山東省青島市青島第七中學2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題（原卷版解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

第Ⅰ卷（共24分）
一、選擇題（每題3分，共24分）
1. 剪紙是中國最古老的民間藝術之一，其在視覺上給人以透空的感覺和藝術享受．下列剪紙作品中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；
C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．
2. 下列命題的逆命題為假命題的是（）
A. 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方
B. 兩直線平行，同位角相等
C. 若一個三角形的三邊相等，則它的三個角也相等
D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】寫出原命題的逆命題后利用勾股定理逆定理、等邊三角形的判定、平行線的判定等知識分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：A、逆命題為：兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形是直角三角形，正確，為真命題，不符合題意；
B、逆命題為：同位角相等，兩直線平行，正確，為真命題，不符合題意；
C、逆命題為：若一個三角形的三角相等，則它的三條邊也相等，正確，為真命題，不符合題意；
D、逆命題為：若，則，當時，不一定成立，故錯誤，為假命題，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解勾股定理逆定理、等邊三角形的判定、平行線的判定等知識，難度不大．
3. 如圖A，B的坐標分別為，．若將線段AB平移至，，的坐標分別為，，則的值為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得出線段向右平移了3個單位，向上平移了2個單位，即可得出、的值，從而得出答案．
【詳解】解：由的對應點的坐標為知，線段向上平移了2個單位，
由的對應點的坐標為知，線段向右平移了3個單位，
則，，
∴，
故選：B．
【點睛】本題主要考查圖形的平移及平移特征．在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．
4. 如圖，函數(shù)與的圖象相交于點，則關于x的不等式組的解集為（）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了求正比例函數(shù)值，一次函數(shù)與不等式之間的關系，先求出點A的坐標，再根據(jù)函數(shù)圖象找到正比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上方時自變量的取值范圍即可得到答案．
【詳解】解：在中，當時，，
∴，
觀察函數(shù)圖象可知，當時，正比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上方，
∴關于x的不等式組的解集為，
故選：C．
5. 如圖，將紙片繞點C順時針旋轉得到，連接，若，則的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了旋轉的性質，三角形的內角和定理，等邊對等角．設與交于點，根據(jù)旋轉的性質可得，，根據(jù)等邊對等角以及三角形的內角和定理求得，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求得的度數(shù)．
【詳解】解：設與交于點，如圖，
∵將△ABC紙片繞點C順時針旋轉得到，
∴，，
，
AC⊥，
，
，
故選：A．
6. 在平面直角坐標系中，已知，，若在坐標軸上取點C，使為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)是（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查的是等腰三角形的定義、線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．分為、，三種情況畫圖判斷即可．
【詳解】解：如圖所示：
當時，符合條件的點有3個；
當時，符合條件的點有3個；
當點C在的垂直平分線上時，符合條件的點有一個．
故符合條件的點C共有7個．
故選：B．
7. 某運行程序如圖所示，從“輸入實數(shù)”到“結果是否”為一次程序操作，若輸入后程序操作進行了兩次就停止，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了程序圖，解一元一次不等式組；由操作兩次可得不等式組，即可求解；理解程序圖是解題的關鍵．
【詳解】解：由題意得
，
解得：；
故選：D．
8. 如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的等邊三角形在第二象限，與x軸重合，將繞點O順時針旋轉60°，得到，再作關于原點O的中心對稱圖形，得到，再將繞點O順時針旋轉60°，得到，再作關于原點O的中心對稱圖形，得到，以此類推……，則點的坐標是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了點的坐標的規(guī)律，圖形的旋轉與翻折，等邊三角形的性質，本題是操作性題目，利用題干中的操作順序求得對應的點的坐標，利用計算結果找出規(guī)律是解題的關鍵．利用題干中的操作步驟，分別求得對應的點的坐標，觀察計算結果，找出變化的規(guī)律即可求解．
