湖北省宜昌市部分省級示范高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題學(xué)校：葛洲壩中學(xué) 命題人：曹齊艷
審題學(xué)校：三峽高中審題人：郭永亮
審題學(xué)校：枝江一中審題人：時愛華
考試時間：120分鐘滿分：150分
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填涂到答題卡指定位置．
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡與本題對應(yīng)范圍內(nèi)．寫在本試卷上無效．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的四則運算及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.
詳解】由，
可得：，
所以的共軛復(fù)數(shù)是.
故選：C.
2. 已知表示兩條不同直線，表示平面，則下列命題正確的是（）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間中直線、平面的位置關(guān)系進行逐項判斷即可.
【詳解】因為，，則或相交或異面，故A錯誤；
由，，則與的關(guān)系無法確定，可能平行，可能相交，可能在平面內(nèi)，故B錯誤；
若，，則，故C正確；
若，，則或，故D錯誤.
故選：C.
3. “”是“直線與直線平行”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】充分必要條件的判斷：把兩個命題分別作為條件和結(jié)論，判定由條件能否推出結(jié)論即可.
【詳解】當時，，，顯然，兩直線平行，滿足充分條件；
當與直線平行時，，則
∴或，
當時顯然成立，當時，，，
整理后與重合，故舍去，
∴，滿足必要條件；
∴“”是“直線與直線平行”的充要條件
故選：C
4. 在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，用計算機產(chǎn)生之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)、、時表示一局比賽甲獲勝，當出現(xiàn)4、5時表示一局比賽乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機數(shù)為一組，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)，結(jié)果如下：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
則估計在本次比賽中甲獲得冠軍的概率是（）
A. 0.35B. 0.55C. 0.6D. 0.65
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由隨機數(shù)組來確定勝負情況，根據(jù)20組數(shù)據(jù)中滿足條件的數(shù)組個數(shù)，除以總數(shù)即可得解.
【詳解】表示甲獲得冠軍的數(shù)有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，
334，151，314共13組數(shù)，故估計該場比賽甲獲勝的概率為.
故選：D
5. 已知點在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點，正數(shù)滿足，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空間向量共面定理的推論可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】由題意知，四點共面，又，
則，
所以，即，
因為，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
6. 已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，棱錐的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，則球的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷球心在三棱錐的高線上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半徑即得.
【詳解】如圖，設(shè)點在底面的射影為點，
因底面邊長均為，側(cè)棱長均為，故球心在上，
連接，設(shè)球的半徑為，則，
由正弦定理，解得，
在中，，則，
在中，由，解得，
則球的表面積為.
故選：B.
7. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式化簡可得，進而結(jié)合余弦定理可得，進而結(jié)合面積公式即可求解.
【詳解】由，
根據(jù)正弦定理得，，
即，
即，
即，
因為，則，
所以，即，
所以，
又，
則，即，
又，
所以的面積為.
故選：A.
8. 已知橢圓的焦距為，若直線恒與橢圓有兩個不同的公共點，則橢圓的離心率范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓焦點坐標以及直線過定點可得點在橢圓內(nèi)部，整理不等式可得離心率.
【詳解】將直線整理可得，
易知該直線恒過定點，
若直線恒與橢圓有兩個不同的公共點，可知點在橢圓內(nèi)部；
易知橢圓上的點當其橫坐標為時，縱坐標為，即可得，
整理可得，即，
解得.
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有錯選的得0分.
9. 下面四個結(jié)論不正確的是（）
A. 已知，，若，則的夾角為鈍角
B. 已知，，則在上的投影向量是
C. 若直線經(jīng)過第三象限，則，
D. 設(shè)是空間向量的一組基底，則也是空間向量的一組基底
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，C，利用反例來判斷；對于B，根據(jù)投影向量的定義計算即可；對于D，證明共面，即可判斷.
【詳解】對于A，當時，，，，此時的夾角為，故A錯誤；
對于B，向量在向量上的投影向量為，故B正確；
對于C，令，，，則直線為，此時直線經(jīng)過第三象限，但，故C錯誤；
對于D，若，則，所以共面，故不能作為基底，故D錯誤.
故選：ACD.
10. 已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為;去掉的兩個數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為﹔原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若=，則下列說法正確的是（）
A.
B.
