江西省南昌市一中教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，寫在試卷上的答案無效．
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1. 下列各式中，不是二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查二次根式定義，根據(jù)定義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、，是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、被開方數(shù)為無意義，不是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；
C、由于，是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B
2. 下列二次根式中，能與合并的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題重點(diǎn)考查了二次根式的加減法則，只有同類二次根式才能相加減，清楚同類二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式，把每個(gè)根式化簡即可確定．
【詳解】解：A、=，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、，故選項(xiàng)正確；
C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
3. 以直角三角形的三邊為邊做正方形，三個(gè)正方形的面積如圖，正方形A的面積為（）
A. 6B. 36C. 64D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖形知道所求的A的面積即為正方形中間的直角三角形的A所在直角邊的平方，然后根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】∵兩個(gè)正方形的面積分別為8和14，
且它們分別是直角三角形的一直角邊和斜邊的平方，
∴正方形A的面積=14-8=6．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股樹問題：以兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．
4. 的三邊分別為，，，下列條件：①；②；③．其中能判斷是直角三角形的條件個(gè)數(shù)有．
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷①，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷②和③，由此即得答案.
【詳解】①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，
∴△BAC是直角三角形；
③∵a：b：c＝3：4：5，
∴設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵a2+b2＝25k2，c2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型，掌握直角三角形的判定方法是關(guān)鍵.
5. □ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn)，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）
A. BE=DFB. AE=CFC. AF//CED. ∠BAE=∠DCF
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的判定方法結(jié)合已知條件逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可得．
【詳解】A、如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意；
B、如圖所示，AE=CF，不能得到四邊形AECF是平行四邊形，故符合題意；
C、如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，
∵AF//CE，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意；
D、如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．已知，的面積為5，則的長為（）
A. 2B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積問題．連接，由題意可得為對(duì)角線的垂直平分線，可得，，由三角形的面積則可求得的長，然后由勾股定理求得答案．
【詳解】解：連接，如圖所示：

由題意可得，為對(duì)角線的垂直平分線，
，，
．
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故選：D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
7. 要使式子有意義，則x的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】題目主要考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可．
【詳解】解：∵有意義，
∴，
∴，
故答案為：．
8. 如圖，在矩形中，，，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為________．

【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．由勾股定理得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即可求出點(diǎn)表示的數(shù)．
【詳解】解：在矩形中，，，
由作法可知，
點(diǎn)表示的數(shù)為，
點(diǎn)表示的數(shù)為，
故答案為：
9. 《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”大意是說：已知矩形門的高比寬多6尺，門的對(duì)角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？（1丈=10尺），如果設(shè)門的寬為x尺，那么這個(gè)門的高為（x+6）尺，根據(jù)題意得方程：_____．
【答案】x2+（x+6）2=102
【解析】
【分析】直接利用勾股定理進(jìn)而得出等式方程即可．
【詳解】設(shè)門的寬為x尺，那么這個(gè)門的高為（x+6）尺，根據(jù)題意得方程：
x2+（x+6）2=102
故答案為x2+（x+6）2=102
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范圍是____．
【答案】3＜x＜11
【解析】
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=8，BD=14，
∴AO=4，BO=7，
∵AB=x，
∴7﹣4＜x＜7+4，
解得3＜x＜11．
故答案為：3＜x＜11．
11. 如圖，一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．已知，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則_________cm．
【答案】3
【解析】
【分析】先讀尺確定，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】根據(jù)刻度尺可知．
在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，理解“直角三角形的斜邊中線是斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵．
12. 如圖，矩形中，，，連接，若點(diǎn)在圖中任意線段上，當(dāng)，則的長為________．

【答案】3或或
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，，當(dāng)時(shí)，分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在邊上，②點(diǎn)P在的中點(diǎn)，③點(diǎn)P在邊上，分別求解即可．
【詳解】解：在矩形中，，，，
∵，，
根據(jù)勾股定理，得，
當(dāng)時(shí)，分情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)P在邊上，如圖所示：在圖1中，
設(shè)，
則，
在中，根據(jù)勾股定理，得，
解得，則；
②點(diǎn)P在的中點(diǎn)，如圖所示：在圖2中，
，
③點(diǎn)P在邊上，如圖所示：在圖3中，
設(shè)，
則，
在中，根據(jù)勾股定理，得，
解得，則；
在中，根據(jù)勾股定理，得；
綜上所述：當(dāng)，則的長為3或或，
故答案為：3或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13. （1）計(jì)算：；
（2）如圖，在中，A、C分別在、的延長線上，且．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形判定與性質(zhì)和實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)及二次根式的加減運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
（1）先將二次根式化簡，然后計(jì)算加減法即可；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，再證，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）
；
（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
14. 已知，，．求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本題考查了完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式．熟練掌握完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式是解題的關(guān)鍵．
（1）利用完全平方公式計(jì)算求解即可；
（2）先通分，然后代值，利用平方差公式計(jì)算求解即可．
【小問1詳解】
解：∵，
∴
；
【小問2詳解】
解：由題意知，
．
15. 如圖，正方形網(wǎng)格中小方格邊長為1，A，B，C都是小正方形的頂點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)解決下面問題．
（1）求的周長；
（2）判斷是不是直角三角形，并說明理由.
