專題03 19題新結(jié)構(gòu)定義題（平面向量與解三角形部分）(典型題型歸類訓(xùn)練)-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).
(1)類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:_____________.（只寫出即可，不要求證明）；
(2)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若，試比較與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
2．（2023下·貴州貴陽·高一統(tǒng)考期末）閱讀材料：材料一：我國南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，記小斜為，中斜為，大斜為，則三角形的面積為.這個(gè)公式稱之為秦九韶公式；材料二：古希臘數(shù)學(xué)家海倫在其所著的《度量論》或稱《測(cè)地術(shù)》；中給出了用三角形的三條邊長表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長分別為，則它的面積為，其中，這個(gè)公式稱之為海倫公式；材料三：秦九韶公式和海倫公式都解決了由三角形的三邊直接求三角形面積的問題.海倫公式形式優(yōu)美，容易記憶，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，秦九韶公式雖然與海倫公式形式不一樣，但與海倫公式完全等價(jià)，且由秦九韶在不借助余弦定理的情況下獨(dú)立推出，充分說明了我國古代學(xué)者具有很高的數(shù)學(xué)水平；材料四：印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多將海倫公式推廣到凸四邊形（凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在直線，其余各邊均在此直線的同側(cè)）中，即設(shè)凸四邊形的四條邊長分別為，，凸四邊形的一對(duì)對(duì)角和的半為，則凸四邊形的面積為.這個(gè)公式稱之為婆羅摩笈多公式.請(qǐng)你結(jié)合閱讀材料解答下面的問題：
(1)在下面兩個(gè)問題中選擇一個(gè)作答：（如果多做，按所做的第一個(gè)問題給分）①證明秦九韶公式與海倫公式的等價(jià)性；②已知圓內(nèi)接四邊形中，，，，，求的面積；
(2)中，的對(duì)邊分別為，已知的面積為6，其內(nèi)切圓半徑為1，，求，.
3．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測(cè)地術(shù)》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計(jì)算三角形面積的公式：，這個(gè)公式常稱為海倫公式.其中，.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計(jì)算三角形面積的公式：，這個(gè)公式常稱為“三斜求積”公式.
(1)利用以上信息，證明三角形的面積公式；
(2)在中，，，求面積的最大值.
4．（2023下·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）設(shè)n次多項(xiàng)式，若其滿足，則稱這些多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式．例如：由可得切比雪夫多項(xiàng)式，由可得切比雪夫多項(xiàng)式．
(1)若切比雪夫多項(xiàng)式，求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；
(2)已知函數(shù)在上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為，證明：．
5．（2022上·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期中）閱讀下面的兩個(gè)材料：
材料一：我國南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜?中斜和大斜，記小斜為，中斜為，大斜為，則三角形的面積為．這個(gè)公式稱之為秦九韶公式；
材料二：希臘數(shù)學(xué)家海倫在其所著的《度量論》中給出了用三角形的三條邊長表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長分別為，則它的面積為，其中，這個(gè)公式稱之為海倫公式．
請(qǐng)你解答下面的兩個(gè)問題：
(1)已知的三條邊為，求這個(gè)三角形的面積；
(2)已知的三條邊為，求這個(gè)三角形的面積；
(3)請(qǐng)從秦九韶公式和海倫公式中任選一個(gè)公式進(jìn)行證明．（如果多做，則按所做的第一個(gè)證明記分）．
6．（2024上·河南·高三校聯(lián)考期末）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：．若，則稱為空間向量與的叉乘，其中（），（），為單位正交基底．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知A，B是空間直角坐標(biāo)系中異于O的不同兩點(diǎn)．
(1)①若，，求；
②證明：．
(2)記的面積為，證明：．
(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．
7．（2023下·北京·高一北京八十中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，對(duì)于任意相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整點(diǎn)列（整點(diǎn)即橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），，，，與，，，，，其中，若同時(shí)滿足：①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②線段，其中，則稱與互為正交點(diǎn)列.
(1)求：，，的正交點(diǎn)列；
(2)判斷：，，，是否存在正交點(diǎn)列？并說明理由；
(3)，，是否都存在無正交點(diǎn)列的有序整點(diǎn)列？并證明你的結(jié)論.
8．（2023下·北京東城·高一統(tǒng)考期末）對(duì)于三維向量，定義“變換”：，其中，．記，．
(1)若，求及；
(2)證明：對(duì)于任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使；
(3)已知，將再經(jīng)過次變換后，最小，求的最小值．

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