式，根據(jù)對數(shù)換底公式、對數(shù)運算法則逐項驗證即可．
【解答】解：依題意設(shè)4a＝6b＝9c＝t，則a＝lg4t，b＝lg6t，c＝lg9t，
所以，
對于AC，，，
故A，C錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于D，，故D正確．
故選：D．
【點評】本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互換問題，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
6．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a4+a7＝0，a5+a8＝﹣4，則下列命題：①{an}是遞減數(shù)列；②使Sn＞0成立的n的最大值是9；③當(dāng)n＝5時，Sn取得最大值；④a6＝0，其中正確的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①②③
【答案】D
【分析】設(shè)出公差為d，列出方程組，求出首項和公差，根據(jù)d＜0判斷①正確，寫出，解不等式求出Sn＞0成立的n的最大值是9，②正確；根據(jù)an＞0與an＜0，得到當(dāng)n＝5時，Sn取得最大值，③正確；利用通項公式an＝﹣2n+11求出a6的值，得到④錯誤．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
故，解得：，
由于d＜0，故{an}是遞減數(shù)列，①正確；
，令，
解得：0＜n＜10，且n∈N*，
故使Sn＞0成立的n的最大值是9，②正確；
an＝9+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+11，
當(dāng)1≤n≤5時，an＞0，當(dāng)n≥6時，an＜0，
故當(dāng)n＝5時，Sn取得最大值，③正確；
a6＝﹣2×6+11＝﹣1，④錯誤．
故選：D．
【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于中檔題．
7．（5分）曲線f（x）＝x3+x﹣2在p0處的切線平行于直線y＝4x﹣1，則p0點的坐標(biāo)為（ ）
A．（1，0）B．（2，8）
C．（2，8）和（﹣1，﹣4）D．（1，0）和（﹣1，﹣4）
【答案】D
【分析】先設(shè)切點坐標(biāo)，然后對f（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切點的橫坐標(biāo)，代入到f（x）即可得到答案．
【解答】解：設(shè)切點為P0（a，b），f'（x）＝3x2+1，k＝f'（a）＝3a2+1＝4，a＝±1，
把a＝﹣1，代入到f（x）＝x3+x﹣2得b＝﹣4；
把a＝1，代入到f（x）＝x3+x﹣2得b＝0，
所以P0（1，0）和（﹣1，﹣4）．
故選：D．
【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于以該點為切點的切線的斜率．
8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ax2﹣2ax，命題“?x∈[2，6]，f（x）≤﹣2a+3”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．
【答案】A
【分析】根據(jù)特稱名為假命題可得ax2﹣2ax+2a﹣3＞0，對?x∈[2，6]恒成立，令h（x）＝ax2﹣2ax+2a﹣3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可得結(jié)論．
【解答】解：因為命題“?x∈[2，6]，f（x）≤﹣2a+3”是假命題，所以?x∈[2，6]，f（x）＞﹣2a+3恒成立，
則ax2﹣2ax+2a﹣3＞0，對?x∈[2，6]恒成立，
令h（x）＝ax2﹣2ax+2a﹣3，則二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝1，
要使得?x∈[2，6]，h（x）＞0恒成立，則，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍是．
故選：A．
【點評】本題主要考查存在量詞和特稱命題，屬于基礎(chǔ)題．
9．（5分）設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，下列四個命題中，正確命題的序號是（ ）
①若m∥α，n∥α，則m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若m⊥α，n∥α，則m⊥n；
④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【分析】①若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或為異面直線都有可能，即可判斷出；
②由α∥β，β∥γ，利用平行平面的傳遞性可得α∥γ，又m⊥α，利用線面平行與線面垂直的性質(zhì)可得m⊥γ；
③由n∥α，過直線n作平面β∩α＝k，利用線面平行的性質(zhì)定理可得n∥k．
又m⊥α，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得m⊥k，根據(jù)等角定理可得m⊥n，；
④由 α⊥γ，β⊥γ，可得α∥β或α與β相交（例如墻角）．．
【解答】解：①若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或為異面直線都有可能，因此不正確；
②∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，又m⊥α，則m⊥γ，正確；
③∵n∥α，過直線n作平面β∩α＝k，則n∥k．
∵m⊥α，∴m⊥k，則m⊥n，故正確；
④∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α與β相交，故不正確．
綜上可知：只有②③正確．
故選：B．
【點評】熟練掌握線面、面面平行于垂直的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
