廣西壯族自治區(qū)玉林市容縣2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（全卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1．本考卷分試題卷和答題卡兩部分．請將答案填寫在答題卡上，在試題卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
2．選擇題每小題選出答案后，考生用2B鉛筆把答案卡上對應(yīng)題目的選項(xiàng)標(biāo)號(hào)涂黑．
3．非選擇題，考生用直徑0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答．
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑）．
1. 式子有意義，則x的取值范圍是（）
A. x≥3B. x≤3C. x≥﹣3D. x≤﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和被開方數(shù)大于或等于0，可以求出x的范圍．
【詳解】根據(jù)題意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
故選C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的意義的條件．關(guān)鍵是把握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．
2. 下列二次根式中能與合并的二次根式是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了同類二次根式的定義，即：二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．先對各選項(xiàng)二次根式化簡，再根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、與是同類二次根式，故B選項(xiàng)符合題意；
C、是整數(shù)與不能合并，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、與不是同類二次根式，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
3. 在矩形、菱形、正方形、等邊三角形的軸對稱圖形中，對稱軸條數(shù)最多的圖形是（）
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等邊三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念及對稱軸的概念進(jìn)行分析解答即可，矩形有兩條對稱軸，為對邊中垂線所在的直線；菱形有兩條對稱軸，為其兩條對角線所在的直線；正方形有四條對稱軸，為其兩條對角線所在的直線，還有其對邊中垂線所在的直線；等邊三角形有三條對稱軸，為其三邊的中垂線所在的直線．
【詳解】解：A、矩形有兩條對稱軸；
B、菱形有兩條對稱軸；
C、正方形有四條對稱軸；
D、等邊三角形有三條對稱軸．
所以對稱軸條數(shù)最多的是正方形．
故選C．
4. 下面四組數(shù)據(jù)中，能構(gòu)成直角三角形三條邊長的是（）
A. 6，8，10B. 4，5，6C. ，，D. 9，10，11
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，就不是直角三角形．
【詳解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)符合題意；
B、，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
5. 直角三角形兩條直角邊的長分別為1，，則斜邊的長為（）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理．根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可求得結(jié)果．
【詳解】解：由勾股定理得：斜邊的長為
．
故選：D
6. 下列條件中，不能判斷四邊形是平行四邊形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的判斷方法一一判斷即可解決問題．
【詳解】解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、根據(jù)AB=CD，AD∥BC可能得出四邊形是等腰梯形，不一定推出四邊形ABCD是平行四邊形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)正確；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定的應(yīng)用，注意：平行四邊形的判定定理有：①有兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，②有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，⑤有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
7. 如圖，菱形中，，的度數(shù)是度數(shù)的2倍，則對角線長為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，以及等角對等邊，先由菱形的性質(zhì)：對角線平分對角得出，再結(jié)合，得出，即可作答．
【詳解】解：∵四邊形是菱形
∴
∵的度數(shù)是度數(shù)的2倍
∴
∴
∴
故選：A
8. 如圖，正方形的對角線是菱形的一邊，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的對角線平分一組對角求出，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得，計(jì)算即可得解．本題主要考查了正方形的對角線平分一組對角，菱形的對角線平分一組對角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：是正方形的對角線，
，
是菱形的對角線，
．
故選：B．
9. 將矩形紙片按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形，若，則菱形的面積為（）
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，再根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得，然后求出，再利用勾股定理求出，可得，再根據(jù)菱形的面積公式列式計(jì)算即可得解．本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)并求出是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由翻折的性質(zhì)得，，，
在菱形中，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
或（舍去），
，
菱形的面積．
故選：B．
10. 如圖，在中，用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點(diǎn)E，若，，則的長為（）
A. 18B. 20C. 22D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和基本作圖，求出的長是解題關(guān)鍵．由基本作圖得到，加上平分，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，所以，于是得到，根據(jù)等腰三角形的判定得，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，最后利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的長．