C. 剩下28個數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)
D. 剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A選項，求出剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的和、去掉的兩個數(shù)據(jù)和、原樣本數(shù)據(jù)和，列出方程即可；
對于B選項，寫出和的表達式即可；
對于C選項，根據(jù)中位數(shù)定義判斷即可；
對于D選項，根據(jù)分位數(shù)定義判斷即可.
【詳解】A. 剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的和為，去掉的兩個數(shù)據(jù)和為，原樣本數(shù)據(jù)和為，所以，因為=，所以，故A選項正確；
B.設(shè)，，
因為，所以，所以，
所以，故B選項正確；
C. 剩下28個數(shù)據(jù)中位數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故C選項錯誤；
D. ，所以原數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為從小到大的第7個；
，所以剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為從小到大的第7個；
因為去掉了最小值，則剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)，故D正確.
故選：ABD.
11. 已知正方體棱長為為正方體內(nèi)切球的直徑，點為正方體表面上一動點，則下列說法正確的是（）
A. 當為中點時，與所成角余弦值為
B. 當面時，點的軌跡長度為
C. 的取值范圍為
D. 與所成角的范圍為
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立空間直角坐標系利用空間向量即可得A正確，利用線面平行性質(zhì)以及椎體體積公式計算可得點的軌跡即是線段，可得B正確，利用極化恒等式計算可得C正確，由點的位置關(guān)系可知D錯誤.
【詳解】根據(jù)題意，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
對于A，如下圖所示：
易知，則,
可得，
即當為中點時，與所成角余弦值為，可得A正確；
對于B，易知是邊長為的正三角形，故其面積為，
由三棱錐的體積為，可得點到平面的距離為，
即點在與平面平行且距離為的平面內(nèi)，連接，如下圖所示：
由正方體性質(zhì)可得平面平面，且兩平面間的距離等于，所以點平面，
又面，平面平面，即可得點的軌跡即是線段，
因此點的軌跡長度為，即可得B正確；
對于C，依題意可知即為正方體的中心，如下圖所示：
，
又因為為球的直徑，所以，
即可得，
又易知當點為正方體與球的切點時，最??；當點為正方體的頂點時，最大；
即，因此可得的取值范圍為，即C正確；
對于D，易知的中點即為球心，如下圖所示：
當與球相切時，與所成的角最大，此時，
顯然，結(jié)合兩直線所成角的范圍可知與所成角的范圍為錯誤，即D錯誤.
故選：ABC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量滿足與的夾角為，則_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)模長公式即可求解.
【詳解】，
，
，
故答案為：
13. 在一個建筑工地上，有一個用來儲存材料的圓臺形容器．已知該圓臺形容器的上底面圓的直徑是6米，下底面圓的直徑是12米，母線長為5米，不考慮該圓臺形容器壁的厚度，則該圓臺形容器的容積是________立方米．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓臺的體積公式計算．
【詳解】由已知圓臺的上底半徑為米，下底半徑為米，母線長為米，所以高為（米），
體積為（立方米）．
故答案為：．
14. 已知，，若圓上存在點P滿足，則的取值范圍是______________
【答案】
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標表示求得點的軌跡方程為圓，再利用兩圓相交得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.
【詳解】設(shè)點，則，，
所以，則，
所以點的軌跡方程為，圓心為，半徑為3，
由此可知圓與有公共點，
又圓的圓心為，半徑為2，
所以，解得，即取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 在平面直角坐標系中，已知三點.
（1）若直線過點且與直線BC垂直，求直線的方程；
（2）若直線經(jīng)過點，且在軸上的截距是軸上截距的倍，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求得直線AB的斜率，再根據(jù)兩直線垂直斜率關(guān)系結(jié)合點斜式求解即可；
（2）分析當截距均為時的情況，再設(shè)直線方程為，根據(jù)直線經(jīng)過點求解即可.
【小問1詳解】
由可得直線AB的斜率為，
因，故直線的斜率為，
則直線的方程為，即
【小問2詳解】
當截距均為時，直線方程為，符合題意，
當截距不為時，不妨設(shè)直線方程為，
又直線經(jīng)過點，故，即，所以直線方程為，
綜上，所求直線方程為或.
16. 為普及消防安全知識，某學(xué)校組織相關(guān)知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，，甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響.
（1）甲在比賽中恰好贏一輪的概率；
（2）若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用相互獨立事件的乘法公式求解；
（2）先求出兩人中至少有一人贏得比賽的對立事件甲、乙兩人都未贏得比賽的概率，再去求甲、乙兩人至少有一人贏得比賽的概率.
