專(zhuān)題01 圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題 (典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、曲線方程的定義
一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個(gè)關(guān)系：
①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；
②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．
此時(shí)，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．
2、求曲線方程的一般步驟：
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；
（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫(xiě)出等式；
（4）用坐標(biāo)表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；
（5）確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍．
上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍．
3、求軌跡方程的方法：
3.1定義法：
如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。
3.2直接法：
如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)滿(mǎn)足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)所滿(mǎn)足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。
3.3代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：
如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。
3.4點(diǎn)差法：
圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.
二、典型題型
題型一：定義法求軌跡方程
1．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）分別寫(xiě)出滿(mǎn)足下列條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：
(1)點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為10；
(2)點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為12；
(3)點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為8．
2．（2022上·高二課時(shí)練習(xí)）求下列動(dòng)圓的圓心的軌跡方程：
(1)與圓和圓都內(nèi)切；
(2)與圓內(nèi)切，且與圓外切；
(3)在中，，，直線，的斜率之積為，求頂點(diǎn)的軌跡方程.
3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程.
題型二：直接法
1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
2．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若直線與直線的斜率的乘積為．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)說(shuō)明點(diǎn)的軌跡是何種幾何圖形．
3．（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知兩個(gè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線與直線的斜率之積為定值（）.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明隨變化時(shí)，方程所表示的曲線的形狀；
題型三：代入法（相關(guān)點(diǎn)法）
1．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，的角平分線交直線于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．
2．（2024上·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知圓的圓心為直線與直線的交點(diǎn)，且圓的半徑為.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若為圓上任意一點(diǎn)，，點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡方程.
3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段PA的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并分析此軌跡與圓的位置關(guān)系.
題型四：點(diǎn)差法
1．（2023上·廣東深圳·高二?？计谀┮阎獧E圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（）
A．B．
C．D．
2．（2023上·湖北·高二湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為橢圓（）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則該橢圓的方程為（）
A．B．C．D．
三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
一、單選題
1．（【名校面對(duì)面】2022-2023學(xué)年高二大聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)試題）已知圓，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
2．（2024上·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知定點(diǎn)為圓的動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
3．（2024上·四川達(dá)州·高二統(tǒng)考期末）已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)，的距離之和為8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）
A．B．C．D．
4．（2024上·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
5．（2024上·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓：和：都外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為（）
A．（）B．
C．（）D．（）
6．（2023上·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．B．
C．D．
7．（2023上·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
8．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市翔宇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）與圓：和圓：都外切的圓的圓心的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．（2024上·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知為直線上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為2，則（）
A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為B．
C．的最小值為D．的最大角為
三、解答題
10．（2024上·山西晉城·高三晉城市第一中學(xué)校校考期末）在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)3．
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

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