【詳解】解：連接，與交于點(diǎn)，如圖，

，平分，
，，，
四邊形為平行四邊形，
∴，
，
，
，
而，
，
在中，，
．
故選：D．
11. 如圖，將面積為的正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形，則圖中陰影部分的面積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，證明，是解答本題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)即可證明，可得到，然后可求得的長，從而可求得的面積，由正方形的面積減去和的面積，即可得出答案．
【詳解】解：連接，如圖所示：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵正方形面積為，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，故B正確．
故選：B．
12. 如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)E在邊上，四邊形也為正方形，的面積為S，則（）
A. B. C. D. S與的長度有關(guān)
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了整式的混合運(yùn)算，陰影部分面積正方形面積正方形面積三角形面積三角形面積三角形面積，求出即可．
【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為，
根據(jù)題意得：．
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）．
13. 計(jì)算：____________
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是求解一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的含義是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故答案為：
14. 矩形的長和寬分別是3與2，則它的面積是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的面積等于長乘以寬，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意，矩形的面積為；
故答案為：6．
15. 如圖，菱形中，其面積為，，則與間的距離是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，設(shè)與間的距離為，根據(jù)菱形的面積公式，即可求解．
【詳解】解：設(shè)與間的距離為，依題意得，，
∴，
故答案為：．
16. 已知，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查完全平方公式，求平方根，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．
利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，然后求平方根即可．
【詳解】解：∵，，
∴．
∴．
故答案是：．
17. 如圖，已知矩形中，E、F、G、H分別是的中點(diǎn)，四邊形的周長等于，則矩形的對角線長__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得，，根據(jù)四邊形的周長為列式求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵E、F、G、H分別是的中點(diǎn)，
∴，，
∴四邊形的周長等于，
∴．
故答案為：．
18. 如圖，點(diǎn)，是正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，以它的對角線為一邊作正方形，以正方形的對角線為一邊作正方形，再以正方形的對角線為一邊作正方形，…，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過一次變化，都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊長都乘以，所以可求出從B到的后變化的坐標(biāo)，再求出，，，，，，，，的坐標(biāo)，找出這些坐標(biāo)的之間的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：根據(jù)題意和圖形可看出每經(jīng)過一次變化，都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊長都乘以，
∵從B到經(jīng)過了3次變化，
∵，．
∴點(diǎn)所在的正方形的邊長為2，點(diǎn)位置在x軸正半軸．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；
可得出：點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過8次變化后，點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與第一次坐標(biāo)符號(hào)相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮?br>∵，
∴的縱橫坐標(biāo)符號(hào)與點(diǎn)的相同，橫坐標(biāo)是0，縱坐標(biāo)為，
∴的坐標(biāo)為．
故答案為：．
三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．
19 計(jì)算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，根據(jù)零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)化簡，即可求解．
【詳解】解：原式．
20. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查的是整式的乘法運(yùn)算，二次根式的乘法運(yùn)算．先利用平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算整式的乘法，再合并得到化簡的結(jié)果，再代入求值即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
21. 如圖，四邊形是正方形，G是上的一點(diǎn)，，垂足為E，，垂足為F．
（1）求證：．
（2）若，，求的長．
【答案】（1）證明見解析；
（2）0.8cm．
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)同角的余角相等求出，然后利用“角角邊”證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，，然后根據(jù)等量代換即可得．
【小問1詳解】
證明：四邊形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
【小問2詳解】
，
，，
，，
，
．
22. 如圖，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m，求這塊草坪的面積．
【答案】這塊草坪的面積為36平方厘米．
【解析】
【詳解】試題分析：
如下圖，連接AC，由已知條件根據(jù)勾股定理可得AC=5，結(jié)合CD=12，AD=13，由勾股定理逆定理可得∠ACD=90°，這樣由四邊形ABCD是由兩個(gè)直角三角形構(gòu)成的即可求出其面積了.
