?2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
　
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，則A∩B=（　?。?br /> A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）設(shè)a，b，c∈R，且a＞b，則（　　）
A．a(chǎn)c＞bc B． C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3
3．（5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（　　）
A． B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+1
4．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i（2﹣i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，則sinB=（　　）
A． B． C． D．1
6．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（　?。?br />
A．1 B． C． D．
7．（5分）雙曲線的離心率大于的充分必要條件是（　　）
A． B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2
8．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（　?。?br />
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
　
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
9．（5分）若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則p=　 ??；準(zhǔn)線方程為　 　．
10．（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為　 ?。?br />
11．（5分）若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3+a5=40，則公比q=　 ?。磺皀項(xiàng)和Sn=　 ?。?br /> 12．（5分）設(shè)D為不等式組表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，0）之間的距離的最小值為　 　．
13．（5分）函數(shù)f（x）=的值域?yàn)椤? ?。?br /> 14．（5分）已知點(diǎn)A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面區(qū)域D由所有滿足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點(diǎn)P組成，則D的面積為　 　．
　
三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．
15．（13分）已知函數(shù)f（x）=（2cos2x﹣1）sin 2x+cos 4x．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．
16．（13分）如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；
（Ⅱ）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；
（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）
17．（13分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．

18．（13分）已知函數(shù)f（x）=x2+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍．
19．（14分）直線y=kx+m（m≠0）與橢圓相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長(zhǎng)；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形．
20．（14分）給定數(shù)列a1，a2，…，an．對(duì)i=1，2，…，n﹣1，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai，后n﹣i項(xiàng)ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai﹣Bi．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；
（Ⅱ）設(shè)a1，a2，…，an﹣1（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0．證明：d1，d2，…，dn﹣1是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)d1，d2，…，dn﹣1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0．證明：a1，a2，…，an﹣1是等差數(shù)列．
　

2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，則A∩B=（　　）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【分析】找出A與B的公共元素，即可確定出兩集合的交集．
【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B={﹣1，0}．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．
　
2．（5分）設(shè)a，b，c∈R，且a＞b，則（　?。?br /> A．a(chǎn)c＞bc B． C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3
【分析】對(duì)于A、B、C可舉出反例，對(duì)于D利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出．
【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正確；
B、1＞﹣2，但是，故B不正確；
C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正確；
D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握不等式的基本性質(zhì)以及反例的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
　
3．（5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（　　）
A． B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+1
【分析】利用基本函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：A中，y=為奇函數(shù)，故排除A；
B中，y=e﹣x為非奇非偶函數(shù)，故排除B；
C中，y=lg|x|為偶函數(shù)，在x∈（0，1）時(shí)，單調(diào)遞減，在x∈（1，+∞）時(shí)，單調(diào)遞增，
所以y=lg|x|在（0，+∞）上不單調(diào)，故排除C；
D中，y=﹣x2+1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶i性、單調(diào)性的判斷證明，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法，熟記基本函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)可簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決．
　
4．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i（2﹣i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（　?。?br /> A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，看出所在的象限．
【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i
∴復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2）
這個(gè)點(diǎn)在第一象限，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，才能看出實(shí)部和虛部的值．
　
5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，則sinB=（　?。?br /> A． B． C． D．1
【分析】由正弦定理列出關(guān)系式，將a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．
【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，
∴由正弦定理得：sinB===．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦定理，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．
　
6．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（　?。?br />
A．1 B． C． D．
【分析】從框圖賦值入手，先執(zhí)行一次運(yùn)算，然后判斷運(yùn)算后的i的值與2的大小，滿足判斷框中的條件，則跳出循環(huán)，否則繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足為止．
【解答】解：框圖首先給變量i和S賦值0和1．
執(zhí)行，i=0+1=1；
判斷1≥2不成立，執(zhí)行，i=1+1=2；
判斷2≥2成立，算法結(jié)束，跳出循環(huán)，輸出S的值為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖，考查了直到型結(jié)構(gòu)，直到型循環(huán)是先執(zhí)行后判斷，不滿足條件執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足結(jié)束循環(huán)，是基礎(chǔ)題．
　
7．（5分）雙曲線的離心率大于的充分必要條件是（　?。?br /> A． B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2
【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式，可以求出a=1，b=，c=．利用離心率e大于建立不等式，解之可得 m＞1，最后利用充要條件的定義即可得出正確答案．
【解答】解：雙曲線，說(shuō)明m＞0，
∴a=1，b=，可得c=，
∵離心率e＞等價(jià)于 ?m＞1，
∴雙曲線的離心率大于的充分必要條件是m＞1．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題雖然小巧，用到的知識(shí)卻是豐富的，具有綜合性特點(diǎn)，涉及了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等幾個(gè)方面的知識(shí)，是這些內(nèi)容的有機(jī)融合，是一個(gè)極具考查力的小題．
　
8．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為對(duì)角線BD1的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（　　）

