[解析] (1)由題可得離心率eq \f(c,a)＝eq \r(2)，所以c＝eq \r(2)a，
又因?yàn)閏2＝a2＋b2，所以a2＝b2，
所以雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1，
又因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)A(2,1)，所以eq \f(4,a2)－eq \f(1,a2)＝1，解得a2＝3，
所以雙曲線方程為eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1.
(2)設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)－\f(y2,3)＝1，))得(1－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
則1－k2≠0得k2≠1，
Δ＝4k2m2＋4(1－k2)(m2＋3)>0，得m2>3k2－3，
x1＋x2＝eq \f(2km,1－k2)，x1x2＝eq \f(－m2－3,1－k2)，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq \f(2k2m,1－k2)＋2m＝eq \f(2m,1－k2)，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq \f(m2－3k2,1－k2)，
因?yàn)锳M⊥AN，所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝0，
所以(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，
所以eq \f(－m2－3,1－k2)＋eq \f(－4km,1－k2)＋4＋eq \f(m2－3k2,1－k2)＋eq \f(－2m,1－k2)＋1＝0，
所以1－2km－4k2－m＝0即(1－2k－m)(2k＋1)＝0，
得1－2k－m＝0或2k＋1＝0，
若1－2k－m＝0，則直線MN的方程為y＝kx＋1－2k，
即y－1＝k(x－2)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，不符合題意，
若2k＋1＝0，則k＝－eq \f(1,2)，滿足AM⊥AN，
綜上直線MN的斜率k為定值－eq \f(1,2).
名師點(diǎn)撥：圓錐曲線中定值問(wèn)題的特點(diǎn)及解法
1．特點(diǎn)：待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值．
2．解法：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
(2)引進(jìn)變量法：其解題流程為
【變式訓(xùn)練】
(2024·河北衡水中學(xué)綜合素養(yǎng)測(cè)評(píng))已知直線l1：y＝2x和直線l2：y＝－2x，過(guò)動(dòng)點(diǎn)E作平行l(wèi)2的直線交l1于點(diǎn)A，過(guò)動(dòng)點(diǎn)E作平行l(wèi)1的直線交l2于點(diǎn)B，且四邊形OAEB(O為原點(diǎn))的面積為4.
(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；
(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E的軌跡的焦點(diǎn)在x軸時(shí)，記軌跡為曲線E0，若過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線m與曲線E0交于P，Q兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)N，若eq \(NM,\s\up6(→))＝λeq \(MP,\s\up6(→))，eq \(NM,\s\up6(→))＝μeq \(MQ,\s\up6(→))，求證：λ＋μ為定值．
[解析] (1)設(shè)E(x0，y0)，過(guò)E(x0，y0)且平行l(wèi)2的直線方程為y－y0＝－2(x－x0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－y0＝－2?x－x0?，,y＝2x，))得交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為eq \f(2x0＋y0,4)，
所以|OA|＝eq \r(1＋22)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2x0＋y0,4)))＝eq \f(\r(5),4)|2x0＋y0|，
E點(diǎn)到直線l1的距離為eq \f(|2x0－y0|,\r(5))，
所以四邊形OAEB的面積為eq \f(|2x0－y0|,\r(5))×eq \f(\r(5),4)|2x0＋y0|＝4，
即eq \f(x\\al(2,0),4)－eq \f(y\\al(2,0),16)＝1或eq \f(y\\al(2,0),16)－eq \f(x\\al(2,0),4)＝1，
故動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,16)－eq \f(x2,4)＝1.
(2)證明：由題知E0的方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1，
設(shè)N(0，yN)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
當(dāng)直線m的斜率為0時(shí)，N(0,0)，
若P(－2,0)，Q(2,0)，由eq \(NM,\s\up6(→))＝λeq \(MP,\s\up6(→))，eq \(NM,\s\up6(→))＝μeq \(MQ,\s\up6(→))，知λ＝－eq \f(1,3)，μ＝1，
所以λ＋μ＝eq \f(2,3)；
若Q(－2,0)，P(2,0)，
由eq \(NM,\s\up6(→))＝λeq \(MP,\s\up6(→))，eq \(NM,\s\up6(→))＝μeq \(MQ,\s\up6(→))，知λ＝1，μ＝－eq \f(1,3)，
所以λ＋μ＝eq \f(2,3)；
當(dāng)直線m的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線m的方程為x＝ty＋1(顯然t≠0)，
則Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,t)))，即yN＝－eq \f(1,t)，
因?yàn)閑q \(NM,\s\up6(→))＝λeq \(MP,\s\up6(→))，eq \(NM,\s\up6(→))＝μeq \(MQ,\s\up6(→))，
所以(1，－yN)＝λ(x1－1，y1)，(1，－yN)＝μ(x2－1，y2)，
解得λ＝－eq \f(yN,y1)，u＝－eq \f(yN,y2)，λ＋μ＝－yNeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y1)＋\f(1,y2)))＝－yN·eq \f(y1＋y2,y1y2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty＋1，,4x2－y2＝16，))消x并整理得(4t2－1)y2＋8ty－12＝0，
因?yàn)橹本€m與曲線E0有兩個(gè)交點(diǎn)，
則在4t2－1≠0且判別式Δ>0時(shí)有y1＋y2＝eq \f(－8t,4t2－1)且y1y2＝eq \f(－12,4t2－1)
所以λ＋μ＝eq \f(1,t)·eq \f(－8t,4t2－1)·eq \f(4t2－1,－12)＝eq \f(2,3)，
即證得λ＋μ為定值eq \f(2,3).

相關(guān)試卷

2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破訓(xùn)練題第8章平面解析幾何第10講圓錐曲線__定點(diǎn)定值探究性問(wèn)題考點(diǎn)4探究型問(wèn)題：

這是一份2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破訓(xùn)練題第8章平面解析幾何第10講圓錐曲線__定點(diǎn)定值探究性問(wèn)題考點(diǎn)4探究型問(wèn)題，共4頁(yè)。

2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第10講圓錐曲線__定點(diǎn)定值探究性問(wèn)題提能訓(xùn)練：

這是一份2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第10講圓錐曲線__定點(diǎn)定值探究性問(wèn)題提能訓(xùn)練，共4頁(yè)。試卷主要包含了已知雙曲線C，此時(shí)直線PQ過(guò)定點(diǎn)，已知橢圓C，已知橢圓E，過(guò)拋物線E等內(nèi)容，歡迎下載使用。

備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值定線問(wèn)題命題點(diǎn)2定值問(wèn)題：

這是一份備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值定線問(wèn)題命題點(diǎn)2定值問(wèn)題，共3頁(yè)。試卷主要包含了故拋物線C的方程為y2＝4x等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值定線問(wèn)題命題點(diǎn)3定線問(wèn)題

備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值定線問(wèn)題命題點(diǎn)3定線問(wèn)題
備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值定線問(wèn)題

備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值定線問(wèn)題
備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值定線問(wèn)題

備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值定線問(wèn)題
題型05 平面解析幾何題型（定值定點(diǎn)問(wèn)題、存在性問(wèn)題、最值取值范圍問(wèn)題）-高考數(shù)學(xué)必考重點(diǎn)題型技法突破

題型05 平面解析幾何題型（定值定點(diǎn)問(wèn)題、存在性問(wèn)題、最值取值范圍問(wèn)題）-高考數(shù)學(xué)必考重點(diǎn)題型技法突破
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部