所以點P的軌跡是以A(－1,0)，B(1,0)為焦點，長軸長為4的橢圓，
設(shè)該橢圓的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則c＝1，a＝2，從而b＝eq \r(3).
所以點P的軌跡方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由題意知直線MN的方程為y＝k(x＋4)，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．
聯(lián)立方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x＋4?，,3x2＋4y2＝12，))消去x得(3＋4k2)y2－24ky＋36k2＝0，
由Δ>0，可得k20)的左頂點為A，焦距為4，過右焦點F作垂直于實軸的直線交C于B、D兩點，且△ABD是直角三角形．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)M、N是C右支上的兩動點，設(shè)直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，若k1k2＝－2，求點A到直線MN的距離d的取值范圍．
[解析] (1)依題意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
由|AF|＝|BF|得a＋c＝eq \f(b2,a)，
即a2＋2a＝22－a2，解得a＝1(其中a＝－20))下，設(shè)M(x1，y1)、N(x2，y2)，
則y1＋y2＝－eq \f(6mn,3m2－1)，y1y2＝eq \f(3?n2－1?,3m2－1)(*)
由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，
整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，
將(*)式代入得3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0.
化簡可消去所有的含m項，解得n＝5或n＝－1(舍去)．
則直線MN的方程為x－my－5＝0，則d＝eq \f(6,\r(m2＋1))，
又MN都在雙曲線右支上，故有3m2－1

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