A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)|AB|=3，即可得到各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．
【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)|AB|=3，
則A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），
∴=（﹣3，﹣3，3），
設(shè)P（x，y，z），
∵=（﹣1，﹣1，1），
∴=（2，2，1）．
∴|PA|=|PC|=|PB1|==，
|PD|=|PA1|=|PC1|=，
|PB|=，
|PD1|==．
故P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有，3，，共4個(gè)．
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系及兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．
　
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
9．（5分）若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則p=　2?。粶?zhǔn)線方程為　x=﹣1?。?br /> 【分析】由拋物線的性質(zhì)可知，知=1，可知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程．
【解答】解：∵拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴=1，p=2，
拋物線的方程為y2=4x，
∴其標(biāo)準(zhǔn)方程為：x=﹣1，
故答案為：2，x=﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
　
10．（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為　3　．

【分析】利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過(guò)三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積．
【解答】解：幾何體為底面邊長(zhǎng)為3的正方形，高為1的四棱錐，
所以體積．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力．
　
11．（5分）若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3+a5=40，則公比q=　2??；前n項(xiàng)和Sn=　2n+1﹣2?。?br /> 【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
∵a2+a4=a2（1+q2）=20①
a3+a5=a3（1+q2）=40②
∴①②兩個(gè)式子相除，可得到==2
即等比數(shù)列的公比q=2，
將q=2帶入①中可求出a2=4
則a1===2
∴數(shù)列{an}時(shí)首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為：Sn===2n+1﹣2．
故答案為：2，2n+1﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．
　
12．（5分）設(shè)D為不等式組表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，0）之間的距離的最小值為　　．
【分析】首先根據(jù)題意作出可行域，欲求區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，0）之間的距離的最小值，由其幾何意義為點(diǎn)A（1，0）到直線2x﹣y=0距離為所求，代入點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得答案．
【解答】解：如圖可行域?yàn)殛幱安糠郑?br /> 由其幾何意義為點(diǎn)A（1，0）到直線2x﹣y=0距離，即為所求，
由點(diǎn)到直線的距離公式得：
d==，
則區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，0）之間的距離的最小值等于 ．
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．
　
13．（5分）函數(shù)f（x）=的值域?yàn)椤。ī仭蓿?）?。?br /> 【分析】通過(guò)求解對(duì)數(shù)不等式和指數(shù)不等式分別求出分段函數(shù)的值域，然后取并集得到原函數(shù)的值域．
【解答】解：當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=；
當(dāng)x＜1時(shí)，0＜f（x）=2x＜21=2．
所以函數(shù)的值域?yàn)椋ī仭蓿?）．
故答案為（﹣∞，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)值域的求法，分段函數(shù)的值域要分段求，最后取并集．是基礎(chǔ)題．
　
14．（5分）已知點(diǎn)A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面區(qū)域D由所有滿足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的點(diǎn)P組成，則D的面積為　3?。?br /> 【分析】設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算解出，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到關(guān)于x、y的不等式組，從而得到如圖的平行四邊形CDEF及其內(nèi)部，最后根據(jù)坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式即可算出平面區(qū)域D的面積．
【解答】解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則
=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，
∴，解之得
∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴點(diǎn)P坐標(biāo)滿足不等式組
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的平行四邊形CDEF及其內(nèi)部
其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F(xiàn)（3，0）
∵|CF|==，
點(diǎn)E（5，1）到直線CF：2x﹣y﹣6=0的距離為d==
∴平行四邊形CDEF的面積為S=|CF|×d=×=3，即動(dòng)點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域D的面積為3
故答案為：3

