本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘。
答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場/座位號填涂在答題卡規(guī)定位置上。
答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。
考試結束后，將答題卡交回。
祝各位考生考試順利！
第Ⅰ卷
注意事項：
1．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；
2．本卷共9小題，每小題共5分，共45分。
參考公式：·如果事件互斥，那么
·柱體的體積公式，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高。
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．若復數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．如圖是函數(shù)的部分圖象，則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)，若，，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．6 B．9 C．11 D．14
6．下列說法正確的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為17；
B．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；
C．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于0；
D．若隨機變量滿足，則．
7．如圖是函數(shù)的部分圖象，是圖象的一個最高點，是圖象與軸的交點，是圖象與軸的交點，且的面積等于，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關于點對稱；
B．函數(shù)的最小正周期為；
C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到；
D．函數(shù)的單調遞增區(qū)間是。
8．祖暅是我國南北朝時期杰出的數(shù)學家和天文學家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“幕勢既同，則積不容異”。這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高。這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等，利用祖暅原理可以將半球的體積轉化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差，圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以2為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳簿，所得截面四邊形均為正方形，模仿上述半球的體積計算方法，可以構造一個與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個倒放的同底等高的正四棱錐（如圖2），從而求得該帳篷的體積為（ ）
A． B． C． D．
9．已知雙曲線與拋物線，拋物線的準線過雙曲線的焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點，延長與拋物線相交于點，若，則雙曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事項：
1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。
2．本卷共11小題，共105分。
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個空的，答對一個的給3分，全部答對的給5分。
10．已知集合，則_________。
11．在的展開式中，的系數(shù)為_________。
12．已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長為_________。
13．甲和乙兩個箱子中各裝有4個大小相同的小球，其中甲箱中有2個紅球、2個白球，乙箱中有3個紅球、1個白球，從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到白球的條件下，則2個球都是白球的概率為_________；擲一枚質地均勻的骰子，如果點數(shù)大于等于2，就從甲箱子重隨機抽出1個球；如果點數(shù)大于等于3，就從乙箱子中隨機抽出1個球，則抽到紅球的概率為_________。
14．在平行四邊形中，是線段的中點，點滿足，若設，，則可用表示為_________；點是線段上一點，且，若，則的最大值為_________。
15．己知函數(shù)有且僅有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為_________。
三、解答題：本大題5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分14分）
已知的內角的對邊分別為，且。
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的面積；
（Ⅲ）若，求。
17．（本小題滿分15分）
如圖所示，在三棱柱中，平面，。是棱的中點，為棱中點，是的延長線與的延長線的交點。
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面與平面夾角的余弦值。
18．（本小題滿分15分）
已知橢圓過點，焦距是短半軸長的倍，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）點是橢圓上的三個不同點，線段交軸于點異于坐標原點，且總有的面積與的面積相等，直線分別交軸于點兩點，求的值。
19．（本小題滿分15分）
若某類數(shù)列滿足“，且”，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”。
（Ⅰ）若數(shù)列滿足，求的值并證明：數(shù)列是“型數(shù)列”；
（Ⅱ）若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為“型數(shù)列”，記，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，當不是“型數(shù)列”時，
（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）求證：。
20．（本小題滿分16分）
意大利畫家達芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么?這就是著名的“懸鏈線問題”，通過適當建立坐標系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù)，類比三角函數(shù)的性質可得雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)有如下性質①平方關系：，②倍元關系：。
（Ⅰ）求曲線在處的切線斜率；
（Ⅱ）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍：
（Ⅲ）（i）證明：當時，；
（ii）證明：。
2024年天津市十二區(qū)重點學校高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）
數(shù)學參考答案
一、選擇題：每小題5分，滿分45分
二、填空題：每小題5分，共30分．（兩空中對一個得3分，對兩個得5分）
10． 11． 12． 13．
14． 15．
三、解答題：本大題5小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本小題滿分14分）
解析：（Ⅰ）由正弦定理得：，1分，
顯然則，3分
又，故；4分
（Ⅱ），
由余弦定理可得，整理可得，5分
又，解得，6分
8分
（Ⅲ）由正弦定理得：，則，9分
，即，則，故為銳角，
，10分
，11分
，12分
14分
17．（本小題滿分15分）
解析（Ⅰ）【方法1】在三棱柱中，連接，連接，由是棱的中點，得是的中點，
由為平行四邊形，得為線段中點，于是，而平面平面，所以平面。
【方法2】
在三棱柱中，平面，
，則直線兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，
由，得，2分
設平面的法向量，則
則，令，得，4分
因為，所以
又因為平面，所以平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）平面的法向量，又，
則 9分
所以直線與平面所成角的正弦值為 10分
（Ⅲ）設平面的一個法向量，
則令，的
設平面與平面夾角為，
則 ，13分
所以平面與平面夾角的余弦值．15分
18．（本小題滿分15分）
解（Ⅰ）：設制圓的半焦距，由題意知，解得，
橢圓的方程 5分
（Ⅱ）分析得兩點關于軸對稱，由題意直線斜率存在且不為0，
并且縱截距不為0
設直線，6分
7分
，化簡得， 8分
設， 10分
直線， 11分
令
14分
所以。15分
19．（本小題滿分15分）
解析：（Ⅰ）令，則，
令，則；2分
由①，當時，②，
由①②得，當時，，3分
所以數(shù)列和數(shù)列是等比數(shù)列。
因為，所以，
所以，因此，
從而，所以數(shù)列是“型數(shù)列”。6分
（II）（i）因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為“G型數(shù)列”，
所以，所以，因此數(shù)列遞增。又，
所以，因此遞增，所以公比。
又不是“型數(shù)列”，所以存在，使得，所以， 8分
又公比為正整數(shù)，所以，又，
所以，則。 10分
（ii），
因為，所以，
所以， 13分
令，當時，，
當時，
15分（其他答案酌情給分）
20．（本小題滿分16分）
解析：（Ⅰ），則 1分
所以所以在處的切線斜率為 2分
（Ⅱ）令，則
3分
下面證明：對任意恒成立
先證明：對任意。
證明如下：設，則，
當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，
故，故， 5分
繼續(xù)證明：對任意。
證明如下：令，則，
因此在上單調遞增；所以，
故 7分
當時，對，都有，函數(shù)在上單調遞增，
則，解得； 8分
當時，對，都有，對，都有，
函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
則對，都有成立，不符合題意，舍去。
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是。 9分
（Ⅲ）（i），
令，則
所以在上單調遞增，所以
所以當時，成立； 10分
（ii）下面證明：當時，成立，
令，則
由（II）解答過程，對任意成立，所以
所以在上單調遞增，所以
所以當時，成立
令且，可得，
即，
由題意，
令且，可得，
因為所以 12分
由①當時，，所以令且，可得
所以 13分
由（Ⅱ）解答過程，對任意成立
令且，可得 14分
所以
又且，所以，
所以 15分
所以可得
即可得。 16分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
B
A
D
C
B
B
D
D
C

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