一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．
C．D．
4．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數(shù)為6
B．若隨機(jī)變量，則
C．已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，則
D．根據(jù)分類變量與成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001
5．如圖是的大致圖象，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
6．如圖，實(shí)心正方體的棱長為2，其中上、下底面的中心分別為．若從該正方體中挖去兩個(gè)圓錐，且其中一個(gè)圓錐以為頂點(diǎn)，以正方形的內(nèi)切圓為底面，另一個(gè)圓錐以為頂點(diǎn)，以正方形的內(nèi)切圓為底面，則該正方體剩余部分的體積為（ ）
A．B．C．D．
7．回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種．用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀．不僅意思不變，而且頗具趣味．相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人．”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”．如44，585，2662等；那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．30B．36C．360D．1296
8．已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，有以下結(jié)論：
① ②函數(shù)為偶函數(shù)
③ ④在上單調(diào)遞增
所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①③④C．③④D．①④
9．過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
10．i是虛數(shù)單位，則，則的值為 ．
11．設(shè)的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為 .
12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn)，則 .
13．天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號，天津話妙趣橫生，天津相聲精彩紛呈，是最具特色的旅游亮點(diǎn)之一.某位北京游客經(jīng)常來天津聽相聲，每次從北京出發(fā)來天津乘坐高鐵和大巴的概率分別為0.6和0.4，高鐵和大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.9和0.8，則他準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)天津的概率是 （分?jǐn)?shù)作答）.若他已準(zhǔn)點(diǎn)抵達(dá)天津，則此次來天津乘坐高鐵準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)比乘坐大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率高 （分?jǐn)?shù)作答）.
14．在中，，則 ；若點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是 ．
15．若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的取值范圍為 ．
三、解答題
16．在中，角所對的邊分別為，已知的面積為，．
(1)求和的值；
(2)求的值．
17．如圖，且，且且平面．
(1)若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角為，求線段的長．
18．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，橢圓的離心率為，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為中點(diǎn)，求直線斜率．
19．記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，
（ⅰ）求的前項(xiàng)的和；
（ⅱ）求.
20．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，若在的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，
（?。┣笞C：；
（ⅱ）求證：．
參考答案：
1．C
【分析】
化簡集合，結(jié)合交集的概念即可得解.
【詳解】由題意，所以.
故選：C.
2．B
【分析】對可得，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由，則，即，即，
解得得，
則不能推出，能推出，
則“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3．D
【分析】
判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得答案.
【詳解】由于函數(shù)在R上均為增函數(shù)，
故在R上單調(diào)遞增，
由于，
故，故，即，
故選：D
4．D
【分析】
A選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)排序后，根據(jù)百分位數(shù)的定義得到答案；B選項(xiàng)，由正態(tài)分布的對稱性得到答案；C選項(xiàng)，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程，求出；D選項(xiàng)，由得到D錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，
，故選取第5個(gè)數(shù)據(jù)作為第60百分位數(shù)，即為6，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)椋鶕?jù)對稱性可知，
故，B正確；
C選項(xiàng)，已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，則，
解得，C正確；
D選項(xiàng)，，故不能得到此結(jié)論，D錯(cuò)誤
故選：D
5．A
【分析】
數(shù)形結(jié)合和導(dǎo)數(shù)分析A選項(xiàng)函數(shù)圖像特征，根據(jù)，奇偶性，單調(diào)性，利用排除法選出正確答案.
【詳解】
對于A選項(xiàng)，研究
的圖像可知與軸有兩個(gè)交點(diǎn),且一點(diǎn)為
坐標(biāo)原點(diǎn),另一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為正，其他函數(shù)都不具備這樣的特點(diǎn).
另外因?yàn)闀r(shí)
所以為R上的增函數(shù)，
所以在R上在某一個(gè)值左側(cè)為減函數(shù)，右側(cè)為增函數(shù)，
結(jié)合零點(diǎn)和絕對值對圖像的影響可判斷A正確.
根據(jù)排除D選項(xiàng)，
B選項(xiàng)根據(jù)
對于都成立可以判斷B為偶函數(shù)，與所給圖像不符，所以B不正確.
C選項(xiàng)根據(jù)當(dāng)時(shí)，為上得增函數(shù)
與所給圖像不符，所以C不正確.
故選：A
6．D
【分析】
計(jì)算出正方體體積、兩圓錐的體積及其公共部分的體積即可得.
【詳解】兩圓錐的體積都為，
則其公共部分為，
故該正方體剩余部分的體積為.
故選：D.
7．B
【分析】依據(jù)回文數(shù)對稱的特征，可知有兩種情況：在6個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，在6個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)排列，由分類計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】由題意知：組成4位“回文數(shù)” ，由對稱性可知，只需確定后兩位數(shù)字即可.
可分為以下兩種情況：
當(dāng)后兩位數(shù)字重復(fù)時(shí)，即由一個(gè)數(shù)組成回文數(shù)，在6個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，則有種；
當(dāng)后兩位數(shù)字不同時(shí)，在6個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)，按不同順序排列，有種.
綜上，用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為：.
故選：B.
8．B
【分析】
借助圖象可得解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性等逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】由圖可得，，
且，則，即，
，即，
又，故，即，
對①：，由時(shí)，函數(shù)取最大值，
故是函數(shù)的最大值，故①正確；
對②：，故②錯(cuò)誤；
對③：，
則，故③正確；
對④：當(dāng)時(shí)，，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故④正確.