【點(diǎn)評(píng)】本題在平面坐標(biāo)系內(nèi)給出向量等式，求滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域D的面積．著重考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．
　
三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．
15．（13分）已知函數(shù)f（x）=（2cos2x﹣1）sin 2x+cos 4x．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦函數(shù)以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)周期公式求f（x）的最小正周期，利用三角函數(shù)的最值求出函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）通過(guò)，且，求出α的正弦值，然后求出角即可．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?br /> =
=
∴T==，
函數(shù)的最大值為：．
（Ⅱ）∵f（x）=，，
所以，
∴，k∈Z，
∴，又∵，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角的余弦函數(shù)正弦函數(shù)的應(yīng)用，兩角和的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的周期與最值的求法，以及角的求法，考查計(jì)算能力．
　
16．（13分）如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；
（Ⅱ）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；
（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）
【分析】（Ⅰ）由圖查出13天內(nèi)空氣質(zhì)量指數(shù)小于100的天數(shù)，直接利用古典概型概率計(jì)算公式得到答案；
（Ⅱ）用列舉法寫出此人在該市停留兩天的空氣質(zhì)量指數(shù)的所有情況，查出僅有一天是重度污染的情況，然后直接利用古典概型概率計(jì)算公式得到答案；
（Ⅲ）因?yàn)榉讲钤酱?，說(shuō)明三天的空氣質(zhì)量指數(shù)越不穩(wěn)定，由圖直接看出答案．
【解答】解：（Ⅰ）由圖看出，1日至13日13天的時(shí)間內(nèi)，空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．
由古典概型概率計(jì)算公式得，此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率P=；
（Ⅱ）此人在該市停留期間兩天的空氣質(zhì)量指數(shù)（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、
（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13種情況．
其中只有1天空氣重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4種情況，所以，此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率P=；
（Ⅲ）因?yàn)榉讲钤酱螅f(shuō)明三天的空氣質(zhì)量指數(shù)越不穩(wěn)定，由圖看出從5日開始連續(xù)5、6、7三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，訓(xùn)練了學(xué)生的讀圖能力，是基礎(chǔ)題．
　
17．（13分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．

【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件，利用平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）根據(jù)已知條件判斷ABED為平行四邊形，故有BE∥AD，再利用直線和平面平行的判定定理證得BE∥平面PAD．
（Ⅲ）先證明ABED為矩形，可得BE⊥CD ①．現(xiàn)證CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位線的性質(zhì)可得EF∥PD，
從而證得 CD⊥EF ②．結(jié)合①②利用直線和平面垂直的判定定理證得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理
證得平面BEF⊥平面PCD．
【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD．

（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BE∥AD．
又AD?平面PAD，BE不在平面PAD內(nèi)，故有BE∥平面PAD．

（Ⅲ）平行四邊形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED為矩形，故有BE⊥CD ①．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．
再由E、F分別為CD和PC的中點(diǎn)，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF ②．
而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF．
由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和平面垂直的判定定理，直線和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
　
18．（13分）已知函數(shù)f（x）=x2+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍．
【分析】（I）由題意可得f′（a）=0，f（a）=b，聯(lián)立解出即可；
（II）利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性與極值即最值，得到值域即可．
【解答】解：（I）f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（a，f（a））處與直線y=b相切，
∴f′（a）=a（2+cosa）=0，f（a）=b，
聯(lián)立，
解得，
故a=0，b=1．
（II）∵f′（x）=x（2+cosx）．
令f′（x）=0，得x=0，x，f（x），f′（x）的變化情況如表：
x
（﹣∞，0）
0
（0，+∞）
f（x）
﹣
0
+
f′（x）

