四邊形綜合題是全國中考常考題型。好多學生因特殊四邊形的定理弄混淆而失分。
1．從考點頻率看，三角形的綜合和四邊形的綜合會二選一，四邊形綜合題以考查特殊四邊形性質和判定為主。
2．從題型角度看，以解答題為主，分值8分左右！
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定
中考四邊形綜合題常考的是平行四邊形、矩形、菱形和正方形。特殊四邊形的性質和判定都是從邊、角和對角線這3個方面著手。做題過程中經(jīng)常還要用到三角形的全等判定（性質）和三角形相似判定（性質），個別難度較大的題還要做輔助線。
1．（2020年鄂州中考）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點M，N分別為OA、OC的中點，延長BM至點E，使EM＝BM，連接DE．
（1）求證：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四邊形DEMN的面積．
2．（2020年揚州中考）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交AB、DC于點E、F，連接AF、CE．
（1）若OE，求EF的長；
（2）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
3.（2020年廣元中考）已知?ABCD，O為對角線AC的中點，過O的一條直線交AD于點E，交BC于點F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面積為2，求?ABCD的面積．
4.（2020年新疆中考）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE∥BF，且分別交對角線AC于點E，F(xiàn)，連接BE，DF．
（1）求證：AE＝CF；
（2）若BE＝DE，求證：四邊形EBFD為菱形．
5.（2020年濱州中考）如圖，過?ABCD對角線AC與BD的交點E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC、CD、DA于點P、M、Q、N．
（1）求證：△PBE≌△QDE；
（2）順次連接點P、M、Q、N，求證：四邊形PMQN是菱形．
6.（2020年遂寧中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別是線段BC、AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：△BDE≌△FAE；
（2）求證：四邊形ADCF為矩形．
7.（2020年北京中考）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求證：四邊形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．
8.（2020年遵義中考）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E為對角線AC上一動點（點E與點A、C不重合），連接DE，作EF⊥DE交射線BA于點F，過點E作MN∥BC分別交CD、AB于點M、N，作射線DF交射線CA于點G．
（1）求證：EF＝DE；
（2）當AF＝2時，求GE的長．
1．（2020年黑龍江省哈爾濱市第六十九中學中考數(shù)學模擬試題）如圖1，正方形中，點是邊延長線上一點，連接，過點作，垂足為點與相交于點．
求證：；
如圖2，連接，若求的長．
2．（2020年湖北省黃岡市五校聯(lián)考中考數(shù)學4月模擬試題）如圖，O是菱形ABCD對角線的交點，過C作CE//BD，過D作DE//AC，CE與DE交于點E，求證：四邊形OCED是矩形．
3．（廣東省廣州市廣大附中2020-2021學年九年級上學期11月聯(lián)盟考數(shù)學試題）矩形ABCD中，AB=8，BC=6，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當四邊形BEDF是菱形時，求該菱形邊長．
4.（廣東省汕頭市金平區(qū)金園實驗中學2020-2021學年九年級上學期期中數(shù)學試題）如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上一點，連接DE，將DE繞著點E逆時針旋轉90°，得到EG，過點G作GF⊥CB，垂足為F，GH⊥AB，垂足為H，連接DG，交AB于I．
（1）求證：四邊形BFGH是正方形；
（2）求證：ED平分∠CEI；
（3）連接IE，若正方形ABCD的邊長為3，則△BEI的周長為 ．
5.（江蘇省南通市崇川區(qū)八一中學2020-2021學年九年級上學期12月月考數(shù)學試題）已知：如圖，O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF＝CE，連接DF，交BE的延長線于點G，連接OG．
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）OG與BF有什么數(shù)量關系？證明你的結論；
（3）若GE·GB＝4－2，求正方形ABCD面積.

