二次函數(shù)與動點問題的背景是特殊圖形,考查問題也是二次函數(shù)的有個性質(zhì)和特殊圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)的數(shù)學思想方法主要是數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中,特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置.)
動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、
相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或三角函數(shù)、線段或面積的最值.
解決“動點型問題”的關(guān)鍵是動中求靜，靈活運用“動中求靜”，找到并運用不變的數(shù)、不變的量、不變的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系及綜合應(yīng)用代數(shù)、幾何知識解決問題. 根據(jù)題意靈活運用特殊三角形和四邊形的相關(guān)性質(zhì)、判定、定理知識確定二次函數(shù)關(guān)系式，通過二次函數(shù)解析式或函數(shù)圖象判定“動點型問題”涉及的線與線關(guān)系、特殊三角形、四邊形及相應(yīng)的周長、面積，還有存在、最值等問題.
【例1】（2022?本溪二模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（3，0），C（﹣1，0）兩點，與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點M是線段AB上方拋物線上一動點，以AB為邊作平行四邊形ABMD，連接OM，若OM將平行四邊形ABMD的面積分成為1：7的兩部分，求點M的橫坐標；
（3）如圖2，點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿B→A勻速運動，同時點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿A→O→B勻速運動，當點P到達點A時，P、Q同時停止運動，設(shè)點P運動的時間為t秒，點G在坐標平面內(nèi)，使以B、P、Q、G為頂點的四邊形是菱形，直接寫出所有符合條件的t值．
【例2】（2022?沈北新區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且OA＝OC＝3OB，連接AC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點P和動點Q同時出發(fā)，點P從點C以每秒2個單位長度的速度沿CA運動到點A，點Q從點O以每秒1個單位長度的速度沿OC運動到點C，連接PQ，當點P到達點A時，點Q停止運動，求S△CPQ的最大值及此時點P的坐標；
（3）點M是拋物線上一點，是否存在點M，使得∠ACM＝15°？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【例3】（2022?三亞模擬）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸正半軸、y軸分別交于A（3，0）、B（0，3）兩點，點P為拋物線的頂點，連接AB、BP．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求∠PBA的度數(shù)；
（3）如圖2，點M從點O出發(fā)，沿著OA的方向以1個單位/秒的速度向A勻速運動，同時點N從點A出發(fā)，沿著AB的方向以個單位/秒的速度向B勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，ME⊥x軸交AB于點E，NF⊥x軸交拋物線于點F，連接MN、EF．
①當EF∥MN時，求點F的坐標；
②在M、N運動的過程中，存在t使得△BNP與△BMN相似，請直接寫出t的值．
【例4】（2021?長沙模擬）在一個三角形中，如果其中某兩邊的長度之和等于第三邊長度的兩倍，則稱該三角形為“調(diào)和三角形”例如我們學過的等邊三角形就是“調(diào)和三角形”．
（1）已知一個“調(diào)和三角形”三條邊的長度分別為4，6，m﹣1，求m的值．
（2）已知Rt△ABC是“調(diào)和三角形”，它的三邊長分別為a，b，c，且a＜b＜c．
①求a：b：c的值；
②若△ABC周長的數(shù)值與面積的數(shù)值相等，求a，b，c的值．
（3）在（2）的條件下，動點P從點A出發(fā)以每秒2個單位c長度的速度沿路線A→B→C運動，動點Q從點C出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒，設(shè)y＝PQ2．
①求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②求y的最小值．
1．（2021?遵化市模擬）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標；
（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從 點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．
2．（2020?市中區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交于點C，D（4﹣4，0）．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；
（3）在第一象限的拋物線上取一點G，使得S△GCB＝S△GCA，再在拋物線上找點E（不與點A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E點的坐標．
3．（2020?項城市三模）如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣3，0），C（5，0）兩點，點B為拋物線頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點P從點B出發(fā)，沿線段BD向終點D作勻速運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t，過點P作PM⊥BD，交BC于點M，以PM為正方形的一邊，向上作正方形PMNQ，邊QN交BC于點R，延長NM交AC于點E．
①當t為何值時，點N落在拋物線上；
②在點P運動過程中，是否存在某一時刻，使得四邊形ECRQ為平行四邊形？若存在，求出此時刻的t值；若不存在，請說明理由．
4．（2018?泉山區(qū)三模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BD＝BC，有一動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；
（3）該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MA的值最?。咳舸嬖?，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