【小問1詳解】
設(shè)“甲在第一輪比賽中勝出”，“甲在第二輪比賽中勝出”，
“乙在第一輪比賽中勝出”，“乙在第二輪比賽中勝出”，
則，，，相互獨立，且，，，，
所以，，
設(shè)“甲在比賽中恰好贏一輪”
則.
【小問2詳解】
因為在兩輪比賽中均勝出贏得比賽，則“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”,
所以，,
設(shè)“甲贏得比賽”，“乙贏得比賽”.
于是=“兩人中至少有一人贏得比賽”，
由，,
所以，，
所以.
17. 公元前3世紀，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果:平面內(nèi)到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓，后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.已知平面直角坐標系中且.
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若點P在（1）的軌跡上運動，點M為AP的中點，求點M的軌跡方程;
（3）若點在（1）的軌跡上運動，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)出，由題意列出方程，化簡得到點P的軌跡方程；
（2）利用相關(guān)點法求解點M的軌跡方程；
（3）表示的幾何意義為圓心為，半徑為2的圓上的點與連線的斜率，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求出最值，從而求出取值范圍.
【小問1詳解】
設(shè)，則，
化簡得：，故點P的軌跡方程為；
【小問2詳解】
設(shè)，因為點M為AP的中點，
所以點P的坐標為，
將代入中，得到，
所以點M的軌跡方程為；
【小問3詳解】
因為點在（1）的軌跡上運動，
所以，變形為，
即點為圓心為，半徑為2的圓上的點，
則表示的幾何意義為圓上一點與連線的斜率，如圖：
當過的直線與圓相切時，取得最值，
設(shè)，
則由點到直線距離公式可得：，
解得：或·，
故的取值范圍是.
18. 如圖，在四棱錐中，平面平面，，為中點，點在上，且.

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）線段上是否存在點，使得平面？說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由題意和勾股定理可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得，進而建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法即可求出該面面角；
（3）假設(shè)存在這樣的點Q，則存在使得.利用線面平行和空間向量的坐標表示建立關(guān)于的方程，解得，即可下結(jié)論.
【小問1詳解】
在中，
所以，即.
又因為，在平面中，，
所以平面.
【小問2詳解】
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，由平面，得
由（2）知，且已知，
故以A為原點，建立如圖空間直角坐標系，
則，.

所以
因為為中點，所以.
由知，.
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則.于是.
由（1）知平面，所以平面的法向量為.
所以，
由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為；
【小問3詳解】
設(shè)是線段上一點，則存在使得.
因為，
所以.
因為平面，所以平面，當且僅當，
即.
即.解得.
因為，
所以線段上不存在使得平面.
19. 已知四個點中恰有三個點在橢圓：上.
（1）判斷哪個點不在橢圓上，并求出橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點分別是、，點是直線上一點，直線、與橢圓的另一個交點分別為、，求證：直線過定點.
【答案】（1）不在橢圓上，
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分析可得必在橢圓C上，不在橢圓上，代入即得解；
（2）方法一，設(shè)直線MN：， M()，N()，P()，利用P、M、A和P、B、N三點共線得，聯(lián)立消元結(jié)合韋達定理的得，代入上式求解即可；
方法二，討論直線PA，PB斜率與零的關(guān)系，然后分別設(shè)直線PA，PB方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，求出M、N的坐標，進而求出直線MN的方程式，求出定點即可，
【小問1詳解】
因為關(guān)于y軸對稱，必定均在橢圓上，代入得：.
若點在橢圓上，則，與上式矛盾.
所以不在橢圓上.
由，解得，
故橢圓的方程為.
【小問2詳解】
方法一：
設(shè)直線MN：， M()，N()，P().
由題意得： ① ， ②，
由①②得：，
又，代入上式得： ③
把聯(lián)立消元得：，
即=0，
所以，，
由③得：，
即，
將，，
代入上式得：，
即，
則，故直線MN恒過定點，
方法二：
當直線PA，PB斜率不為0時，
設(shè)直線PA：，直線PB：
令得：，即.
將PA：代入得：，
即，
則，所以，
即，
又，則有
將PB：代入得：，
即，
則，所以，
即
于是，，
而直線MN：，
令得: .
又當直線PA，PB斜率為0時，MN也過點.
故直線MN過定點.

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