6.（四川省成都市東部新區(qū)2020-2021學年九年級上學期期末學業(yè)質量檢測數(shù)學試題）如圖，BD是△ABC的角平分線，過點D分別作BC和AB的平行線，交AB于點E，交BC于點F．
（1）求證：四邊形BEDF是菱形；
（2）若AE＝3，BE＝4，求FC的長．
7.（中國人民大學附屬中學2020-2021學年九年級下學期開學考試數(shù)學試題） 在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．
（1）求證：四邊形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB．
8.（重慶市巴蜀中學校2020-2021學年九年級上學期期末數(shù)學試題）已知：在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD和BC上，點G、H在對角線AC上，且BF=DE，AH=CG，連接FH、HE、BG、FG．
（1）求證：FG=EH．
（2）若EG平分∠AEH，F(xiàn)H平分∠CFG，F(xiàn)G//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度數(shù)．
1．（2020年鄂州中考）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點M，N分別為OA、OC的中點，延長BM至點E，使EM＝BM，連接DE．
（1）求證：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四邊形DEMN的面積．
【解析】（1）依據(jù)平行四邊形的性質，即可得到△AMB≌△CND；
（2）依據(jù)全等三角形的性質，即可得出四邊形DEMN是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形的性質，即可得到∠EMN是直角，進而得到四邊形DEMN是矩形，即可得出四邊形DEMN的面積．
【解析】（1）∵平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，
∴AO＝CO，
又∵點M，N分別為OA、OC的中點，
∴AM＝CN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN
∴四邊形DEMN是平行四邊形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中點，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四邊形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面積＝6×4＝24．
2．（2020年揚州中考）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交AB、DC于點E、F，連接AF、CE．
（1）若OE，求EF的長；
（2）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
【解析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF，進而得出EF的長；
（2）先判定四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC，即可得到四邊形AECF是菱形．
【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AO＝CO，
∴∠FCO＝∠EAO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴EF＝2OE＝3；
（2）四邊形AECF是菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．
3.（2020年廣元中考）已知?ABCD，O為對角線AC的中點，過O的一條直線交AD于點E，交BC于點F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面積為2，求?ABCD的面積．
【解析】（1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出結論；
（2）由于AE：AD＝1：2，O為對角線AC的中點，得出△AEO∽△ADC，根據(jù)△AOE的面積為2，可得△ADC的面積，進而得到平行四邊形ABCD的面積．
【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵O是AC的中點，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵AE：AD＝1：2，O為對角線AC的中點，
∴AO：AC＝1：2，
∵∠EAO＝∠DAC，
∴△AEO∽△ADC，
∵△AOE的面積為2，
∴△ADC的面積為8，
∴平行四邊形ABCD的面積為16．
4.（2020年新疆中考）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，DE∥BF，且分別交對角線AC于點E，F(xiàn)，連接BE，DF．
（1）求證：AE＝CF；
（2）若BE＝DE，求證：四邊形EBFD為菱形．
【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質，可以得到AD＝CB，AD∥CB，從而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根據(jù)DE∥BF和等角的補角相等，從而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可證明△ADE和△CBF全等，從而可以得到AE＝CF；
（2）根據(jù)（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根據(jù)DE∥BF，即可得到四邊形EBFD是平行四邊形，再根據(jù)BE＝DE，即可得到四邊形EBFD為菱形．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE∥BF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）證明：由（1）知△ADE≌△CBF，
則DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵BE＝DE，
∴四邊形EBFD為菱形．
5.（2020年濱州中考）如圖，過?ABCD對角線AC與BD的交點E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC、CD、DA于點P、M、Q、N．
