本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則（ ）
A.B.C.D.
2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（ ）
A.的實部為2B.
C.D.對應(yīng)的點位于第一象限
3.已知平面向量，，若，則實數(shù)（ ）
A.-1B.-2C.1D.2
4.已知正項等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的前項和為（ ）
A.B.C.D.
5.已知x，y為正實數(shù)，則可成為“”的充要條件的是（ ）
A.B.
C.D.
6.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，則的最大值為（ ）
A.B.C.D.3
7.房屋建造時經(jīng)常需要把長方體磚頭進(jìn)行不同角度的切割，以契合實際需要.已知長方體的規(guī)格為24cm×11cm×5cm，現(xiàn)從長方體的某一棱的中點處作垂直于該棱的截面，截取1次后共可以得到12cm×11cm×5cm，，三種不同規(guī)格的長方體.按照上述方式對第1次所截得的長方體進(jìn)行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進(jìn)行第3次截取，則共可得到體積為165cm3的不同規(guī)格長方體的個數(shù)為（ ）
A.8B.10C.12D.16
8.設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點，點M，N分別在雙曲線的左、右兩支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（ ）
A.2B.C.D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.某同學(xué)最近6次考試的數(shù)學(xué)成績?yōu)?07，114，136，128，122，143.則（ ）
A.成績的第60百分位數(shù)為122B.成績的極差為36
C.成績的平均數(shù)為125D.若增加一個成績125，則成績的方差變小
10.已知正方體的棱長為1，為平面內(nèi)一動點，且直線與平面所成角為，E為正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.點的軌跡為拋物線
B.正方體的內(nèi)切球被平面所截得的截面面積為
C.直線與平面所成角的正弦值的最大值為
D.點為直線上一動點，則的最小值為
11.已知是定義域為的非常數(shù)函數(shù)，若對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，y均有，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.B.的值域為
C.D.是奇函數(shù)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.的展開式中的系數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.
13.某班有A，B兩個學(xué)習(xí)小組，其中A組有2位男生，1位女生，B組有2位男生，2位女生.為了促進(jìn)小組之間的交流，需要從A，B兩組中隨機(jī)各選一位同學(xué)交換，則交換后A組中男生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為___________.
14.已知關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（13分）
已知數(shù)列滿足，.
（1）求（只需寫出數(shù)值，不需要證明）；
（2）若數(shù)列的通項可以表示成的形式，求，.
16.（15分）
臺州是全國三大電動車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的設(shè)計優(yōu)勢.某電動車公司為了搶占更多的市場份額，計劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費(fèi)（單位：百萬元）和年銷售量（單位：百萬輛）關(guān)系如圖所示：令，數(shù)據(jù)經(jīng)過初步處理得：
現(xiàn)有①和②兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費(fèi)x的回歸分析模型，其中a，b，m，n均為常數(shù).
（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好?
（2）根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測年廣告費(fèi)為6（百萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量是多少?
（3）該公司生產(chǎn)的電動車毛利潤為每輛200元（不含廣告費(fèi)、研發(fā)經(jīng)費(fèi)）.該公司在加大廣告投入的同時也加大研發(fā)經(jīng)費(fèi)的投入，年研發(fā)經(jīng)費(fèi)為年廣告費(fèi)的199倍.電動車的年凈利潤受年廣告費(fèi)和年研發(fā)經(jīng)費(fèi)影響外還受隨機(jī)變量影響，設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且滿足.在（2）的條件下，求該公司年凈利潤的最大值大于1000（百萬元）的概率.（年凈利潤=毛利潤×年銷售量-年廣告費(fèi)-年研發(fā)經(jīng)費(fèi)-隨機(jī)變量）.
附：①相關(guān)系數(shù)，
回歸直線中公式分別為，；
②參考數(shù)據(jù)：，，，.
17.（15分）
如圖，已知四棱臺中，，，，，，，且，為線段中點，
（1）求證：平面；
（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.
18.（17分）
已知橢圓：，直線：交橢圓于M，N兩點，T為橢圓的右頂點，的內(nèi)切圓為圓Q.
（1）求橢圓的焦點坐標(biāo)；
（2）求圓Q的方程；
（3）設(shè)點，過P作圓Q的兩條切線分別交橢圓C于點A，B，求的周長.
