命題人：武漢市第十四中學(xué) 杜萬(wàn)能 審題人：武漢市第十二中學(xué) 段玉慧
考試時(shí)間：2024年11月14日 試卷滿分：150分
★?？荚図樌?br>注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 天氣預(yù)報(bào)甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則至少有一地降雨的概率（ ）
A. 0.06B. 0.94C. 0.56D. 0.44
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)立事件概率性質(zhì)，“至少一個(gè)地方降雨”與“甲乙兩地都不降雨”互為對(duì)立事件，即可代入求解.
【詳解】設(shè)事件“甲地降雨”，事件“乙地降雨”，則事件與相互獨(dú)立.
由題意知，
則，
所以至少有一地降雨概率為，
.
故選：D.
2. 如果，，則直線不經(jīng)過(guò)（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率及縱截距，再判斷正負(fù)即可得解.
【詳解】由，得，
又，，
則符號(hào)相反，符號(hào)相反，
所以符號(hào)相同，
所以直線的斜率，在軸上的截距，
所以直線不通過(guò)第三象限.
故選：C.
3. 與圓同圓心，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同圓心,可設(shè)圓的一般式方程為,代入點(diǎn)即可求解.
【詳解】設(shè)所求圓的方程為，由該圓過(guò)點(diǎn)，得m＝4，
所以所求圓的方程為.
故選：B
4. 從長(zhǎng)度為2，4，6，8，10的5條線段中任取3條，這三條線段能夠成一個(gè)三角形的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.
【詳解】從條線段中任取3條，則有，，，，，，，，，，共10個(gè)基本事件；
其中三條線段能夠成三角形的基本事件有：，，，共3個(gè)；
三條線段能夠成一個(gè)三角形的概率概率.
故選：B.
5. 已知，，經(jīng)過(guò)作直線，若直線與線段恒有公共點(diǎn)，則直線傾斜角的范圍（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題知，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角范圍即可.
【詳解】
設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，
因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以或，
故直線的傾斜角的取值范圍是．
故選：C．
6. 在《線性代數(shù)》中定義：對(duì)于一組向量，，存在一組不全為0的實(shí)數(shù)，，使得：成立，那么則稱(chēng)，，線性相關(guān)，只有當(dāng)時(shí)，才能使成立，那么就稱(chēng)，，線性無(wú)關(guān).若為一組不共面的空間向量，則以下向量組線性無(wú)關(guān)的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量組線性相關(guān)，無(wú)關(guān)的定義列出等式，解方程組即可判斷.
【詳解】因?yàn)闉橐唤M不共面的空間向量，則不能用，線性表示，
即只有當(dāng)時(shí)，.
對(duì)于A：設(shè)，
整理得：，
所以有，取，
所以，，線性相關(guān)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：設(shè)，
整理得：，
所以有，取，
所以，，線性相關(guān)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：設(shè)，
整理得：，
所以有，取，
所以，，線性相關(guān)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：設(shè)，
整理得：，
所以有，解得，
所以，，線性無(wú)關(guān)，故D正確.
故選：D
7. 若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，利用圓與圓的位置關(guān)系，即可求的取值范圍.
【詳解】到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)的軌跡為圓，
因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
易知，，，，，
所以，即，
解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
8. 已知點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則點(diǎn)到直線距離的最大值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】假設(shè)點(diǎn)，求得以為直徑的圓的方程，與已知圓的方程作差可得直線的方程，然后可知直線過(guò)定點(diǎn)，最后判斷和計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，
則以為直徑的圓的方程為，
與圓的方程相減，得到直線的方程為：，
又，可得，即，
可得，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，
點(diǎn)到直線距離的最大值即為點(diǎn)，之間的距離，，
所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.
故選：A.
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.）
9. 若三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由三條直線不能?chē)扇切?，則三條直線中至少有兩條直線平行或三條直線交于同一點(diǎn)列式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，，
由，解得，
所以與的交點(diǎn)為，
因?yàn)槿龡l直線不能?chē)扇切?，所以過(guò)與的交點(diǎn)或或，
當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上，的值為.