【答案】（1）△ABC的周長為；（2）△ABC不是直角三角形，理由見解析．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC的長，然后可求周長；
（2）利用勾股定理的逆定理判斷即可．
【詳解】解：（1）如圖，根據(jù)題意由勾股定理，得
，，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=，
（2）△ABC不是直角三角形，理由是：
∵在△ABC中，AB2+BC2=13+45=58，AC2=64，
即AB2+BC2≠AC2，
∴△ABC不是直角三角形.
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
16. 如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，已知小巷的寬度是2.2米．一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子頂端與地面點(diǎn)距離是2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端與地面點(diǎn)距離是2米．求此時(shí)梯子底端到右墻角點(diǎn)的距離是多少米．
【答案】此時(shí)梯子底端到右墻角的距離是1.5米
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，設(shè)此時(shí)梯子底端到右墻角的距離長是米，根據(jù)，結(jié)合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟練掌握勾股定理是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)此時(shí)梯子底端到右墻角的距離長是米，
由題意列方程為：，
解方程得，
答：此時(shí)梯子底端到右墻角的距離是1.5米．
17. 如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在AD上，請(qǐng)僅用無刻度直尺按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）
（1）在圖1中，過點(diǎn)E作直線EF將□ABCD分成兩個(gè)全等的圖形；
（2）在圖2中，DE＝DC，請(qǐng)你作出∠BAD的平分線AM．
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析
【解析】
【分析】（1）作?ABCD的對(duì)角線AC、BD，交于點(diǎn)O，作直線EO交BC于點(diǎn)F，直線EF即為所求；
（2）由DE＝DC，在BC上取點(diǎn)M，且BM=DE，由等腰三角形的性質(zhì)可得AB=BM，則∠AMB=BAM，又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，則根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AMB=DAM，由DE＝DC，作射線AM即可得．
【詳解】（1）如圖1，直線EF即為所求；
（2）因?yàn)镈E＝DC，在BC上取點(diǎn)M，且BM=DE，則可得AB=BM，則∠AMB=BAM，又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，則根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AMB=DAM，故如圖2，射線AM即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18. 如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，且．
（1）求證：．
（2）若平分，，求的度數(shù)．
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
【分析】（1）△ABC和△EAD中已經(jīng)有一條邊和一個(gè)角分別相等，根據(jù)平行的性質(zhì)和等邊對(duì)等角得出∠B=∠DAE即可證明．
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）四邊形為平行四邊形，
．
．
．
．
．
（2），
．
為等邊三角形．
．
．
，
.
19. 正方形中對(duì)角線、相交于，為上一點(diǎn)，交于，交于．
（1）說明的道理；
（2）在（1）中，若為延長線上，交的延長線于，、的延長線交于，其他條件不變，如圖，則結(jié)論：“”還成立嗎？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）仍然成立．理由見解析
【解析】
【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)：
（1）由同角的余角相等，可得，由正方形的性質(zhì)知，，，則證得，可得；
（2）思路與（1）相同，易得，可得；
【小問1詳解】
證明：在正方形中，，
又∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
【小問2詳解】
仍成立．
證明：在正方形中，，
又∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
20. 請(qǐng)你認(rèn)真閱讀思考下面的材料，完成相關(guān)問題．
【數(shù)學(xué)模型】
如圖①，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，在直線l上確定一點(diǎn)P，使的值最小．
方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．此時(shí)，的值最小，且
【模型應(yīng)用】
（1）如圖②，經(jīng)測量得A，B兩點(diǎn)到河邊l的距離分別為米，米，且米．在l上確定一點(diǎn)P，則的最短路徑長為______米；
（2）如圖③，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)P是對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；
（3）如圖④，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，．請(qǐng)?jiān)趚軸上確定一點(diǎn)P，使的值最小，并求出的最小值．
【答案】（1）1500
（2）
（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為；的最小值為
【解析】
【分析】本題考查了軸對(duì)稱-最短問題，垂線段最短，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，要靈活運(yùn)用對(duì)稱性解決此類問題．找出P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．
