數(shù)學(xué)
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．若是等比數(shù)列，，，則
A．7B．9C．25D．35
2．雙曲線C：的漸近線方程為
A．B．C．D．
3．復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)（）的點(diǎn)在直線上，則
A．1B．C．2D．
4．已知下圖網(wǎng)格中面積最小的正方形邊長為1，平面向量，如圖所示，則
A．2B．C．D．1
5．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是
A．16B．19C．21D．24
6．已知函數(shù)，則下列說法正確的是
A．為增函數(shù)B．有兩個(gè)零點(diǎn)
C．的最大值為2eD．的圖象關(guān)于對稱
7．早期天文學(xué)家常采用“三角法”測量行星的軌道半徑．假設(shè)一種理想狀態(tài)：地球E和某小行星M繞太陽S在同一平面上的運(yùn)動(dòng)軌道均為圓，三個(gè)星體的位置如圖所示．地球在位置時(shí)，測出；行星M繞太陽運(yùn)動(dòng)一周回到原來位置，地球運(yùn)動(dòng)到了位置，測出，．若地球的軌道半徑為R，則下列選項(xiàng)中與行星M的軌道半徑最接近的是（參考數(shù)據(jù)：）
A．2.1RB．2.2RC．2.3RD．2.4R
8．已知橢圓E：（）的左、右焦點(diǎn)為、，圓與E的一個(gè)交點(diǎn)為P，直線與E的另一個(gè)交點(diǎn)為O，，則E的離心率為
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知函數(shù)，若，則的值可以為
A．B．C．D．
10．在數(shù)列中，，，，記的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
11．在矩形ABCD中，，，以對角線BD為折痕將△ABD進(jìn)行翻折，折后為△A＇BD，連接A＇C得到三棱錐A＇-BCD，在翻折過程中，下列說法正確的是
A．三棱錐A＇-BCD體積的最大值為B．點(diǎn)A＇，B，C，D都在同一球面上
C．點(diǎn)A＇在某一位置，可使BD⊥A＇CD．當(dāng)A＇B⊥DC時(shí)，
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知，，則 ．
13．已知正六棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正六棱錐的體積為 ．
14．如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，每隔一秒隨機(jī)、等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)六次．質(zhì)點(diǎn)位于4的位置的概率為 ；在質(zhì)點(diǎn)第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點(diǎn)共經(jīng)過兩次3的位置的概率為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
如圖，在直三棱柱中，D，E為，AB中點(diǎn)，連接，．
（1）證明：DE∥平面；
（2）若DE⊥AB，，，求二面角的正弦值．
16．（15分）
某企業(yè)響應(yīng)國家“強(qiáng)芯固基”號召，為匯聚科研力量，準(zhǔn)備科學(xué)合理增加研發(fā)資金．為
了解研發(fā)資金的投入額x（單位：千萬元）對年收入的附加額y（單位：千萬元）的影響，對2017年至2023年研發(fā)資金的投入額和年收入的附加額進(jìn)行研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）若年收入的附加額與投入額的比值大于0.1，則稱對應(yīng)的年份為“優(yōu)”，從上面的7個(gè)年份中任意取3個(gè)，記X表示這三個(gè)年份為“優(yōu)”的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：，，．
附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
，．
17．（15分）
已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．
18．（17分）
已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，．
（1）求C的方程；
（2）過A，B作C的兩條切線交于點(diǎn)P，設(shè)D，E分別是線段PA，PB上的點(diǎn)，且直線DE與C相切，求證：．
19．（17分）
若非空集合A與B，存在對應(yīng)關(guān)系f，使A中的每一個(gè)元素a，B中總有唯一的元素b與它對應(yīng)，則稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B．
設(shè)集合，（，），且．設(shè)有序四元數(shù)集合，．對于給定的集合B，定義映射f：P→Q，記為，按映射f，若（，2，3，4），則；若（，2，3，4），則．記．
（1）若，，寫出Y，并求；
（2）若，，求所有的總和；
（3）對于給定的，記，求所有的總和（用含m的式子表示）．
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數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、單選題；二、多選題
三、填空題
12．13．14．，（第1空2分，第2空3分）
15．解：
（1）連接．因?yàn)镈，E分別為，AB的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以DE∥平面．
（2）由（1）得，因?yàn)镈E⊥AB，所以，因?yàn)樵谥比庵衅矫鍭BC，所以，因?yàn)?，所以AB⊥平面，故AB⊥BC．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz，
則，，，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，可取為平面的一個(gè)法向量，
可取為平面的一個(gè)法向量，
則，
設(shè)二面角的大小為，則，，
所以二面角的正弦值為．
16．解：
（1），，
，
，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為．
（2）由題意，7個(gè)年收入的附加額與投入額的比值大于0.1的有3個(gè)“優(yōu)”，
所以X的可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列如下：
所以X的期望是．
17．解：
（1）由于，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)?，所以切線斜率為，
故切線方程為．
（2）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，
令，，恒成立，則恒成立，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，由得，，
時(shí)，，單調(diào)遞減，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則，在上單調(diào)遞增，，符合題意．
綜上所述，．
18．解：
（1）設(shè)，，，
聯(lián)立，得，
則，，，
則，故，
所以C的方程為．
（2）由（1）知，因?yàn)閽佄锞€C：，則，
則，，則直線PA方程為，即，
同理直線PB方程為．
聯(lián)立得（，則，
將代入得兩式相加得
，
即，所以點(diǎn)．
設(shè)直線DE與拋物線相切于點(diǎn)，則直線DE方程為．
設(shè)，，聯(lián)立
兩式作比，即，同理，
因?yàn)椋?br>同理，
故要證，
即證，
即證，
即證，
即證，
即證，
由（1）知，又故，上式成立，
故．
19．解：
（1）由題，，
所以．
（2）對1，，5是否屬于B進(jìn)行討論
①含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；不含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；所以所有Y中2的總個(gè)數(shù)和1的總個(gè)數(shù)均為10；
②含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；不含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；所以所有Y中6的總個(gè)數(shù)和5的總個(gè)數(shù)均為10；
②含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；不含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；所以所有y中的總個(gè)數(shù)和的總個(gè)數(shù)均為20．
綜上，所有的總和為．
（3）對于給定的，考慮在映射f下的變化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共個(gè)，所以在映射f下變?yōu)?；不含的子集B共個(gè)，在映射f下變?yōu)?；所以在映射f下得到的所有的和為．
同理，在映射f下得到的所有（，3，4）的和為．
所以所有的總和為．
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
投入額
10
30
40
60
80
90
110
年收入的附加額
3.20
4.00
4.80
6.00
7.30
7.45
9.25
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
A
C
B
D
A
B
BD
ACD
ABD
X
0
1
2
3
P

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