（1）求證：△PBE≌△QDE；
（2）順次連接點P、M、Q、N，求證：四邊形PMQN是菱形．
【解析】（1）由ASA證△PBE≌△QDE即可；
（2）由全等三角形的性質得出EP＝EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出EM＝EN，證出四邊形PMQN是平行四邊形，由對角線PQ⊥MN，即可得出結論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，
，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）證明：如圖所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四邊形PMQN是平行四邊形，
∵PQ⊥MN，
∴四邊形PMQN是菱形．
6.（2020年遂寧中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E分別是線段BC、AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：△BDE≌△FAE；
（2）求證：四邊形ADCF為矩形．
【解析】（1）根據(jù)平行線的性質得到∠AFE＝∠DBE，根據(jù)線段中點的定義得到AE＝DE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質得到AF＝BD，推出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠ADC＝90°，于是得到結論．
【解答】證明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是線段AD的中點，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是線段BC的中點，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四邊形ADCF為矩形．
7.（2020年北京中考）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求證：四邊形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．
【解析】（1）根據(jù)菱形的性質得到BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，得到AE＝OEAD，推出OE∥FG，求得四邊形OEFG是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結論；
（2）根據(jù)菱形的性質得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AEAD＝5；由（1）知，四邊形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根據(jù)勾股定理得到AF3，于是得到結論．
【解析】（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，
∵E是AD的中點，
∴AE＝OEAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∴∠AOE＝∠BAO，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四邊形OEFG是平行四邊形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴四邊形OEFG是矩形；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中點，
∴OE＝AEAD＝5；
由（1）知，四邊形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
8.（2020年遵義中考）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E為對角線AC上一動點（點E與點A、C不重合），連接DE，作EF⊥DE交射線BA于點F，過點E作MN∥BC分別交CD、AB于點M、N，作射線DF交射線CA于點G．
（1）求證：EF＝DE；
（2）當AF＝2時，求GE的長．
【解析】（1）要證明EF＝DE，只要證明△DME≌△ENF即可，然后根據(jù)題目中的條件和正方形的性質，可以得到△DME≌△ENF的條件，從而可以證明結論成立；
（2）根據(jù)勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的長，然后即可得到GE的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中
，
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴EF＝DE；
（2）如圖1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，
∴ME＝NF，
∵四邊形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE，
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，
∴，
∴，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AC＝AG+GC，
∴AG，CG，
∴GE＝GC﹣CE；
如圖2所示，
同理可得，F(xiàn)N＝BN，
∵AF＝2，AB＝4，
∴AN＝1，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AF∥CD，
∴△GAF∽△GCD，
∴，
即，
解得，AG＝4，
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，
∴AE，
∴GE＝GA+AE＝5．
1．（2020年黑龍江省哈爾濱市第六十九中學中考數(shù)學模擬試題）如圖1，正方形中，點是邊延長線上一點，連接，過點作，垂足為點與相交于點．
求證：；
如圖2，連接，若求的長．
【答案】(1) 見解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正方形的性質，可得BC=CD，并可推導出∠CBG=∠CDE，從而證全等；
（2）先在Rt△BDC中得到BD的長，如下圖，在Rt△DHG中，可得到DH和GH的長，最后在Rt△BHG中得出BG的長．
【詳解】（1）在與中，
四邊形是正方形
（2）由得
又，
在中，