5．（2018?揚州）如圖1，四邊形OABC是矩形，點A的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，6），點P從點O出發(fā)，沿OA以每秒1個單位長度的速度向點A運動，同時點Q從點A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，當點P與點A重合時運動停止．設(shè)運動時間為t秒．
（1）當t＝2時，線段PQ的中點坐標為 ；
（2）當△CBQ與△PAQ相似時，求t的值；
（3）當t＝1時，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過P，Q兩點，與y軸交于點M，拋物線的頂點為K，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標；若不存在，說明理由．
6．（2019?蘭州）二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點（﹣1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C．動點M從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動，過點M作MN⊥x軸交直線BC于點N，交拋物線于點D，連接AC，設(shè)運動的時間為t秒．
（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的表達式；
（2）連接BD，當t＝時，求△DNB的面積；
（3）在直線MN上存在一點P，當△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點D的坐標；
（4）當t＝時，在直線MN上存在一點Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求點Q的坐標．
7．（2019?鄂州）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，AB＝4，交y軸于點C，對稱軸是直線x＝1．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）連接BC，E是線段OC上一點，E關(guān)于直線x＝1的對稱點F正好落在BC上，求點F的坐標；
（3）動點M從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，交線段BC于點Q．設(shè)運動時間為t（t＞0）秒．
①若△AOC與△BMN相似，請直接寫出t的值；
②△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．
8．（2019?樂山）如圖，已知拋物線y＝a（x+2）（x﹣6）與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于C點，且tan∠CAB＝．設(shè)拋物線的頂點為M，對稱軸交x軸于點N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為拋物線的對稱軸上一點，Q（n，0）為x軸上一點，且PQ⊥PC．
①當點P在線段MN（含端點）上運動時，求n的變化范圍；
②在①的條件下，當n取最大值時，求點P到線段CQ的距離；
③在①的條件下，當n取最大值時，將線段CQ向上平移t個單位長度，使得線段CQ與拋物線有兩個交點，求t的取值范圍．
9．（2019?西寧）如圖①，直線y＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，以A為頂點的拋物線經(jīng)過點B，點P是拋物線上一點，連接OP，AP．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若△AOP的面積是3，求P點坐標；
（3）如圖②，動點M，N同時從點O出發(fā)，點M以1個單位長度/秒的速度沿x軸正半軸方向勻速運動，點N以個單位長度/秒的速度沿y軸正半軸方向勻速運動，當其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動，過點N作NE∥x軸交直線AB于點E．若設(shè)運動時間為t秒，是否存在某一時刻，使四邊形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
10．（2019?沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過點D（﹣2，﹣3）和點E（3，2），點P是第一象限拋物線上的一個動點．
（1）求直線DE和拋物線的表達式；
（2）在y軸上取點F（0，1），連接PF，PB，當四邊形OBPF的面積是7時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，當點P在拋物線對稱軸的右側(cè)時，直線DE上存在兩點M，N（點M在點N的上方），且MN＝2，動點Q從點P出發(fā)，沿P→M→N→A的路線運動到終點A，當點Q的運動路程最短時，請直接寫出此時點N的坐標．
11．（2019?湖州）如圖1，已知在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是矩形，點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，連接AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中點．
（1）求OC的長和點D的坐標；
（2）如圖2，M是線段OC上的點，OM＝OC，點P是線段OM上的一個動點，經(jīng)過P，D，B三點的拋物線交x軸的正半軸于點E，連接DE交AB于點F．
①將△DBF沿DE所在的直線翻折，若點B恰好落在AC上，求此時BF的長和點E的坐標；
②以線段DF為邊，在DF所在直線的右上方作等邊△DFG，當動點P從點O運動到點M時，點G也隨之運動，請直接寫出點G運動路徑的長．
12．（2021?高明區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB∥x軸，如圖1，C（1，0），且OC：OA＝AC：BC＝1：2．
（1）A點坐標為 ，B點坐標為 ；
（2）求過A、B、C三點的拋物線表達式；
（3）如圖2，拋物線對稱軸與AB交于點D，現(xiàn)有一點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一點Q從點D與點P同時出發(fā)，以每秒5個單位在拋物線對稱軸上運動．當點P到達B點時，點P、Q同時停止運動，問點P、Q運動到何處時，△PQB面積最大，試求出最大面積．
13．（2020?香洲區(qū)校級一模）如圖1，矩形OBCD的邊OD，OB分別在x軸和y軸上，且B（0，8），D（10，0）．點E是DC邊上一點，將矩形OBCD沿過點O的射線OE折疊，使點D恰好落在BC邊上的點A處．
（1）若拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A，D，求此拋物線的解析式；
（2）若點M是（1）中的拋物線對稱軸上的一點，點N是坐標平面內(nèi)一點，是否存在M，N使以A，M，N，E為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由；
