1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚．
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡，上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無效．
3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則（ ）
A．B．C．3D．
2．若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．某食品公司共有A，B，C三條生產(chǎn)線，產(chǎn)量占比為3：2：5，為檢查新一批次食品添加劑使用量是否合格，用分層隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行調(diào)查現(xiàn)從這3000件食品中抽檢5%，則不同的抽樣方法共有（ ）
A．種B．種
C．種D．種
4．若點(diǎn)在圓O：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則（ ）
A．2600B．2480C．1660D．1460
6．已知平面向，，，，， ，若，則的最大值為（ ）
A．8B．C．D．
7．網(wǎng)購已成為人們習(xí)以為常的生活方式，大量的網(wǎng)購增加了人們對快遞的需求，快遞量幾何級增長，快遞包裝箱的消費(fèi)量也十分驚人，瓦楞紙板是最主要的快遞包裝材料，如何使用更少的紙板來包裹更多的物品，這對于環(huán)境保護(hù)和商家的利益都是非常重要的問題．現(xiàn)某商家需設(shè)計(jì)一體積為的紙箱．要求紙箱底面必須為正方形，為了保護(hù)易碎的商品，紙箱的底面和頂而必須用雙層瓦楞紙板制成．已知瓦楞紙板的市場價(jià)格大約為1元/，則一個(gè)紙箱的成本最低約為（參號(hào)數(shù)據(jù)：，）
A．0.32元．B．0.44元C．0.56元D．0.64元
8．在空間中，到一定點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)的軌跡為球面、已知菱形ABCD的邊長為2，，P在菱形ABCD的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，空間中的點(diǎn)Q滿足，則點(diǎn)Q軌跡所圍成的幾何體的體積為（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目嬰水，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9．已知，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．若，則D．若，則
10．如圖，角，的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．N為的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）
A．N點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．
C．
D．若的終邊與單位圓交于點(diǎn)C，分別過A，B，C作x軸的垂線，垂足為R，S，T，則
11．p為橢圓上一點(diǎn)，為的左、右焦點(diǎn)，延長，交于A，B兩點(diǎn)、在中，記，，若，則下列說法中正確的是（ ）
A．面積的最大值為
B．的離心率為
C．若與的內(nèi)切圓半徑之比為3：1，則的斜率為
D．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共IS分）
12．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．（用數(shù)字作答）
13．我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線．已知函數(shù)，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______．
14．如圖，正五角星是一種蘊(yùn)含美感的圖形，在正五角星中可以找到很多對線段，它們的長度關(guān)系都符合黃金分割比，我們可以把正五角星看成五個(gè)頂角為36°的等腰三角形和一個(gè)正五邊形組成的圖形，已知正五邊形的邊長，則該正五角星的邊長AB長為______．
四、解答題（本大題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．（本小題滿分13分）
近兩年來，自行車的市場占有率在不斷提升，隨著人們的健康意識(shí)不斷增強(qiáng)，騎自行車不僅僅是人們出行的交通方式，也漸漸成為一種新穎的運(yùn)動(dòng)，越來越多的人加入了騎行一族．在某地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100位自行車騎行者的年齡分布情況，得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．
（1）數(shù)據(jù)顯示，該地區(qū)年齡在歲內(nèi)的人口占比為12%，該地區(qū)自行車騎行率約為13%，從該地區(qū)任選一人，已知此人年齡在內(nèi)，求此人是自行車騎行者的概率；
（2）對這100位自行車騎行者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，騎行頻率次/周的共有70人，其中年齡在40歲以下的占80%．請完成以下列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷騎行頻率與年齡是否有關(guān)聯(lián)．
年齡
附：，其中．
16．（本小題滿分15分）
如圖，在平行六面體中，，，，，點(diǎn)P滿足．
（1）證明：O，P，三點(diǎn)共線；
（2）求直線與平面PAB所成角的正弦值．
17．（本小題滿分15分）
已知，其中為自然對數(shù)底數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）已知有極值，求的所有極值之和的最大值．
18．（本小題滿分17分）
平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足．
（1）求P點(diǎn)軌跡的方程；
（2）已知，，延長PA交于點(diǎn)Q，求實(shí)數(shù)m使得恒成立，并說明：為定值
19．（本小題滿分17分）
材料一：有理數(shù)都能表示成（s，，且，s與t互質(zhì)）的形式，進(jìn)而有理數(shù)集可以表示為
材料二：我們知道．當(dāng)時(shí)，可以用一次多項(xiàng)式近似表達(dá)指數(shù)函數(shù)，即；為提高精確度?？梢杂酶叽蔚亩囗?xiàng)式逼近指數(shù)函數(shù)．
設(shè)對等式兩邊求導(dǎo)，
得
對比各項(xiàng)系數(shù)，可得：，，，…，；
所以，取，有，
代回原式：．
材料三：對于公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和
閱讀上述材料，完成以下兩個(gè)問題：
（1）證明：無限循環(huán)小數(shù)3.7為有理數(shù)；
（2）用反證法證明：e為無理數(shù)（e＝2.7182^為自然對數(shù)底數(shù)）．
數(shù)學(xué)參考答案
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
【解析】
1．因?yàn)闉榧兲摂?shù)，
所以且，即故選C．
2．“，”為真命題，當(dāng)時(shí)，，則，故選D．
3．3000件食品中，A，B，C三條生產(chǎn)線的生產(chǎn)量分別為900件、600件、1500件，