故選：B.
9．D
【分析】取右焦點(diǎn)，連接、，作于點(diǎn)，由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可得相應(yīng)的邊長及角度間的關(guān)系，借助余弦定理列出與、、有關(guān)齊次式，計(jì)算即可得.
【詳解】取右焦點(diǎn)，連接、，作于點(diǎn)，
由為圓的切線，故，又，
為中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，又，故為中點(diǎn)，
，則，
，則，
，由直線為雙曲線的漸近線，
故有，則，
在中，由余弦定理可得，
則，即，
即，化簡得，即，
故.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線離心率的求法，關(guān)鍵點(diǎn)在于借助題目所給條件，從幾何的角度構(gòu)造輔助線，得到新的長度關(guān)系與角度關(guān)系，從而結(jié)合題意構(gòu)造相應(yīng)與、、有關(guān)齊次式，得到離心率.
10．
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則化簡得到，求出.
【詳解】由題意得，即，
，
故，
故答案為：
11．
【詳解】試題分析：由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得，解可得，；
的展開式為，
令，可得，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為15．
故答案為：15.
12．
【分析】
由題意可得直線與直線垂直，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】，
因?yàn)橐渣c(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn)，
所以直線與直線垂直，
則，解得.
故答案為：.
13．
【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式，求得他準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)天津的概率，再結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】設(shè)事件為他準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)天津，事件為他乘坐高鐵到達(dá)天津，事件為他乘坐大巴到達(dá)天津，
若他乘坐高鐵，且正點(diǎn)到達(dá)天津的概率為；
若他乘坐大巴，且正點(diǎn)到達(dá)天津的概率為；
則，且,
所以乘坐高鐵準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)比乘坐大巴準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)的概率高.
故答案為：，
14．
【分析】
借助模長與數(shù)量積的關(guān)系即可得，取中點(diǎn)，借助向量的線性運(yùn)算可得，逐項(xiàng)計(jì)算即可得其取值范圍.
【詳解】，
故，
，
取中點(diǎn)，則，
，，
故，
故.
故答案為：；.
15．
【分析】
借助換元法，設(shè)，可得，令可得，再令，借助對勾函數(shù)性質(zhì)即可得的單調(diào)性及其值域，若恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，可得，即可得的取值范圍.
【詳解】設(shè)，則，則，
令，顯然,則有，令，
由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
若恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，且，則，
令，解得或，故，
即有，故.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在與使用換元法及參變分離的方式，得到，再設(shè)出函數(shù)，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)得到的性質(zhì)，從而借助的性質(zhì)研究的解的個(gè)數(shù)，即可得到的取值范圍.
16．(1)，
(2)
【分析】
（1）結(jié)合面積公式、余弦定理與正弦定理計(jì)算即可得；
（2）借助二倍角及兩角和的余弦公式計(jì)算即可得.
【詳解】（1）在中，由，故為鈍角，，
的面積為，可得，即，則，
聯(lián)立，解得，
由，可得，
由正弦定理得，即，解得；
（2）且為銳角，，
，
．
17．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用空間向量的方法證明線面平行；
（2）根據(jù)二面角的定義得到為平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，然后求余弦值；
（3）根據(jù)線面角的定義得到為直線與平面所成角，然后根據(jù)求線段.
【詳解】（1）
如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，所以，
因?yàn)?，而平面?br>所以∥平面.
（2）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
因?yàn)?，，所以，則共面，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，，平面，所以平面?br>因?yàn)?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面?br>所以為平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，
，，，，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
（3）取中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，，所以，
因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>因?yàn)?，平面，所以平面?br>所以為直線與平面所成角，
，，，所以，，
所以線段的長為.
18．(1)
(2)或.
【分析】
（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，求出，從而可求出橢圓的方程；
（2）根據(jù)題意設(shè)直線為，代入橢圓方程化簡求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由為中點(diǎn)，可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，由求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，可得可求出的值.
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），所以直線的斜率存在且不為零，
所以設(shè)直線為，
由，得，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
所以，所以，
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)橹本€與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，
所以，即，
整理得，解得或，
所以直線斜率為或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程可表示出的坐標(biāo)，從而可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合圓的知識列方程可求得結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.
19．(1)，
(2)；
【分析】
（1）借助等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量計(jì)算即可得；
（2）借助并項(xiàng)求和法可得，借助分組求和法與錯(cuò)位相減法可得.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由題知：，解得，
，，
所以，；
（2）（?。?br>，，
則
；
（ⅱ），，
則，
則，
故
，
故，又，
故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的求和方法，關(guān)鍵點(diǎn)在于求取時(shí)，由題目所給，通過并項(xiàng)，將分解為.
20．(1)
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析
【分析】
（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；
（2）（ⅰ）令，即證在時(shí)恒成立，借助導(dǎo)數(shù)，多次求導(dǎo)后即可得；（ⅱ）計(jì)算可得，由（?。┛傻茫纯傻?，借助放縮法可得，結(jié)合等比數(shù)列求和公式及放縮即可得證.
【詳解】（1）
當(dāng)時(shí)，，，所以，
曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，
所以切線方程為，即；
（2）
（?。┮C，即證時(shí)，，
令，即證在時(shí)恒成立，
因?yàn)?，令，則，
令，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，即在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以, 即在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，即得證；
（ⅱ）時(shí)，
，
由（?。┲?，則，
所以
，
，即得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于由（ⅰ）中得到，從而得到，從而借助放縮法，得到.

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