19.（17分）
設(shè)A，B是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應(yīng)，并且不同的x對應(yīng)不同的y；同時B中的每一個元素y，都有一個A中的元素x與它對應(yīng)，則稱：為從集合A到集合B的一一對應(yīng)，并稱集合A與B等勢，記作.若集合A與B之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱A與B不等勢，記作.
例如：對于集合，，存在一一對應(yīng)關(guān)系，因此.
（1）已知集合，，試判斷是否成立?請說明理由；
（2）證明：①；
②.
參考答案
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.20 13. 14.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（本小題滿分13分）
解（1），，，，
故數(shù)列的周期為3，.
（2）由，，得到
解得，.
備注：以下解法不扣分
因為的周期為3，所以
又由，得到
解得.
16.（本小題滿分15分）
解：（1）設(shè)模型①和②的相關(guān)系數(shù)分別為，.
由題意可得：
.
所以，由相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可得，模型②的擬合程度更好.
（2）
又由，，得，
所以，即回歸方程為.
當(dāng)時，，
因此當(dāng)年廣告費(fèi)為6（百萬元）時，產(chǎn)品的銷售量大概是13（百萬輛）.
（3）凈利潤為，，
令，
所以.
可得在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
所以，
由題意有：，即，
，
即該公司年凈利潤大于1000（百萬元）的概率為0.3.
17.（本小題滿分15分）
解：（1）分別延長線段，，，交于點，將四棱臺補(bǔ)成四棱錐.
∵，∴，∴，
取的中點，連接，，
∵，∴四邊形為平行四邊形.
∴，又平面，平面，
∴平面；
（不補(bǔ)成棱錐，直接取的中點，利用梯形中位線也不扣分）
（2）由于，所以，
又梯形面積為，
設(shè)到平面距離為，則，得.
而，平面，平面，
所以平面，
所以點C到平面的距離與點D到平而的距離相等，
而，所以平面.
以A為坐標(biāo)原點，以直線為x軸，以直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
易得為等邊三角形，所以，，，，
設(shè)平面的法向量為，則
得，，不妨取，
又平面的一個法向量為.
則，
平面與平面夾角的余弦值為.
（傳統(tǒng)方法相應(yīng)給分）
18.（本小題滿分17分）
解：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
，所以稱點坐標(biāo)為.
（2）將代入橢圓方程得，由對稱性不妨設(shè)，
直線的方程為，即
設(shè)圓Q方程為，
由于內(nèi)切圓Q在的內(nèi)部，所以，
則Q到直線和直線的距離相等，即：，
解得，，
所以圓方程為.
（用周長與面積求半徑的方法相應(yīng)給分）
（3）顯然直線和直線的斜率均存在，
設(shè)過P作圓Q的切線方程為，其中k有兩個不同的取值和分別為直線和的斜率.
由圓Q與直線相切得：，化簡得：，
則
由得，
可得，
所以
.
同理，
所以直線的方程為
所以與圓Q相切，
將代入得，
所以，
又點P到直線的距離為，
設(shè)的周長為，則的面積，
解得.
所以的周長為.
19.（本小題滿分17分）
解：（1）設(shè)，，令
則C與D存在一一對應(yīng)，所以集合.
（2）①取函數(shù)，其中，，兩個集合之間存在一一對應(yīng)，故.
備注：函數(shù)舉例不唯一，只要保證定義域為，值域為即可，
如：或等等均給滿分，
【若直接利用等勢的自反性，未交待反函數(shù)關(guān)系，而給出定義域為R，值域為（0，1）的函數(shù).如，，扣1分，交傳了反函數(shù)關(guān)系不加分】
②設(shè)，，
假設(shè)，即存在對應(yīng)關(guān)系：為一一對應(yīng)，
對于集合B中的元素，，，至少存在一個（，且）與這三個集合中的某一個對應(yīng)，所以集合A中必存在.
記，則，故，
從而存在，使得；
若，則，矛盾；
若，則，矛盾.
因此，不存在A到B的一一對應(yīng)，所以.
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
A
D
C
B
B
題號
9
10
11
答案
BCD
BCD
AC

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