(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．
2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．
①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；
②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
3.小聰設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖，如圖1，杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上，杯口直徑，且點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，杯腳高，杯高，杯底MN在x軸上．
（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍）．
（2）為使獎(jiǎng)杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2，杯體所在拋物線形狀不變，杯口直徑，杯腳高CO不變，杯深與杯高之比為0.6，求的長(zhǎng)．
4．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，與軸的交點(diǎn)為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點(diǎn)．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)．
①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．
(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．
5.如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)，在x軸上，MN與矩形的一邊平行且相等．柵欄總長(zhǎng)l為圖中粗線段，，，MN長(zhǎng)度之和．請(qǐng)解決以下問題：
（?。┬藿ㄒ粋€(gè)“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)，在拋物線AED上．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求柵欄總長(zhǎng)l與m之間的函數(shù)表達(dá)式和l的最大值；
（ⅱ）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇一種，求出該方案下矩形面積的最大值，及取最大值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍（在右側(cè)）．
6．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐
問題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，，D為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，_______．
②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．
(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長(zhǎng)．
(3)延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．
①_______；
②當(dāng)時(shí)，求正方形的面積．
7.在平面直角坐標(biāo)系xy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
8．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
(3)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，，求的最小值．
9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接．
(1)求線段AC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)Р為該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)M為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
10．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有
(1)求b的值；
(2)將拋物線平移后得到拋物線．
探究下列問題：
①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對(duì)拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長(zhǎng)的取值范圍．
11.如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）連結(jié)，交拋物線L的對(duì)稱軸于點(diǎn)M．
①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②將拋物線L向左平移個(gè)單位得到拋物線．過點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)N．P是拋物線上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸，交拋物線L于點(diǎn)E，點(diǎn)E在拋物線L對(duì)稱軸的右側(cè)．若，求m的值．
12．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，點(diǎn)，在軸上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
14．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
15.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)的坐標(biāo)值：
（1）求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）是拋物線對(duì)稱軸上長(zhǎng)為1的一條動(dòng)線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），求的最小值；
（3）如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸，垂足為F，的外接圓與相交于點(diǎn)E．試問：線段的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．
16．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接．

(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，______；
(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，，點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn)，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的邊上的動(dòng)點(diǎn)，，記的最小值為m．
①求m的值；
②設(shè)的面積為S，若，請(qǐng)直接寫出k的取值范圍．
17.已知拋物線與x軸相交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若，過點(diǎn)N作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P，交直線于點(diǎn)G．過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，當(dāng)n為何值時(shí)，；
（3）如圖2，將直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過線段的中點(diǎn)，然后將它向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線．
①______；
②當(dāng)點(diǎn)N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
18．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)D是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，過點(diǎn)P作直線的垂線，分別交直線，線段于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)F作軸，垂足為G，求的最大值．
19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)
（1）求證：∠ACB=90°
（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．
①求DE+BF的最大值；
②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
20.如圖，拋物線（其中）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）直接寫出的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)（用a表示）；
（2）若點(diǎn)D為的外心，且與的周長(zhǎng)之比為，求此拋物線的解析式；
（3）在（2）的前提下，試探究拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
21.如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+x的圖象過O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點(diǎn)D，求直線CD的解析式；
（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
22.如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（m，0），請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？
（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-12x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B（如圖）．拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）如果拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過線段AB上的另一點(diǎn)C，且BC=5，求這條拋物線的表達(dá)式；
（3）如果拋物線y＝ax2+bx的頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．
24，若一次函數(shù)y＝﹣3x﹣3的圖象與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過A，B，C三點(diǎn)，如圖（1）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖（1），過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在拋物線上（y軸左側(cè)），若BC恰好平分∠DBE．求直線BE的表達(dá)式；
（3）如圖（2），若點(diǎn)P在拋物線上（點(diǎn)P在y軸右側(cè)），連接AP交BC于點(diǎn)F，連接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①當(dāng)m=12時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②求m的最大值．
25.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），交y軸于點(diǎn)N，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接AM，點(diǎn)E是線段AM上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AM于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，交AM于點(diǎn)D．點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EF取最大值時(shí)：
①求PD+PC的最小值；
②如圖2，Q點(diǎn)為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出DQ+14OQ的最小值．
26.已知拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖（1），點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線，交直線AC于點(diǎn)D，E，當(dāng)PD+PE取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)直線AC垂直平分△AMN的邊MN時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．
27.已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=43，如圖所示．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①過點(diǎn)P作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥PE交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；
②連結(jié)PB，求35PC+PB的最小值．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…

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