【詳解】解：邊長為2的等邊三角形在第二象限，
∴．
將繞點順時針旋轉，得到，
與點關于軸對稱，
．
再作關于原點的中心對稱圖形，得到，
與點關于原點對稱，
．
再將繞點順時針旋轉，得到
此時點落在軸的負半軸上，
．
再作關于原點的中心對稱圖形，得到，
此時點落在軸的正半軸上，
．
以此類推，則，，
與點重合，
對應的點大于1的整數(shù)）的坐標以，，，，，為規(guī)律循環(huán)，
與的坐標相同，
∴則點的坐標是．
故選：B．
第Ⅱ卷（共96分）
9. 【活動回顧】：八年級下冊教材中，我們曾探究過“函數(shù)的圖象上點的坐標的特征，了解了一元一次不等式的解集與相應的一次函數(shù)圖象上點的坐標的關系．
發(fā)現(xiàn)：一元一次不等式解集是函數(shù)圖象在x軸上方的點的橫坐標的集合．
結論：一元一次不等式：（或）的解集，是函數(shù)圖象在x軸上方（或x軸下方）部分的點的橫坐標的集合．
【解決問題】：
（1）如圖1，觀察圖象，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則不等式的解集是________．
（2）如圖2，觀察圖象，兩條直線的交點坐標為________，方程的解是________，不等式的解是________．
【拓展延伸】
（3）如圖3，一次函數(shù)和的圖象相交于點A，分別與x軸相交于點和點．結合圖象，直接寫出關于x的不等式組的解集是________．
【答案】（1）；（2），，；（3）
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質，數(shù)形結合是解題的關鍵．
（1）結合圖象即可求解；
（2）通過觀察圖象求解即可；
（3）通過觀察圖象求解即可．
【詳解】解：（1）∵的圖象經(jīng)過點，
∴觀察圖象，不等式的解集是，
故答案為：；
（2）通過觀察圖象，可得兩條直線的交點坐標為；
∵的解為兩直線交點的橫坐標，
∴方程的解為；
由圖象可得，當時，，
∴不等式的解是，
故答案為：，，；
（3）聯(lián)立方程組，
解得，
∴，
當時，，
∴，
∴；
由的圖象可知，當時，，
當時，，
∴關于x的不等式組的解集為，
故答案為：．
10. 騎車佩戴安全頭盔，可以保護頭部，減少意外傷害，某商店銷售進價分別為40元/個、30元/個的甲、乙兩種安全頭盔，下表是近兩天的銷售情況：
（1）求甲、乙兩種頭盔的銷售單價；
（2）甲乙兩種頭盔共售出100個，為實現(xiàn)利潤達到1250元的目標，至少需要賣多少個甲頭盔．
【答案】（1）甲頭盔的銷售單價為55元，乙頭盔的銷售單價為40元
（2）至少需要賣50個甲頭盔
【解析】
【分析】（1）設甲頭盔的銷售單價為x元，乙頭盔的銷售單價為y元，利用銷售金額=銷售單價×銷售數(shù)量，結合周一、周二的銷售數(shù)據(jù)，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設賣出m個甲頭盔，則賣出個乙頭盔，利用總利潤=每個頭盔的銷售利潤×銷售數(shù)量，結合總利潤不少于1250元，可列出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論．
【小問1詳解】
解：設甲頭盔的銷售單價為x元，乙頭盔的銷售單價為y元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：甲頭盔的銷售單價為55元，乙頭盔的銷售單價為40元；
【小問2詳解】
解：設賣出m個甲頭盔，則賣出個乙頭盔，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∴m的最小值為50．
答：至少需要賣50個甲頭盔．
【點睛】本題考查了二元一次方程組應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
11. 如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點E，DF是△ABD的中線，且CE=2，DE=4，AE=8．
（1）求證：；
（2）求DF的長．
【答案】（1）見解析（2）DF的長為5．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，證明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；
（2）根據(jù)三角形的中線的定義以及直角三角形的性質解答即可．
【小問1詳解】
證明：∵DE⊥AC于點E，
∴∠AED=∠CED=90°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，
同理：CD2=20，
∴AD2+CD2=80+20=100，
∵AC=AE+CE=8+2=10，
∴AC2=100，
∴AD2+CD2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=90°；
【小問2詳解】
解：∵AD是△ABC的中線，∠ADC=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC=10，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，
∵點F是邊AB的中點，
∴DF=AB=5．
∴DF的長為5．
【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質與判定，垂直平分線的判定和的性質，熟記勾股定理與逆定理是解答本題的關鍵．
