1.若集合M={x|2x?1>5}，N={x∈N*|?1b>0)的離心率為 32，直線l：x=ky+ 3經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F1，且與橢圓交于點(diǎn)A，B．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F2，求△F2AB的內(nèi)切圓的半徑最大時(shí)k的值．
21.(本小題12分)
已知m>0，函數(shù)f(x)=mxlnx滿足對(duì)任意x>0,?1e≤f(x)≤x2?x恒成立．
(1)當(dāng)m=1時(shí)，求f(x)的極值；
(2)求m的值．
22.(本小題10分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=1+csα,y=sinα(α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=?2sinθ．
(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)直線l： 3x+y=0與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)(異于極點(diǎn))，求線段AB的長(zhǎng)度．
23.(本小題12分)
已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)=|x+a|+|x?b|的最小值為2，證明：
(1)3a2+b2≥3；
(2)4a+1+1b≥3．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由題意知M={x|2x?1>5}={x|x>3}，N={x∈N*|?10，即為y=x?2的零點(diǎn)x=2在區(qū)間(2m?2,3+m)內(nèi)，
所以2m?22,解得?10，則A∈(0,π2)，可得sinA= 1?(25)2= 215，
故S△ABC=12bcsinA=12b2× 215=12×252× 215=5 214．
【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換整理得sin2A=3sinBsinCcsA，再利用正、余弦定理邊化角分析運(yùn)算；
(2)利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得A取最大值時(shí)，b=c，csA=25，進(jìn)而可求三角形的面積．
本題考查解三角形問(wèn)題，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
19.【答案】(1)證明：取AB的中點(diǎn)M，連接EM，MF，
∵△ABE為等邊三角形，∴EM⊥AB，
∵四邊形ABCD為正方形，∴AD⊥AB，且AD//MF，
∴AB⊥MF，
又ME∩MF=M，ME，MF?平面MEF，
∴AB⊥平面MEF，
∵EF?平面MEF，∴AB⊥EF．

(2)解：連接BD，
∵側(cè)面ABE⊥底面ABCD，側(cè)面ABE∩底面ABCD=AB，EM?平面ABE，EM⊥AB，
∴EM⊥平面ABCD，
∴VE?BCD=13S△BCD?EM=13×12×2×2× 3=2 33，
EF= EM2+MF2= 3+4= 7,S△CDE=12CD?EF= 7，
設(shè)B到平面CDE的距離為h，
∵VB?CDE=VE?BCD，
∴13S△CDE?h=2 33，解得h=2 217，
故B到平面CDE的距離為2 217．
【解析】(1)取AB的中點(diǎn)M，連接EM，MF，可證EM⊥AB，AB⊥MF，由線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，即可得證；
(2)連接BD，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得EM⊥平面ABCD，再由VB?CDE=VE?BCD，即可得解．
本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，面面垂直的性質(zhì)定理，等體積法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
20.【答案】解：(1)由題意知右焦點(diǎn)F1( 3,0)，∴c= 3．
∵e=ca= 32，則a=2，b=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1；
(2)設(shè)△F2AB的內(nèi)切圓半徑為r，
∵△F2AB的周長(zhǎng)=|F2A|+|F2B|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=8，
∴S△F2AB=12?8?r=4r，∴r=14S△F2AB．
∴△F2AB的面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓半徑最大．
設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，
聯(lián)立x=ky+ 3x24+y2=1，消去x得(k2+4)y2+2 3ky?1=0，
Δ=12k2+4(k2+4)=16k2+16>0恒成立，
∴y1+y2=?2 3kk2+4,y1y2=?1k2+4．
∴S△F2AB=12|F1F2|?|y1?y2|= 3 (y1+y2)2?4y1y2=4 3 k2+1k2+4．