1

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（0）=1是f（x）的最小值．
當(dāng)b≤1時(shí)，曲線y=f（x）與直線x=b最多只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)b＞1時(shí)，f（﹣2b）=f（2b）≥4b2﹣2b﹣1＞4b﹣2b﹣1＞b，f（0）=1＜b，所以存在x1∈（﹣2b，0），x2∈（0，2b），使得f（x1）=f（x2）=b．
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）和（0，+∞）上均單調(diào)，所以當(dāng)b＞1時(shí)曲線y=f（x）與直線y=b有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
綜上可知，如果曲線y=f（x）與直線y=b有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，那么b的取值范圍是（1，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值及其幾何意義是解題的關(guān)鍵．
　
19．（14分）直線y=kx+m（m≠0）與橢圓相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長(zhǎng)；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形．
【分析】（I）先根據(jù)條件得出線段OB的垂直平分線方程為y=，從而A、C的坐標(biāo)為（，），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出AC的長(zhǎng)；
（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，只須證明若OA=OC，則A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．設(shè)OA=OC=r，則A、C為圓x2+y2=r2與橢圓的交點(diǎn)，從而解得，則A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．于是結(jié)論得證．
【解答】解：（I）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），當(dāng)四邊形OABC為菱形時(shí)，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），
∴線段OB的垂直平分線為y=，
將y=代入橢圓方程得x=±，
因此A、C的坐標(biāo)為（，），如圖，
于是AC=2．
（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，利用反證法，假設(shè)四邊形OABC為菱形，則有OA=OC，
設(shè)OA=OC=r，則A、C為圓x2+y2=r2與橢圓的交點(diǎn)，
故，x2=（r2﹣1），則A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)．
從而得到點(diǎn)B是W的頂點(diǎn)．這與題設(shè)矛盾．
于是結(jié)論得證．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
　
20．（14分）給定數(shù)列a1，a2，…，an．對(duì)i=1，2，…，n﹣1，該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai，后n﹣i項(xiàng)ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai﹣Bi．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；
（Ⅱ）設(shè)a1，a2，…，an﹣1（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0．證明：d1，d2，…，dn﹣1是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)d1，d2，…，dn﹣1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0．證明：a1，a2，…，an﹣1是等差數(shù)列．
【分析】（Ⅰ）當(dāng)i=1時(shí)，A1=3，B1=1，從而可求得d1，同理可求得d2，d3的值；
（Ⅱ）依題意，可知an=a1qn﹣1（a1＞0，q＞1），由dk=ak﹣ak+1?dk﹣1=ak﹣1﹣ak（k≥2），從而可證（k≥2）為定值．
（Ⅲ）依題意，0＜d1＜d2＜…＜dn﹣1，可用反證法證明a1，a2，…，an﹣1是單調(diào)遞增數(shù)列；再證明am為數(shù)列{an}中的最小項(xiàng)，從而可求得是ak=dk+am，問(wèn)題得證．
【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)i=1時(shí)，A1=3，B1=1，故d1=A1﹣B1=2，同理可求d2=3，d3=6；
（Ⅱ）由a1，a2，…，an﹣1（n≥4）是公比q大于1的等比數(shù)列，且a1＞0，則{an}的通項(xiàng)為：an=a1qn﹣1，且為單調(diào)遞增的數(shù)列．
于是當(dāng)k=1，2，…n﹣1時(shí)，dk=Ak﹣Bk=ak﹣ak+1，
進(jìn)而當(dāng)k=2，3，…n﹣1時(shí)，===q為定值．
∴d1，d2，…，dn﹣1是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)d為d1，d2，…，dn﹣1的公差，
對(duì)1≤i≤n﹣2，因?yàn)锽i≤Bi+1，d＞0，
所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d＞Bi+di=Ai，
又因?yàn)锳i+1=max{Ai，ai+1}，所以ai+1=Ai+1＞Ai≥ai．
從而a1，a2，…，an﹣1為遞增數(shù)列．
因?yàn)锳i=ai（i=1，2，…n﹣1），
又因?yàn)锽1=A1﹣d1=a1﹣d1＜a1，
所以B1＜a1＜a2＜…＜an﹣1，
因此an=B1．
所以B1=B2=…=Bn﹣1=an．
所以ai=Ai=Bi+di=an+di，
因此對(duì)i=1，2，…，n﹣2都有ai+1﹣ai=di+1﹣di=d，
即a1，a2，…，an﹣1是等差數(shù)列．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，突出考查考查推理論證與抽象思維的能力，考查反證法的應(yīng)用，屬于難題．
　

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