過點作的垂線，點為垂足
在中，
勾股定理得
【點睛】本題考查正方形的性質、勾股定理的運用，解題關鍵是過點C作CH⊥BD，構造直角三角形．
2．（2020年湖北省黃岡市五校聯(lián)考中考數(shù)學4月模擬試題）如圖，O是菱形ABCD對角線的交點，過C作CE//BD，過D作DE//AC，CE與DE交于點E，求證：四邊形OCED是矩形．
【答案】見解析
【解析】
【分析】
要證明四邊形OCED是矩形，由已知知其為平行四邊形，又由菱形對角線互相垂直，得出其一個角為直角，即為所求結論．
【詳解】證明：
四邊形OCED是平行四邊形．
四邊形ABCD是菱形
AC⊥BD．
∠DOC=90°．
∴四邊形OCED矩形．
【點睛】此題考查菱形的性質，矩形的判定，解題的關鍵是熟練掌握矩形的性質及判定定理．
3．（廣東省廣州市廣大附中2020-2021學年九年級上學期11月聯(lián)盟考數(shù)學試題）矩形ABCD中，AB=8，BC=6，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當四邊形BEDF是菱形時，求該菱形邊長．
【答案】（1）證明見解析；（2）菱形邊長為．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形ABCD的性質，利用SAS可判定△BOE≌△DOF，得出四邊形BEDF的對角線互相平分，即可得出結論；
（2）根據(jù)菱形的性質可得BE=DE，在Rt△ADE中，設BE=DE=x,則AE=8-x，由勾股定理得出方程，解方程即可求出DE．
【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，AB∥DC
，
又O是BD的中點
OB=OD
在△BOE與△DOF中
△BOE≌△DOF
EO=FO，
四邊形BEDF為平行四邊形
（2）四邊形BEDF為菱形，
BE=DE=DF=BF，
又AB=8，BC=6，設BE=DE=x,則AE=8-x，
在Rt△ADE中，，
，
則菱形邊長為．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質、平行四邊形的判定、菱形的性質等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用相關知識是解決問題的關鍵．
4.（廣東省汕頭市金平區(qū)金園實驗中學2020-2021學年九年級上學期期中數(shù)學試題）如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上一點，連接DE，將DE繞著點E逆時針旋轉90°，得到EG，過點G作GF⊥CB，垂足為F，GH⊥AB，垂足為H，連接DG，交AB于I．
（1）求證：四邊形BFGH是正方形；
（2）求證：ED平分∠CEI；
（3）連接IE，若正方形ABCD的邊長為3，則△BEI的周長為 ．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）6
【解析】
分析】
（1）先證根據(jù)∠F＝∠GHB＝∠ABF＝90°證得四邊形BFGH為矩形，再證明△DCE≌△EFG進而可證得BF＝FG，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得證；
（2）延長EC到點M，使得CM＝AI，連接DM，先證△ADI≌△CDM可得DI＝DM，∠ADI＝∠CDM，進而可證△EDM≌△EDI得∠DEI＝∠DEC，即可得證；
（3）由（2）可知IE＝EM＝EC＋CM＝EC＋AI，則△BEI的周長為BI＋BE＋IE＝BI＋BE＋EC＋AI＝AB＋BC，由此可求得答案．
【詳解】（1）證明：∵將DE繞著點E逆時針旋轉90°得到EG，
∴DE＝EG，∠DEG＝90°，
∴∠DEC＋∠GEF＝90°，
∵在正方形ABCD中
∴∠C＝∠ABC＝∠ABF＝90°，BC＝CD，
∴∠DEC＋∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠GEF，
∵GF⊥CB，GH⊥AB，
∴∠F＝∠GHB＝90°，
∴∠F＝∠GHB＝∠ABF＝90°，
∴四邊形BFGH為矩形，
在△DCE與△EFG中，

∴△DCE≌△EFG（AAS）
∴EF＝CD，F(xiàn)G＝CE，
∴EF＝BC，
∴EF－BE＝BC－BE，
即BF＝CE，
∴BF＝FG，
∴矩形BFGH為正方形；
（2）證明：如圖，延長EC到點M，使得CM＝AI，連接DM，
∵在正方形ABCD中
∴∠ADC＝∠A＝∠DCE＝∠DCM＝90°，AD＝CD，
在△ADI與△CDM中，

∴△ADI≌△CDM（SAS）
∴DI＝DM，∠ADI＝∠CDM，
∵DE＝EG，∠DEG＝90°，
∴∠EDG＝∠EGD＝45°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠ADI＋∠CDE＝45°，
∴∠EDM＝∠CDM＋∠CDE＝45°，
∴∠EDM＝∠EDG，
在△EDM與△EDI中，

∴△EDM≌△EDI（SAS）
∴∠DEI＝∠DEC，
∴DE平分∠IEC；
（3）解：由（2）可知△EDM≌△EDI，
∴IE＝EM＝EC＋CM，
又∵CM＝AI，
∴IE＝EC＋CM＝EC＋AI，
∴△BEI的周長為BI＋BE＋IE＝BI＋BE＋EC＋AI＝AB＋BC，
∵正方形ABCD的邊長為3，
∴△BEI的周長為AB＋BC＝6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定及性質、等腰直角三角形的判定及性質，熟練掌握相關圖形的判定及性質以及作出正確的輔助線是解決本題的關鍵．
5.（江蘇省南通市崇川區(qū)八一中學2020-2021學年九年級上學期12月月考數(shù)學試題）已知：如圖，O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF＝CE，連接DF，交BE的延長線于點G，連接OG．
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）OG與BF有什么數(shù)量關系？證明你的結論；
（3）若GE·GB＝4－2，求正方形ABCD面積.

【答案】（1）詳見解析；（2）OG＝BF， 證明詳見解析；（3）正方形ABCD的面積為4.
【解析】
【分析】
（1）利用正方形的性質，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF；
（2）通過BD=BF；然后由三角形中位線定理證得OG=BF
（3）設BC=x，利用勾股定理解x，從而求得正方形ABCD的面積
【詳解】(1)證明：在正方形ABCD中,BC=CD,∠BCD=90°.
在BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF；
(2)OG=BF.