令t= k2+1，則k2=t2?1．
∴S△F2AB=4 3tt2+3=4 3t+3t?4 32 3=2．
當(dāng)且僅當(dāng)t=3t，即t= 3時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)k=± 2．
【解析】(1)依題意求出a，b，c的值，即可求出橢圓方程；
(2)設(shè)△F2AB的內(nèi)切圓半徑為r，表示出△F2AB的面積，由等面積法，表示出r，結(jié)合韋達(dá)定理，由基本不等式即可求出r的最大值及k的值．
本題考查了橢圓的方程及性質(zhì)，考查了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想，屬于中檔題．
21.【答案】解：(1)當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=xlnx，則f′(x)=lnx+1，x>0，
由f′(x)>0，得x∈(1e,+∞)，由f′(x)0,f(x)??1e，∴?me??1e，∴m?1．
又f(x)?x2?x等價(jià)于mlnx?x+1?0．
設(shè)函數(shù)g(x)=mlnx?x+1,g′(x)=mx?1=m?xx．
∴g(x)在(0,m)上單調(diào)遞增，(m,+∞)上單調(diào)遞減，
∴g(x)?g(m)=mlnm?m+1．
∵對(duì)任意x>0，g(x)?0，∴mlnm?m+1?0，∴l(xiāng)nm+1m?1．
設(shè)h(m)=lnm+1m，則h′(m)=m?1m2，
當(dāng)m?1時(shí)，h′(m)?0，∴h(m)?h(1)=1．
∴只能有m=1，即m的值為1．
綜上，m的值為1．
【解析】(1)將m=1代入f(x)中，判斷f(x)的單調(diào)性，再求出f(x)的極值；
(2)根據(jù)對(duì)任意x>0,?1e≤f(x)≤x2?x恒成立，分兩個(gè)部分求解即可．
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用不等式恒成立求參數(shù)的值，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬難題．
22.【答案】解：(1)曲線C1：x=1+csα,y=sinα(α為參數(shù))，消去參數(shù)得(x?1)2+y2=1，
將x=ρcsθ,y=ρsinθ代入，得曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2csθ，
由ρ=?2sinθ得ρ2=?2ρsinθ，
∴x2+y2=?2y，
∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+(y+1)2=1；
(2)易知直線l的極坐標(biāo)方程為θ=?π3，代入曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程得ρ1=1，ρ2= 3，
∴|AB|=|ρ1?ρ2|= 3?1．
【解析】(1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，進(jìn)而化為極坐標(biāo)方程即可；
(2)直線l： 3x+y=0過(guò)原點(diǎn)，所以化為極坐標(biāo)方程后與曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用ρ的幾何意義求解即可．
本題主要考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
23.【答案】證明：(1)由于a>0，b>0，則f(x)=|x+a|+|x?b|≥|a+b|=a+b，
當(dāng)且僅當(dāng)?a≤x≤b取等號(hào)，故f(x)=|x+a|+|x?b|的最小值為a+b=2，
所以3a2+b2=3a2+(2?a)2=4a2?4a+4=(2a?1)2+3≥3，
當(dāng)且僅當(dāng)a=12，b=32時(shí)取等號(hào)．
(2)由(1)知a+b=2，所以a+1+b=3，
所以4a+1+1b=13(a+1+b)(4a+1+1b)=13(5+4ba+1+a+1b)≥13(5+2 4ba+1?a+1b)=3，當(dāng)且僅當(dāng)4ba+1=a+1b，即a=b=1時(shí)取等號(hào)．
【解析】(1)根據(jù)絕對(duì)值的三角不等式，得到f(x)的最小值為a+b=2，進(jìn)而化簡(jiǎn)得到3a2+b2=4a2?4a+4，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
(2)由(1)得到a+1+b=3，化簡(jiǎn)4a+1+1b=13(5+4ba+1+a+1b)，結(jié)合基本不等式，即可求解．
本題主要考查了不等式的證明，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．回老家
不回老家
總計(jì)
50周歲及以下
55
50周歲以上
15
40
總計(jì)
100
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
回老家
不回老家
總計(jì)
50周歲及以下
5
55
60
50周歲以上
15
25
40
總計(jì)
20
80
100

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