試題解析：
連接AC，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵（AC）2+（CD）2=25+144=169，（AD）2=（13）2=169
∴（AC）2+（CD）2=（AD）2，
∴∠ACD=90°，即△ACD是直角三角形，
∴草坪面積=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．
即這塊草坪的面積為36平方厘米．
23. 如圖，在中，，是一個(gè)外角，平分．根據(jù)要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（1）作線段的垂直平分線，與交于點(diǎn)F，與邊交于點(diǎn)E，連接，；
（2）判斷四邊形的形狀并證明．
【答案】（1）見詳解（2）四邊形為菱形，理由見解析．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，先作出線段的垂直平分線，再與交于點(diǎn)F，與邊交于點(diǎn)E，最后連接，，即可作答．
（2）由得，由平分得，則利用三角形外角性質(zhì)可得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，，于是可證明，所以，然后根據(jù)菱形的判定方法易得四邊形的形狀為菱形．
本題考查了復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了垂直平分線的性質(zhì)和菱形的判定方法．
【小問1詳解】
解：如圖所示：
【小問2詳解】
解：四邊形為菱形，理由如下：
，
，
平分，
，
而，
，
垂直平分，
，，
在和中
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
平行四邊形是菱形．
24. 已知：如圖1，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接、，得到四邊形（即四邊形的中點(diǎn)四邊形）．
（1）四邊形的形狀是__________，證明你的結(jié)論．
（2）如圖2，請連接四邊形的對角線與，當(dāng)與滿足__________條件時(shí)，四邊形是正方形，證明你的結(jié)論．
【答案】（1）平行四邊形，證明見解析
（2）互相垂直且相等（且），證明見解析
【解析】
【分析】本題考查了中位線，平行四邊形的判定，正方形的判定．熟練掌握中位線，平行四邊形的判定，正方形的判定是解題的關(guān)鍵．
（1）如圖1，連接，由點(diǎn)E、H分別是中點(diǎn)，可得，，同理，，，則，，進(jìn)而可證四邊形是平行四邊形；
（2）如圖2，連結(jié)，同理（1）可知，四邊形是平行四邊形，由，可得，證明平行四邊形是矩形，由，可得，進(jìn)而可證四邊形是正方形．
【小問1詳解】
證明：四邊形是平行四邊形，證明如下；
如圖1，連接，
點(diǎn)E、H分別是中點(diǎn)，
∴，，
同理，，，
∴，，
四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
解：互相垂直且相等（且），證明如下；
如圖2，連結(jié)，
同理（1）可知，四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
平行四邊形是矩形，
∵，
∴，
∴四邊形是正方形．
25. 勾股定理神秘而美妙，它證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)；當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2．
證明：連接DB，過點(diǎn)D作DF⊥BC交BC的延線于點(diǎn)F，則DF＝EC＝b﹣a．
∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab
又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明：
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°．求證：a2+b2＝c2．
【答案】見解析
【解析】
【分析】首先連結(jié)BD，過點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF=b-a，用兩種方法表示出S四邊形ADEB，兩者相等，整理即可得證．
【詳解】證明：如圖，連接BD，過點(diǎn)B作DE邊上的高BF，可得BF=b-a
∵S四邊形ADEB ，

S四邊形ADEB
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，用兩種方法表示出四邊形是解題的關(guān)鍵．
26. 閱讀理解：德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”．
（1）如圖，點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．在圖中，若，則__________（保留根號(hào)）．
（2）寬與長的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)．勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面我們用寬為的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：）
第一步在矩形紙片一端，利用圖的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．
第二步如圖，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．
第三步如圖，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線，并把折到圖中所示的處．
第四步展平紙片，按所得的點(diǎn)折出，使，則圖④中就出現(xiàn)黃金矩形．
問題解決：
①圖中（保留根號(hào)）；
②請寫出圖中所有的黃金矩形：，并證明；
③請結(jié)合圖，在矩形中添加一條線段，設(shè)計(jì)一個(gè)新的黃金矩形，用字母表示出來，并證明．
【答案】（1）；
（2）①；
②圖4中的黃金矩形有：矩形、矩形；
③四邊形為黃金矩形．
【解析】
【分析】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義黃金矩形、菱形的判定、勾股定理、翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理二次根式的計(jì)算．
（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義可求出的長度；
（2）①用勾股定理可算得答案；
②根據(jù)菱形的判定可得答案；
③根據(jù)黃金矩形的定義，觀察圖形，數(shù)形結(jié)合可得答案；
④觀察圖形，在矩形中添加一條線段，使四邊形是正方形，可得四邊形為黃金矩形．
【小問1詳解】
解：根據(jù)定義可知，為線段的黃金分割點(diǎn)，則，
，
，
解得，
故答案為：；
【小問2詳解】
①如圖3：
根據(jù)題意可得，
∴，
故答案為：，
②圖4中的黃金矩形有：矩形、矩形，
，，
，
，
，
矩形是黃金矩形，
，，
，
，
矩形是黃金矩形．
③如圖，在矩形上添加線段，使四邊形為正方形，此時(shí)四邊形為所要作的黃金矩形．
，，
，
，
四邊形為黃金矩形．

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