10．（5分）已知直線y＝kx與雙曲線C：相交于不同的兩點A，B，F(xiàn)為雙曲線C的左焦點，且滿足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)|BF|＝m，則|AF|＝3|BF|＝3m，設(shè)A在第一象限，由雙曲線的定義可得3m﹣m＝2a，再由平行四邊形的對角線的平方和等于四邊的平方和可得c2＝3a2，進一步得到漸近線方程．
【解答】解：設(shè)|BF|＝m，則|AF|＝3|BF|＝3m，
取雙曲線的右焦點F′，連接AF′，BF′，
所以四邊形AF′BF為平行四邊形，
所以|AF′|＝|BF|＝m，
設(shè)A在第一象限，得3m﹣m＝2a，即m＝a，
由平行四邊形的對角線的平方和等于四邊的平方和，
可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），所以c2＝3a2，
則b2＝c2﹣a2＝2a2，即＝，
所以雙曲線的漸近線的方程為y＝±x＝±x，
故選：C．
【點評】本題考查雙曲線的定義，雙曲線的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
11．（5分）函數(shù)的部分圖象如圖所示，給下列說法：
①函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
②直線為函數(shù)f（x）的一條對稱軸；
③點為函數(shù)f（x）的一個對稱中心；
④函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位后得到的圖象．
其中不正確說法的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】先根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷每個選項即可．
【解答】解：由圖象可知，，最小正周期，所以，
將點代入函數(shù)得，，
所以，即，
因為，所以取k＝1，，所以．
因此①正確；
②，所以②正確；
③令，則，當(dāng)k＝﹣1時，．
所以點為函數(shù)f（x）的一個對稱中心，即③正確；
④函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位得到，即④錯誤．
所以不正確的為④，
故選：A．
【點評】本題考查根據(jù)圖象求函數(shù)解析式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）＝x+sinx，下列說法正確的個數(shù)是（ ）
①f（x）是奇函數(shù)
②f（x）是周期函數(shù)
③f（x）有零點
④f（x）在上單調(diào)遞增
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)奇偶性定義可判斷選項①正確；依據(jù)周期性定義，選項②錯誤；f（0）＝0，選項③正確；求f′（x），判斷選項④正確．
【解答】解：對于①，函數(shù)f（x）＝x+sinx定義域為R，且f（﹣x）＝﹣x﹣sinx＝﹣f（x），
則f（x）為奇函數(shù)，故①正確；
對于②，若f（x）是周期函數(shù)，設(shè)其最小正周期為T（T≠0），則f（x+T）＝f（x），
即x+T+sin（x+T）＝x+sinx，變形得，T+sin（x+T）＝sinx，對任意x∈R恒成立，
令x＝0，可得，T+sinT＝0，設(shè)g（x）＝x+sinx，而g′（x）＝1+csx≥0，
g（0）＝0，所以g（x）＝x+sinx＝0只有唯一的解x＝0，故由T+sinT＝0?T＝0，
由此可知它不是周期函數(shù)，故②錯誤；
對于③，因為f（0）＝0+sin0＝0，f（x）在上有零點，故③正確；
對于④，由于f′（x）＝1+csx≥0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，故④正確．
故選：C．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性及周期性的應(yīng)用，屬于中檔題．
二、填空題（每空5分，共20分）
13．（5分）小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強國”的答題活動，要從4道題中隨機抽取2道作答，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的概率為 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】基本事件總數(shù)n＝＝6，抽到的2道題小李都會包含的基本事件m＝＝3，由此能求出抽到的2道題小李都會的概率．
【解答】解：小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強國”的答題活動，要從4道題中隨機抽取2道作答，小李會其中的三道題，
基本事件總數(shù)n＝＝6，
抽到的2道題小李都會包含的基本事件m＝＝3，
則抽到的2道題小李都會的概率為P＝．
故答案為：．
【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
14．（5分）已知向量，，若，則銳角θ的值是 ．
【答案】．
【分析】由已知結(jié)合項平行的坐標(biāo)表示及同角基本關(guān)系可求tanθ，進而可求θ．
【解答】解：因為，
若，則3sin2θ＝cs2θ，
因為θ為銳角，所以，則角．
故答案為：．
【點評】本題主要考查向量平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，則a5+a6+a7＝ 16 ．
【答案】16．
【分析】利用等比數(shù)列通項的性質(zhì)求出公比，然后利用等比數(shù)列通項的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：因為{an}是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，
所以，
所以，
所以a5+a6+a7＝16（a1+a2+a3）＝16．
故答案為：16．
【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
16．（5分）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則ω的最大值為 ．
【答案】．