（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作并交線于點(diǎn)M，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得出米，米，米，再由勾股定理求解即可；
（2）連接，設(shè)與交于點(diǎn)P，根據(jù)正方形的性質(zhì)及軸對(duì)稱得出P在與的交點(diǎn)上時(shí)，最小，為的長度，利用勾股定理求解即可；
（3）作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于P點(diǎn)，P點(diǎn)即為所求，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，則，的值最小，然后確定一次函數(shù)解析式即可得出結(jié)果，再由勾股定理求解即可．
【小問1詳解】
解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作并交線于點(diǎn)M，
∴米，
中，米，米，
（米），
∴“將軍飲馬”問題中的最短路徑長為1500米，
故答案為：1500；
【小問2詳解】
如圖，連接，
設(shè)與交于點(diǎn)P，
∵四邊形是正方形，
∴點(diǎn)B與D關(guān)于對(duì)稱，
∴，
∴最?。?br>即P在與的交點(diǎn)上時(shí)，最小，為的長度．
∵直角中，，
∴．
∴的最小值為．
【小問3詳解】
如圖，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于P點(diǎn)，P點(diǎn)即為所求：
利用對(duì)稱的性質(zhì)得到，則，的值最?。?br>A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
把代入得：
，解得，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，解得，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為；
的最小值為：．
五、解答題（本大題共2題，每題9分，共18分）
21. 【閱讀理解】
愛思考的小名在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解答的：
，．
，即．
．
．
請(qǐng)你根據(jù)小名的分析過程，解決如下問題：
（1）計(jì)算：______；
（2）計(jì)算：______；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，求代數(shù)式的值，熟練掌握二次根式的分母有理化是解題關(guān)鍵；
（1）仿照題的方法化簡即可；
（2）把每項(xiàng)按照題中方法化簡，再相加減即可；
（3）仿照題中方法求代數(shù)式值的方法求解即可．
【小問1詳解】
解：，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：
，
故答案為：；
小問3詳解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
22. 定義：有一個(gè)內(nèi)角為，且對(duì)角線相等的四邊形稱為準(zhǔn)矩形．
（1）如圖1，準(zhǔn)矩形中，，若，，求的長；
（2）如圖2，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，且四邊形是準(zhǔn)矩形，求證：；
（3）如圖3，準(zhǔn)矩形中，，，，，求這個(gè)準(zhǔn)矩形的面積．
【答案】（1）
（2）見解析（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出，再根據(jù)準(zhǔn)矩形的定義求出即可；
（2）根據(jù)準(zhǔn)矩形的性質(zhì)得到，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)一步推出，即可證明；
（3）作，根據(jù)梯形的面積公式，三角形面積公式即可得出答案．
【小問1詳解】
解：，，，
，
四邊形是準(zhǔn)矩形，
．
故答案為：；
【小問2詳解】
∵四邊形是準(zhǔn)矩形，
∴，
四邊形是正方形，
，，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
作，垂足為，
在中，，，
∴，
∴，
準(zhǔn)矩形中，，，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了新定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，梯形面積公式，三角形面積公式，正確運(yùn)用準(zhǔn)矩形的定義是解本題的關(guān)鍵．
六、解答題（本大題滿分12分）
23. （1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形的對(duì)角線的垂直平分線與邊，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：四邊形是菱形；
（2）【類比應(yīng)用】如圖②，直線分別交矩形的邊，于點(diǎn)E，F(xiàn)，將矩形沿翻折，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為，若，，求四邊形的周長；
（3）【拓展延伸】如圖③，直線分別交平行四邊形邊，于點(diǎn)E，F(xiàn)，將平行四邊形沿翻折，使點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為，若，，，求的長．
【答案】（1）見詳解；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）通過證明，得到，可證四邊形為平行四邊形，再由，可證平行四邊形為菱形；
（2）過點(diǎn)作于，先判斷四邊形是矩形，再求矩形的邊長，進(jìn)而求出周長；
（3）過點(diǎn)作，交的延長線于，過點(diǎn)作于，先證明四邊形是平行四邊形，再證明四邊形是矩形，在中，求出，中，求出即可．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
平行四邊形為菱形；
（2）解：過點(diǎn)作于，
由折疊可知：，，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
四邊形的周長；
（3）解：過點(diǎn)作，交的延長線于，過點(diǎn)作于，
四邊形是平行四邊形，，
，
，
，
，
，
由折疊的性質(zhì)可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
在中，，
，
在中，．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握菱形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，圖形折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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