∵△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC，
∵∠BEC=∠DEG，
∴∠DGE=∠BCE=90°，即BG⊥DF
∵BE平分∠DBC，
∴BD=BF，G為DF的中點．
∵O為正方形ABCD的中心，
∴O為BD的中點，
∴OG=BF；
(3)設BC=x,則DC=x,BD=，
由(2),得BF=BD=.
∴CF=BF?BC=，
在Rt△DCF中，
DF2=DC2+CF2=x2+(?1)2x2，
∵∠GDE=∠GBC=∠GBD,∠DGE=∠BGD=90°，
∴△DGE∽△BGD，
∴ ，
即DG2=GE?GB=4?2，
∵DF=2DG，
∴DF2=4DG2=4(4?2)，
則x2+(?1)2x2=4(4?2).
解得x2=4.
∴正方形ABCD的面積為4.
6.（四川省成都市東部新區(qū)2020-2021學年九年級上學期期末學業(yè)質量檢測數(shù)學試題）如圖，BD是△ABC的角平分線，過點D分別作BC和AB的平行線，交AB于點E，交BC于點F．
（1）求證：四邊形BEDF是菱形；
（2）若AE＝3，BE＝4，求FC的長．
【答案】（1）見解析；（2）FC=
【解析】
【分析】（1）先證明四邊形BEDF為平行四邊形，再證明ED=EB，即可得到求證結論；
（2）由題意可得△AED∽△ABC，再由相似三角形的性質可得所求結論．
【詳解】（1）證明：DE//BC，AB//DF，
四邊形BEDF為平行四邊形.
BD平分∠ABC，
∠EBD=∠FBD,
DE//BC，
∴∠FBD=∠EDB
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB；
∴四邊形BEDF是菱形；
（2）ED//BC,
∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C
△AED∽△ABC
解得：BC=
FC=．
【點睛】本題考查四邊形的綜合應用，熟練掌握菱形的判定和三角形相似的判定與性質是解題關鍵．
7.（中國人民大學附屬中學2020-2021學年九年級下學期開學考試數(shù)學試題） 在平行四邊形ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．
（1）求證：四邊形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質得出DC∥AB，即DF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形DEBF為平行四邊形，根據(jù)矩形的判定得出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AD，得出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，得出∠DAF=∠BAF，即可得出答案．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四邊形DEBF為平行四邊形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四邊形DEBF為矩形；
（2）∵∠DEB=90°，
∴∠DEA=90°，
∵AE=3，DE=4，
∴AD= ，
∵DF=5，
∴AD=DF，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠FAD，
∴AF平分∠DAB．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形判定，勾股定理，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．
8.（重慶市巴蜀中學校2020-2021學年九年級上學期期末數(shù)學試題）已知：在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD和BC上，點G、H在對角線AC上，且BF=DE，AH=CG，連接FH、HE、BG、FG．
（1）求證：FG=EH．
（2）若EG平分∠AEH，F(xiàn)H平分∠CFG，F(xiàn)G//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度數(shù)．
【解析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質可得，，通過證明≌即可。
（2）利用角平分線的定義可得，再根據(jù)平行四邊形的性質求出，利用三角形外角的性質即可求解．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴≌，
∴FG=EH；
（2）∵FH平分∠CFG，∠GFH=35°，
∴，
∵FG//AB，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質等，掌握上述性質定理是解題的關鍵．
概率預測
☆☆☆
題型預測
解答題☆☆☆
考向預測
①三角形全等的判定
②特殊四邊形的判定
圖形
邊
角
對角線
平行四邊形
對邊平行且相等
對角相等
對角線互相平分
矩形
對邊平行且相等
四個角都是直角
對角線互相平分且相等
菱形
對邊平行，四邊相等
對角相等
對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角
正方形
對邊平行，四邊相等
四個角都是直角
對角線互相垂直平分、相等，每一條對角線平分一組對角
圖形
判定
平行四邊形
1：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
5：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
矩形
1：有三個角是直角的四邊形是矩形
2：有一個角是直角的平行四邊形是矩形
3：對角線相等的平行四邊形是矩形。
菱形
1：四邊都相等的四邊形是菱形。
2：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
3：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
正方形
1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形
2：有一個角是直角的菱形是正方形
3：對角線互相垂直的矩形是正方形
4：對角線相等的菱形是正方形

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