抽檢總量為件，分層隨機(jī)抽樣，
分別從A，B，C三條生產(chǎn)線抽檢，、件，
按照分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種方法，故選A．
4．配方可得，圓，點(diǎn)在圓O外，
所以，即，解得或，故選A．
5．因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，
所以，，所以，
公差為6；，且也為等差數(shù)列，
公差，
所以，故選B．
6．如圖，令，，，由余弦定理得，
，，
因?yàn)?，所以?br>則C點(diǎn)在圓E的優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)，
其中，，，，
則，所以，
所以故選C．
7．該紙箱為正四棱柱，設(shè)其底面邊長為a米，側(cè)棱長為h米，
則紙箱的體積，表面積，
成本為，
則，令，得，
則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，P有最小值，
所以（元），故選D．
8．Q的軌跡所圍成的幾何體截面圖（過平面ABCD）如圖所示，
其中ABEF，ADHG，CDIJ，BCKL區(qū)域內(nèi)的幾何體為半圓柱，
高為2，底面半徑為1，體積為；
AFG，BEL，CKJ，DHI區(qū)域內(nèi)的幾何體為球的一部分，球心分別為A，B，C，D，
半徑為1，，，
，
所以這四個(gè)區(qū)域的幾何體組成一個(gè)完整的球，體積為；
ABCD區(qū)域內(nèi)的幾何體為棱柱，高為2，體積為，
所以Q的軌跡所圍成的幾何體體積為，故選A．
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
【解析】
9．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，即移項(xiàng)得，故A正確：由基本不等式，取等，，故B正確；
，則，故C正確；
若，則，不一定成立，故D錯(cuò)誤，故選ABC．
10．N為為AB的中點(diǎn)，則，
，所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；
由，可得，故B正確；，
又因?yàn)?，，則，
所以，故C正確；
有向線段，，，
所以，故D正確，故選BCD．
11．如圖，在中，
由正弦定理，，
則，即，
所以，，
最大值為，故A正確，B錯(cuò)誤；
由題意可得，的．斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立方程
得，
恒成立，，，
設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為，，
因?yàn)椋?br>，所以，即，
，，，
所以，
即，，所以，C正確；
作橢圓的左準(zhǔn)線，D，E，G分別為P，A，在左準(zhǔn)線上的投影，
設(shè)，，，
所以，，
則，
得，同理可得，
所以，故D正確，故選ACD．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
【解析】
12．展開式的通項(xiàng)為，
令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為．
13．，將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，
得到的圖象，即，它表示的曲線是以為焦點(diǎn)的拋物線，
則原函數(shù)圖象的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
14．如圖，在等腰三角形ABC中，
，，取的角平分線交AC于點(diǎn)D，
則，，
則，且，設(shè)，
因?yàn)?，即，解得，則，正五角星的邊長為．
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．（本小題滿分13分）
解：（1）設(shè)A＝“此人年齡在[內(nèi)”，B＝“此人是自行車騎行者”，
則．
（2）由頻率分布直方圖可得，這100位自行車騎行者中，
年齡歲的共有（人），
其中騎行頻率次/周的有（人），
年齡歲的有26人，騎行頻率次/周的有（人），
列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：騎行頻率與年齡之間無關(guān)聯(lián)．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
得，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為騎行頻率與年齡之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05．
16．（本小題滿分15分）
（1）證明：，所以，
而，
所以，即O，P，三點(diǎn)共線．
（2）解：連接，，，所以，
，，，
由余弦定理得，
同理可得，．
又為BD的中點(diǎn)，，．
，，即．
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
由（1）可得，P為線段三等分點(diǎn)，
所以，
，，，
設(shè)平面PAB的法向量為，
則可?。?br>設(shè)直線與平面PAB所成角為，
則，
直線與平面PAB所成角的正弦值為．
17．（本小題滿分15分）
解：（1），
令，解得或．
①當(dāng)，時(shí)，，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，無極值，當(dāng)時(shí)，
有兩個(gè)極值，分別為，
，
，
令，，，
，令，得，
在上單減，在，上單增，在上單減，
當(dāng)時(shí)，，，
，即為所求．
18．（本小題滿分17分）
解：（1）由題意可得，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比到定點(diǎn)的距離大2，
由雙曲線的定義，P點(diǎn)軌跡是以，）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
設(shè)，則，，，
所以的方程為．
（2）如圖，不妨設(shè)點(diǎn)P在第二象限，
①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，
，令，解得，則，此時(shí)，
在中，，，，即；
②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，令的傾斜角為，的傾斜角為，
則，，
假設(shè)成立，即，
則有，
即．
又，，
又點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，即，
，
，假設(shè)成立，當(dāng)時(shí)，有成立．
此時(shí)，由對稱性可知，，而，
為定值．
19．（本小題滿分17分）
證明：（1）
，
當(dāng)時(shí)，，故為有理數(shù)．
（2）由題可得，，
取，有，
假設(shè)e為有理數(shù)，不妨令（，且，s與t互質(zhì)），
等式兩邊同乘t!得：，
易得，為正整數(shù)，也為正整數(shù)，則亦為正整數(shù)，
但
，不可能為正整數(shù)，矛盾，
所以e為無理數(shù)．
騎行頻率
年齡
合計(jì)
歲
歲
次/周
次/周
合計(jì)
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
A
B
C
D
A
題號(hào)
9
10
11
答案
ABC
BCD
ACD
題號(hào)
12
13
14
答案
448
騎行頻率
年齡
合計(jì)
歲
歲
次/周
18
12
30
次/周
56
14
70
合計(jì)
74
26
100

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