故選：ABD.
10. 在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若為空間任意一點(diǎn)，且，則
B. 與所成角的大小為
C. 在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值
D. 在線段上存在一點(diǎn)，使得平面
【答案】AC
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷A，由異面直線夾角的向量法代入計(jì)算，即可判斷B，由平面以及等體積法即可判斷C，求得平面的法向量，代入計(jì)算，即可判斷D
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，則，
，
由可得，
即，所以，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，，設(shè)與所成角為，
則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋移矫?，平面?br>所以平面，又點(diǎn)在直線上，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，
且為定值，所以為定值，故C正確；
設(shè)在線段上存在點(diǎn)，符合題意，
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，又，
則，即，所以，
即，
設(shè)平面的法向量為，且，
所以，解得，取，則，
則，方程無(wú)解，
所以線段上不存在一點(diǎn)，使得平面，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
11. 已知圓，圓，（，且，不同時(shí)為0）交于不同的兩點(diǎn)，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. ，
B. 直線的方程為：
C. 若點(diǎn)是圓內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，以為中點(diǎn)的弦所在的直線為，直線，則且與圓相離
D. ，為圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)A，根據(jù)兩圓半徑相等, 則的中點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，計(jì)算得解；對(duì)B，兩圓方程相減就得到公共弦所在的直線的方程；對(duì)C，根據(jù)圓的性質(zhì)求出直線的斜率和方程可判斷，再求出圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系；對(duì)D，設(shè)的中點(diǎn)為，可得，利用弦長(zhǎng)可求得，即點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，數(shù)形結(jié)合求解.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閮蓤A半徑相等, 所以的中點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，
所以，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，將圓與圓的方程相減可得公共弦所在的直線的方程為，故B正確；
對(duì)于C，由題意，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線，，
所以，則直線為，所以，
又點(diǎn)到直線的距離為，又點(diǎn)Px0,y0在圓內(nèi)，則，
所以圓心到直線的距離為，則直線與圓心相離，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，則，由，
可得，即點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，
所以，
所以的最大值為，故D正確.
故選：BCD.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)位置的橫線上.）
12. 已知向量，向量，若，則為_(kāi)________
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的共線，可得向量之間有倍數(shù)關(guān)系，由此可得方程組，即可求解答案.
【詳解】已知向量，向量，
因?yàn)?，則，
所以，
即，解得，
所以.
故答案為：.
13. 甲乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，在前三局比賽中，甲勝2局，乙勝1局，規(guī)定先勝3局者取得最終勝利，已知甲在每局比賽中獲勝的概率為，乙在每局比賽中獲勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲取得最終勝利的概率為_(kāi)________
【答案】
【解析】
【分析】分還進(jìn)行一局比賽、兩局比賽兩種情況討論，按照相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)甲取得最終勝利為事件，則.
故答案為：
14. 集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，集合表示中心為O0,0，邊長(zhǎng)為的正方形向左或向右平移個(gè)單位得到，集合表示四個(gè)半圓圍成的圖形，數(shù)形結(jié)合求解.
【詳解】定義集合，集合表示中心為O0,0，邊長(zhǎng)為的正方形，如圖所示，
集合可看作集合表示的正方形向左或向右平移個(gè)單位得到，
集合表示如圖的四個(gè)半圓圍成的圖形，若，
則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）
15. 一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為、、、的個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次
（1）求摸出兩球標(biāo)號(hào)互質(zhì)的概率；
（2）設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于”，事件“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于”，判斷事件與事件是否相互獨(dú)立.
【答案】（1）
（2）不獨(dú)立，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）記事件摸出兩球標(biāo)號(hào)互質(zhì)，列舉出樣本空間，以及事件包含的樣本點(diǎn)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用獨(dú)立事件的定義判斷可得出結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
討論摸出兩球的標(biāo)號(hào)，記事件摸出兩球標(biāo)號(hào)互質(zhì)，
樣本空間為，共個(gè)樣本點(diǎn)，
每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，
，共個(gè)樣本點(diǎn)，故.
