備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破3圓錐曲線中的定點(diǎn)定值定線問題命題點(diǎn)2定值問題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（1）求直線l的斜率的取值范圍；
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，QM＝λQO，QN＝μQO，求證：1λ＋1μ為定值.
解析（1）因?yàn)閽佄锞€y2＝2px過點(diǎn)（1，2），所以2p＝4，即p＝2.故拋物線C的方程為y2＝4x.
由題意知，直線l的斜率存在且不為0.
設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1（k≠0）.
由y2=4x，y＝kx+1得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.
依題意，得Δ＝（2k－4）2－4×k2×1＞0，解得k＜0或0＜k＜1.
又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)（1，－2）.
從而k≠－3.
所以直線l的斜率的取值范圍是（－∞，－3）∪（－3，0）∪（0，1）.
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.
由（1）知x1＋x2＝－2k－4k2，x1x2＝1k2.
直線PA的方程為y－2＝y(tǒng)1－2x1－1（x－1）.
令x＝0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM＝－y1+2x1－1＋2＝－kx1+1x1－1＋2.
同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN＝－kx2+1x2－1＋2.
由QM＝λQO，QN＝μQO得λ＝1－yM，μ＝1－yN.
所以1λ＋1μ＝11－yM＋11－yN
＝x1－1（k－1）x1＋x2－1（k－1）x2
＝1k－1·2x1x2－（x1＋x2）x1x2
＝1k－1·2k2＋2k－4k21k2
＝2.
所以1λ＋1μ為定值.
方法技巧
圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法
1.特點(diǎn)：待證幾何量不受動點(diǎn)或動線的影響而有固定的值.
2.兩大解法
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).
（2）引進(jìn)變量法，其解題流程為：
訓(xùn)練2 [2023武漢市四月調(diào)研]過點(diǎn)（4，2）的動直線l與雙曲線E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l與x軸平行時，｜MN｜＝42，當(dāng)l與y軸平行時，｜MN｜＝43.
（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P是直線y＝x＋1上一定點(diǎn)，設(shè)直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，若k1k2為定值，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
解析（1）根據(jù)雙曲線的對稱性，可知雙曲線E過點(diǎn)（±22，2）和點(diǎn)（4，±23），
所以8a2－4b2=1，16a2－12b2=1，得a2=4，b2=4.
故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24－y24＝1.
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝k（x－4）＋2，
與雙曲線方程聯(lián)立得y＝k（x－4）+2，x24－y24=1，消去y，得（k2－1）x2－（8k2－4k）x＋16k2－16k＋8＝0，Δ＞0.
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＋x2＝8k2－4kk2－1，x1x2＝16k2－16k+8k2－1.
設(shè)P（t，t＋1），則
k1k2＝（y1－t－1)(y2－t－1）（x1－t)(x2－t）
＝（kx1－4k－t+1)(kx2－4k－t+1）（x1－t)(x2－t）
＝k2x1x2－k（4k＋t－1)(x1＋x2）＋（4k＋t－1）2x1x2－t（x1＋x2）＋t2
＝k2（16k2－16k+8)－k（4k＋t－1)(8k2－4k）＋（4k＋t－1）2（k2－1）16k2－16k+8－t（8k2－4k）＋t2（k2－1）
＝（t2+2t－11）k2－8（t－1）k－（t－1）2（t－4）2k2+4（t－4）k－（t2－8）.
當(dāng)t＝4時，不滿足k1k2為定值.
當(dāng)t≠4時，若k1k2為定值，則t2+2t－11（t－4）2＝－8（t－1）4（t－4）＝－（t－1）2－（t2－8），解得t＝3，此時k1k2＝4.（若一個分式為定值，則對應(yīng)系數(shù)成比例，因?yàn)橐ＷC分母不為0，所以要考慮t＝4和t≠4兩種情況）
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，對P（3，4），也滿足k1k2＝4.
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）.