【分析】由題先得：，再借助整體法：令，再結(jié)合余弦函數(shù)圖像分析出單調(diào)遞減時的等價條件，解不等式即可．
【解答】解：由題得：，
令，
則y＝cst在單調(diào)遞減，
故，（k∈Z），
由0＜ω≤3，故，
所以ω的最大值為．
故答案為：．
【點評】本題考查的知識點：余弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答，共70分。
17．（10分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知．
（1）求的值；
（2）若，b＝2，求△ABC的面積．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式即可求出，
（2）由（1）可得c＝2a，再由余弦定理可得a，c的值，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
【解答】解：（1）∵＝＝，
∴csAsinB﹣2sinBcsC＝2csBsinC﹣sinAcsB，
∴sinAcsB+csAsinB＝2sinBcsC+2csBsinC，
∴sin（A+B）＝2sin（B+C），
∴sinC＝2sinA，
∴＝2；
（2）由（1）可得c＝2a，
由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accsB，
∴4＝a2+4a2﹣a2，
解得a＝1，則c＝2，
∵csB＝，
∴sinB＝，
∴S＝acsinB＝×1×2×＝．
【點評】本題考查正余弦定理解三角形三角形的面積公式，涉及和角的三角函數(shù)，屬中檔題．
18．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且，|PA|＝2．
（1）求三棱錐B﹣ACP的體積；
（2）求證：AB⊥PC．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）因為PA⊥平面ABCD，根據(jù)等積法VB﹣ACP＝VP﹣ABC可得結(jié)果；
（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得AB⊥PA，結(jié)合（1）及線面垂直的判定定理可得AB⊥平面PAC，從而得證．
【解答】解：（1）在底面ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，
且，
所以|AB|＝|AC|＝2，，
則|AB|2+|AC|2＝|BC|2，
所以AB⊥AC，
故．
（2）由（1）知AB⊥AC，又PA⊥平面ABCD，AP?平面ABCD，
則AB⊥PA，
且AC∩PA＝A，AC，PA?平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，而PC?平面PAC，
所以AB⊥PC．
【點評】本題考查等體積轉(zhuǎn)化法求三棱錐的體積以及線線垂直判定，屬于中檔題．
19．（12分）某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程是否與性別有關(guān)，隨機抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如下表：
（1）判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程與性別有關(guān)？（公式和對照表見題后）
（2）用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生做進一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1個男生和1個女生的概率．
附：，n＝a+b+c+d
【答案】（1）有關(guān)；
（2）．
【分析】（1）由題中列聯(lián)表計算卡方，根據(jù)數(shù)值計算做出判斷即可；
（2）由分層抽樣確定抽取的6人中男生和女生的人數(shù)，再根據(jù)古典概型計算概率即可．
【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)，可得，
所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程與性別有關(guān)；
（2）設(shè)所抽樣本中有m個男生，則＝，得m＝4，
所以樣本中有4個男生，2個女生，分別記作B1，B2，B3，B4，G1，G2，
從中任選2人的基本事件有（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，B4），（B2，G1），（B2，G2），（B3，B4），（B3，G1），（B3，G2），（B4，G1），（B4，G2），（G1，G2），共15個，
其中恰有1個男生和1個女生的事件有（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（B4，G1），（B4，G2），共8個，
所以恰有1個男生和1個女生的概率為．
【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
20．（12分）已知橢圓C：）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，P為橢圓C上的一個動點．△PF1F2面積的最大值為2．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)斜率存在的直線PF2與C的另一個交點為Q，是否存在點T（t，0），使得|TP|＝|TQ|．若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）．
（2）存在，．
【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本量關(guān)系求解即可；
（2）設(shè)直線PF2方程為：，聯(lián)立直線與橢圓的方程，先討論k＝0時是否滿足，當(dāng)k≠0時，根據(jù)直線TM斜率列式化簡求解即可．
【解答】解：（1）由題意，離心率，由當(dāng)P是C的上頂點時，△PF1F2面積的最大，
則，即bc＝2，又a2＝b2+c2，得：，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）存在點T（t，0），使得|TP|＝|TQ|．
由題知，設(shè)直線PF2方程為：，
?