因此，摸出兩球標(biāo)號(hào)互質(zhì)的概率為.
【小問(wèn)2詳解】
樣本空間為，
共個(gè)樣本點(diǎn)，
，
，，
則，，所以，，
所以，事件與事件不獨(dú)立.
16. 如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度都為，且.

（1）求的長(zhǎng)度；
（2）求直線和直線所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，，，將用、、表示，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得線段的長(zhǎng)度；
（2）計(jì)算得出，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得直線和直線所成角的余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，，，
由題意可知，，，
由空間向量數(shù)量積的定義可得，
，
則，
故.
【小問(wèn)2詳解】
，
則，
，則.
故直線和直線所成角的余弦值為.
17. 已知圓，直線
（1）求證：直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)
（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，三角形的面積有最大值，并求出該最大值
【答案】（1）證明見(jiàn)詳解
（2），最大值為10
【解析】
【分析】（1）先證明直線過(guò)定點(diǎn)，再說(shuō)明定點(diǎn)在圓內(nèi)即可；
（2）設(shè)圓心到直線的距離為，注意到，又，可以求出面積的最大值，注意驗(yàn)證取等條件，進(jìn)一步由斜率關(guān)系可以求出參數(shù)，由此即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)橹本€，可得，
所以，解得，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，
將點(diǎn)代入圓方程可得，
所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓恒有兩交點(diǎn).
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)圓心到直線的距離為，
則，
，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，三角形面積最大，最大值為.
此時(shí)，且，則，即，解得.
所以當(dāng)時(shí)，三角形的面積最大，最大值為.
18. 如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，.
（1）若平面平面，求證：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值；
（3）若是線段上動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成角最大，并求出該最大角.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3），最大角為
【解析】
【分析】（1）先證明平面，再證明即可得證；
（2）計(jì)算出平面的法向量，而平面的一個(gè)法向量為，兩個(gè)法向量的夾角即為所求二面角；
（3）設(shè)，求出與平面的夾角的正弦值為，再經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值及取得最大值的條件.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br>因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)槠矫?，，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>又因?yàn)槠矫?，所以平?
【小問(wèn)2詳解】
以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，
設(shè)平面的法向量為，則有，取，則，
因?yàn)槠矫?，所以平面一個(gè)法向量為，
，所以與平面所成角的余弦值為.
【小問(wèn)3詳解】
，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則有，取，則，，則與平面的夾角的正弦值為，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為，
所以當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，與平面的夾角的最大值為.
19. 已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，記線段中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線
（1）求曲線的方程
（2）過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，且不過(guò)曲線的中心，再過(guò)點(diǎn)，分別作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在同一直線上，并求出該直線的方程
（3）斜率為的直線與曲線相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，直線，的斜率分別為，，且.若，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值
【答案】（1） （2）詳見(jiàn)解析； （3）證明見(jiàn)詳解
【解析】
【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；
（2）設(shè)，，，由，可得直線所在的直線方程，又點(diǎn)在直線上，可得證；
（3）設(shè)直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，即可求解定點(diǎn)坐標(biāo)，由幾何圖形可知，，再利用直角三角形，斜邊的中線等于斜邊的一半，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)線段的中點(diǎn)為，，
，即，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，
所以，化簡(jiǎn)得，
所以曲線的方程為.
小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，，點(diǎn)在圓外部，
由，可得，即，
又，可得，
同理，由可得，
所以直線所在的直線為，又點(diǎn)在直線上，
，即，
所以點(diǎn)在同一條直線上，直線方程為.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)直線，，，，
由，得，
，，
，即，
，所以，
所以直線的方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)闉槎ㄖ?，為直角三角形，為斜邊?br>所以當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，，
所以存在定點(diǎn)，使得為定值.

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湖北省部分省級(jí)示范高中2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)試卷（Word版附解析）

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2021-2022學(xué)年湖北省部分省級(jí)示范高中高二上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題（PDF版）

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