12. 定義：給定兩個不等式組P和Q，若不等式組P的任意一個解，都是不等式組Q的一個解，則稱不等式組P為不等式組Q的“子集”．例如：不等式組：是的子集．
（1）若不等式組：，，則其中不等式組________是不等式組“子集”（填A或B）；
（2）若關于x的不等式組是不等式組的“子集”，則a的取值范圍是________；
（3）已知a，b，c，d為互不相等的整數(shù)．其中，，下列三個不等式組：，，滿足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，則的值為________．
（4）已知不等式組有解，且是不等式組M的“子集”，請分別寫出m、n滿足的條件：________．
【答案】（1）A （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本題考查解一元一次不等式組以及定義運算，讀懂題干“子集”的定義以及能求出不等式組的解集是解答此題的關鍵．
（1）根據(jù)題意求出不等式組A與B的解集，進而利用題中的新定義判斷即可；
（2）由題意根據(jù)“子集”的定義確定出a的范圍即可；
（3）由題意根據(jù)“子集”的定義得到，再根據(jù)a、b、c、d都是整數(shù)確定出各自的值，代入原式計算即可求出值；
（4）由題意根據(jù)“子集”的定義確定出所求即可．
【小問1詳解】
解：A：的解集為，B：的解集為，M：的解集為，
∴不等式組A是不等式組M的子集，不等式組B不是不等式組M的子集，
故答案為：A；
【小問2詳解】
解：不等式組的解集為，
∵關于x的不等式組是不等式組的“子集”，
∴，
故答案為：；
【小問3詳解】
解：∵a，b，c，d為互不相等的整數(shù)，其中，
∵A：，B：，C：滿足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
【小問4詳解】
解：解不等式組M：得：，
∵不等式組M有解，
∴，
∵N：是不等式組的“子集”，
∴，，
∴，
故答案為：．
13. 綜合與實踐
【問題情境】
數(shù)學活動課上，張老師將同學們分為三個小組，讓同學們以“三角形平移與旋轉”為主題開展數(shù)學活動，和是兩個等邊三角形紙片，其中，，．
【解決問題】
（1）勤奮小組將和按圖1所示的方式擺放（點A、C，B在同一條直線上）．連接，．發(fā)現(xiàn)和的關系是：a．數(shù)量上：________，b．位置上：與所成的夾角(銳角)為________；
（2）如圖2，創(chuàng)新小組在勤奮小組的基礎上繼續(xù)探究，將繞著點C逆時針方向旋轉，當點E恰好落在邊上時，則的面積為________；
拓展延伸】
（3）如圖3，縝密小組在創(chuàng)新小組的基礎上，提出一個問題：“在（2）題的位置處，將的邊放在線段上滑動，并帶動一起在線段上來回滑動，記作，點在線段右側，連接，求線段的取值范圍．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)證明，從而得出，據(jù)此求解即可；
（2）作，交的延長線于G，可求得，，從而求得，，利用三角形面積公式即可得出結果；
（3）可推出點在的右側且離距離得直線l上運動，當時，最小，當點在C處時，最大，進一步得出結果．
【詳解】（1）解：∵和是等邊三角形，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：，；
（2）解：如圖1，

作，交的延長線于G，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（3）如圖2，

同（2）理，到直線的距離是，
∴點在的右側且離距離得直線l上運動，
當時，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
，
當點在C時，（即圖1中的位置）最大，
由上圖1知：，
∴．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質和勾股定理等知識，解決問題的關鍵確定運動軌跡．
14. 如圖，已知中，，，，P、Q是邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒．
（1）當秒時，求的長．
（2）求出發(fā)時間為幾秒時，是等腰三角形．
（3）若Q沿B→C→A方向運動，則當點Q在邊上運動時，若是以為腰的等腰三角形，求點Q的運動時間．
【答案】（1）
（2）出發(fā)時間為秒時，是等腰三角形
（3）當為6秒或6.6秒時，為等腰三角形．
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質；本題有一定難度，注意分類討論思想的應用．
（1）根據(jù)點、的運動速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）由題意得出，即，解方程即可；
（3）當點在邊上運動時，能使成為等腰三角形的運動時間有三種情況：
①當時（圖，則，易求得；
②當時（圖，過點作于點，則求出，，即可得出．
【小問1詳解】
，
，
，
；
【小問2詳解】
根據(jù)題意得：，
即，
解得：；
即出發(fā)時間為秒時，是等腰三角形；
【小問3詳解】
分兩種情況：
當時，如圖2所示：
則，
秒．
當時，如圖3所示：
過點作于點，
則
，
，
，
秒．
由上可知，當為6秒或6.6秒時，為等腰三角形．
時間
甲頭盔銷量（個）
乙頭盔銷量（個）
銷售金額（元）
周一
10
10
950
周二
6
15
930

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