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)PQ的中點為M（x0，y0），則x1，x2是該方程的兩個根，，，
當(dāng)k＝0時，由|TP|＝|TQ|易得t＝0；
當(dāng)k≠0時，由|TP|＝|TQ|知TM⊥PM，則直線TM斜率，
所以，得．
所以，由于，則，
綜上所述，
故存在點T（t，0），使得|TP|＝|TQ|，且t的取值范圍．
【點評】本題主要考查了橢圓的基本量關(guān)系，同時也考查了利用直線與圓錐曲線的關(guān)系列式，利用韋達(dá)定理表達(dá)所求式，從而化簡求解的問題，常用點坐標(biāo)表達(dá)斜率、中點等，再代入韋達(dá)定理化簡求解，屬于中檔題．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣ax（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+2ey+1＝0垂直，求a的值；
（2）當(dāng)x∈（0，2]時，討論函數(shù)F（x）＝f（x）﹣xlnx零點的個數(shù)．
【答案】（1）a＝﹣e；
（2）當(dāng)a＝e﹣1或時，函數(shù)F（x）有一個零點；
當(dāng)時，函數(shù)F（x）有兩個零點；
當(dāng)a＜e﹣1時，函數(shù)F（x）沒有零點．
【分析】（1）根據(jù)題意，對f（x）求導(dǎo)數(shù)，可得f′（1）＝e﹣a，結(jié)合兩條直線垂直的關(guān)系列式算出實數(shù)a的值；
（2）構(gòu)建，結(jié)合題意可知F（x）的零點個數(shù)就是y＝a與y＝g（x）的交點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷y＝g（x）的單調(diào)性和最值，進而可得所求結(jié)果．
【解答】解：（1）由題意，得f′（x）＝ex﹣a，可知f′（1）＝e﹣a，
而直線x+2ey+1＝0的斜率為，
因為y＝f（x）在x＝1處的切線與直線x+2ey+1＝0垂直，所以，解得a＝﹣e；
（2）根據(jù)F（x）＝f（x）﹣xlnx＝0，得ex﹣1﹣ax﹣xlnx＝0，整理得，
令，可知F（x）的零點個數(shù)就是直線y＝a與y＝g（x）圖象的交點個數(shù)，
對g（x）求導(dǎo)數(shù)，可得，
因為x＞0，則ex﹣1＞0，令g′（x）＞0，解得1＜x≤2；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1；
所以g（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，
且x趨近于0時，g（x）趨近于+∞，g（1）＝e﹣1，，
可得：當(dāng)a＝e﹣1或時，函數(shù)F（x）有一個零點；
當(dāng)時，函數(shù)F（x）有兩個零點；當(dāng)a＜e﹣1時，函數(shù)F（x）沒有零點．
【點評】本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值、導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系等知識，屬于中檔題．
(二）選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程，并化為標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點P的極坐標(biāo)為（1，π），l與曲線C交于A，B兩點，求的值．
【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝1．
（2）．
【分析】（1）ρ＝2sinθ變形為ρ2＝2ρsinθ，結(jié)合，求出直角坐標(biāo)方程，為圓，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出點P的直角坐標(biāo)，將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，用t的幾何意義求解．
【解答】解：（1）ρ＝2sinθ兩邊同乘以ρ可得：ρ2＝2ρsinθ，
由可得：∴x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1．
（2）∵x＝csπ＝﹣1，x＝sinπ＝0，
∴點P（1，π）的直角坐標(biāo)為（﹣1，0），
把代入圓的方程可得，
設(shè)A，B兩點的對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則，∴t1＞0，t2＞0，
故．
【點評】本題考查參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．
23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣1|+|x+a|．
（1）當(dāng)a＝1時，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）若a＞0，對任意的x∈R，f（x）≥a2﹣2a+3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）{x|x＜﹣或x＞}．
（2）[1，2]．
【分析】（1）分x≤﹣1，﹣1＜x＜1與x≥1三種情況進行分類討論，利用一元一次不等式的解法求解即可；
（2）利用絕對值三角不等式得到f（x）≥a+1，從而得到a+1≥a2﹣2a+3，利用二次不等式的解法求解即可．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|＝，
當(dāng)x≤﹣1時，由f（x）＞3得﹣2x＞3，解得x＜﹣，∴x＜﹣；
當(dāng)﹣1＜x＜1時，由f（x）＞3得2＞3，無解；
當(dāng)x≥1時，由f（x）＞3得﹣2x＞3，解得x＞或x＞．
綜上，不等式f（x）＞3的解集為{x|x＜﹣或x＞}．
（2）∵a＞0，∴f（x）＝|x﹣1|+|x+a|≥|a+1|＝a+1，
對任意的x∈R，f（x）≥a2﹣2a+3恒成立，
∴a+1≥a2﹣2a+3，即a2﹣3a+2≤0，解得1≤a≤2，
∴a的取值范圍是[1，2]．
【點評】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式、含絕對值不等式的性質(zhì)及解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/5/9 10:02:48；用戶：因材教育；郵箱：3070532
喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程
不喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程
總計
男生
20
5
25
女生
10
20
30
總計
30
25
55
P（K2≥k0）
0.010
0.005
k0
6.635
7.879
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