(2)解法一：設(shè)直線(xiàn)MN：x＝my＋t，代入eq \f(x2,4)－y2＝1，得(m2－4)y2＋2mty＋t2－4＝0，
記M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≠±2，,y1＋y2＝－\f(2mt,m2－4)，,y1y2＝\f(t2－4,m2－4)，,Δ>0?m2＋t2－4>0，))
直線(xiàn)A1M：y＝eq \f(y1,x1＋2)(x＋2)，
直線(xiàn)A2N：y＝eq \f(y2,x2－2)(x－2)，
由直線(xiàn)A1M、A2N的交點(diǎn)P在x＝1上得eq \f(3y1,x1＋2)＝－eq \f(y2,x2－2)，
即：eq \f(3y1,my1＋t＋2)＝－eq \f(y2,my2＋t－2)，
∴4my1y2＋(2＋t)(y1＋y2)＋(2t－8)y1＝0，
eq \f(4m?t2－4?,m2－4)－eq \f(2mt,m2－4)(2＋t)＋(2t－8)y1＝0，
∴2(t－4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(m?t＋2?,m2－4)＋y1))＝0恒成立，
若eq \f(m?t＋2?,m2－4)＋y1＝0，
將y1＝eq \f(－mt±2\r(m2＋t2－4),m2－4)
代入得m±eq \r(m2＋t2－4)＝0，∴t＝±2，
∴MN過(guò)雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，與題意不符，故舍去，∴t＝4，
直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)(4,0)．
解法二：設(shè)P(1，m)，則設(shè)直線(xiàn)PA1：y＝eq \f(m,3)(x＋2)，PA2：y＝－m(x－2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(m,3)?x＋2?，,\f(x2,4)－y2＝1，))得(9－4m2)x2－16m2x－16m2－36＝0，記M(x1，y1)，
則－2和x1是該方程的兩個(gè)根，則x1＝eq \f(8m2＋18,9－4m2)，y1＝eq \f(12m,9－4m2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－m?x－2?，,\f(x2,4)－y2＝1，))
得(1－4m2)x2＋16m2x－16m2－4＝0，
記N(x2，y2)，則2和x2是該方程的兩個(gè)根，
則x2＝eq \f(8m2＋2,4m2－1)，y2＝eq \f(－4m,4m2－1)，
則直線(xiàn)MN的斜率：
kMN＝eq \f(y1－y2,x1－x2)
＝eq \f(12m?4m2－1?＋4m?9－4m2?,?8m2＋18??4m2－1?－?8m2＋2??9－4m2?)
＝eq \f(8m?4m2＋3?,4?4m2＋3??4m2－3?)＝eq \f(2m,4m2－3)
∴MN：y－eq \f(12m,9－4m2)＝eq \f(2m,4m2－3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8m2＋18,9－4m2)))，
令y＝0，x＝eq \f(－24m2＋18,9－4m2)＋eq \f(8m2＋18,9－4m2)＝eq \f(－16m2＋36,9－4m2)＝4，
故直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)(4,0)．
【變式訓(xùn)練】
(2024·安徽安慶、池州、銅陵部分校聯(lián)考)已知雙曲線(xiàn)C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，P(4,6)在C上．
(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；
(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與C相交于M，N兩點(diǎn)，且PM⊥PN，求證：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)．
[解析] (1)由已知得：e＝eq \f(c,a)＝2，c＝2a，所以b2＝3a2，
又eq \f(16,a2)－eq \f(36,b2)＝1，
解得a2＝4，b2＝12，故雙曲線(xiàn)C的方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，
(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋m，與C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1聯(lián)立整理得：
(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0，由已知k≠±eq \r(3).
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝eq \f(2km,3－k2)，
x1x2＝－eq \f(m2＋12,3－k2)①
由PM⊥PN得：(1＋k2)x1x2＋(km－6k－4)(x1＋x2)＋(m－6)2＋16＝0②
由①②聯(lián)立得：m2－32k2－4km－18m＋72＝0，
即(m＋4k－6)(m－8k－12)＝0，
由已知l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6)，故m＋4k－6≠0，
所以m－8k－12＝0，故m＝8k＋12，
l：y＝k(x＋8)＋12，過(guò)定點(diǎn)(－8,12)
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，設(shè)M(x1，y1)，N(x1，－y1)，解得x1＝－8，
滿(mǎn)足條件，故直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(－8,12).

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