（3）如圖2，動點P從點O出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個單位的速度向終點D運動，動點Q從點D出發(fā)沿折線D﹣C﹣A以同樣的速度運動，兩點同時出發(fā)，當一點運動到終點時，另一點也隨之停止，過動點P作直線l⊥x軸，依次交射線OA，OE于點F，G，設(shè)運動時間為t（秒），△QFG的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．（t的取值應(yīng)保證△QFG的存在）
14．（2020?南充一模）如圖，拋物線y＝﹣（x+1）（x﹣n）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，△ABC的面積為5．動點P從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位的速度向點B運動，過P作PN⊥x軸交BC于M，交拋物線于N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當M在線段BC上，MN最大時，求運動的時間；
（3）經(jīng)過多長時間，點N到點B、點C的距離相等？
15．（2020?潮南區(qū)模擬）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．
（3）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在請說明理由．
16．（2020?潮州模擬）如圖1，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且OB＝2OA＝4．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）設(shè)P是（1）中拋物線上的一個動點，當直線OC平分∠ACP時，求點P的坐標；
（3）如圖2，點G是線段AC的中點，動點E從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，動點F從點B出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向終點C運動，若E、F兩點同時出發(fā)，運動時間為t秒．則當t為何值時，△EFG的面積是△ABC的面積的？
17．（2021?饒平縣校級模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動（點P不與A重合），過點P作PD∥y軸交直線AC于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；
（3）△APD能否構(gòu)成直角三角形？若能，請直接寫出所有符合條件的點P坐標；若不能，請說明理由．
18．（2020?山西模擬）綜合與實踐
如圖，拋物線y＝與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C．點D從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點B運動，點E同時從點B出發(fā)以相同的速度向點C運動，設(shè)運動的時間為t秒．
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）求t為何值時，△BDE是等腰三角形；
（3）在點D和點E的運動過程中，是否存在直線DE將△BOC的面積分成1：4兩份，若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
19．（2020?雁塔區(qū)校級模擬）將拋物線C1：y＝﹣x2+3沿x軸翻折，得拋物線C2．
（1）請求出拋物線C2的表達式；
（2）現(xiàn)將拋物線C1向左平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N，與x軸交點從左到右依次為D、E．在平移過程中，是否存在以點A，N，E，M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．
20．（2020?清江浦區(qū)模擬）如圖1，矩形OBCD的邊OD，OB分別在x軸和y軸上，且B（0，8），D（10，0）．點E是DC邊上一點，將矩形OBCD沿過點O的射線OE折疊，使點D恰好落在BC邊上的點A處．
（1）若拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A，D，求此拋物線的解析式；
（2）若點M是（1）中拋物線對稱軸上的一點，是否存在點M，使△AME為等腰三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由；
（3）如圖2，動點P從點O出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個單位的速度向終點D運動，動點Q從點D出發(fā)沿折線D﹣C﹣A以同樣的速度運動，兩點同時出發(fā)，當一點運動到終點時，另一點也隨之停止，過動點P作直線l⊥x軸，依次交射線OA，OE于點F，G，設(shè)運動時間為t（秒），△QFG的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．（t的取值應(yīng)保證△QFG的存在）
21．（2022?濟寧三模）如圖，直線y＝﹣2x+4交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A、E，點E的坐標是（5，3），拋物線交x軸于另一點C（6，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，連接BD，AD，CD，動點P在BD上以每秒2個單位長度的速度由點B向點D運動，同時動點Q在線段CA上以每秒3個單位長度的速度由點C向點A運動，當其中一個點到達終點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒，PQ交線段AD于點H．
①當∠DPH＝∠CAD時，求t的值；
②過點H作HM⊥BD，垂足為點M，過點P作PN⊥BD交線段AB或AD于點N．在點P、Q的運動過程中，是否存在以點P，N，H，M為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
22．（2022?望花區(qū)模擬）如圖1，已知拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且點A的坐標為（﹣1，0）、點C的坐標為（0，3）．
（1）請寫出該拋物線的函數(shù)表達式和點B的坐標；
（2）如圖2，有兩動點D、E在△COB的邊上運動，運動速度均為每秒5個單位長度，它們分別從點C和點B同時出發(fā)，點D沿折線COB按C→O→B方向向終點B運動，點E沿線段BC按B→C方向向終點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒，請解答下列問題：
①當t為何值時，△BDE的面積等于；
②在點D、E運動過程中，該拋物線上存在點F，使得依次連接AD、DF、FE、EA得到的四邊形ADFE是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標．

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