重慶市豐都縣融智教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．試題的答案書(shū)寫(xiě)在答題卡（卷）上，不得在試題卷上直接作答．
2．考生務(wù)必將自己姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上．
3．選擇題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．不能答在試卷上．
4．考試結(jié)束后，考生將答題卡交回，試卷自行帶走．
一、選擇題（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分，在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所對(duì)應(yīng)的方框涂黑）
1. 下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）
A. 4，5，6B. 1，1，C. 6，8，11D. 5，12，23
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理逆定理：，將各個(gè)選項(xiàng)逐一代數(shù)計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：A、∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故A錯(cuò)誤；
B、∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故B正確；
C、∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故C錯(cuò)誤；
D、∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
2 下列計(jì)算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則分別計(jì)算，進(jìn)而判斷得出答案．
【詳解】解：A．，故此選項(xiàng)不合題意；
B．，故此選項(xiàng)符合題意；
C．，故此選項(xiàng)不合題意；
D．，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
3. 如圖，在中，，，于點(diǎn)E，則等于（）

A. 20°B. 110°C. 70°D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角求出，得到，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角求角度，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4. 估計(jì)的值應(yīng)在（）
A. 2和3之間B. 3和4之間C. 4和5之間D. 5和6之間
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，正確進(jìn)行二次根式的運(yùn)算是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而估算無(wú)理數(shù)的大小即可．
【詳解】解：
∵
∴
∴
∴的值應(yīng)在4和5之間．
故選：C．
5. 下列命題中，真命題是（）
A. 對(duì)角線相等的四邊形是矩形
B. 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
C. 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形
D. 一組鄰邊相等，并且有一個(gè)內(nèi)角為直角的四邊形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)．利用矩形、菱形、平行四邊形及正方形的判定定理分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【詳解】解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形才是矩形，原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；
B、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形也可能是等腰梯形，原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；
C、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，是真命題，本選項(xiàng)符合題意；
D、一組鄰邊相等，并且有一個(gè)內(nèi)角為直角的四邊形也可能是直角梯形，原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
6. 如圖，在菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，，則菱形的面積是（）

A. 48B. 36C. 24D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可得是斜邊上的中線，由此可求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半計(jì)算即可．
【詳解】解：∵菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面積是．
故選：C．
7. 如圖，在矩形中，，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)為（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理算出的長(zhǎng)度，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出的長(zhǎng)度，再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出周長(zhǎng)即可．
【詳解】在矩形中，，,
，
對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，
,
點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
，
的周長(zhǎng)為：
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和中位線的應(yīng)用，關(guān)鍵在于根據(jù)矩形的性質(zhì)轉(zhuǎn)變邊長(zhǎng)，中位線的性質(zhì)求出邊長(zhǎng)．
8. 勾股定理是我國(guó)古代的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一．如圖，以的各邊向外作正方形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作，左下不重疊部分的面積記作，若，則的值是（）

A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)的直角邊，，．則，，根據(jù)即可推出，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)的直角邊，，．
∴，
∵面積為的矩形的長(zhǎng)和寬分別是，，
∴，
∵面積為的正方形的邊長(zhǎng)是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，整式的乘法，解題個(gè)關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方，以及整式的乘法運(yùn)算．
9. 如圖：正方形中，點(diǎn)E、F分別是、邊上的點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)N，的角平分線交于M，過(guò)點(diǎn)M作分別交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)Q，連接，若，，則用含a的代數(shù)式表示為（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)探究角的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．先證明得到，進(jìn)而證得，再證明得到，，進(jìn)而證明得到，利用三角形的外角性質(zhì)求得，進(jìn)而可求解．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分線，
∴，又
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
10. 對(duì)于從左到右依次排列的三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，在a與b之間、b與c之間只添加一個(gè)四則運(yùn)算符號(hào)“+”、“-”、“×”、“÷”組成算式（不再添加改變運(yùn)算順序的括號(hào)），并按四則運(yùn)算法則計(jì)算結(jié)果，稱為對(duì)實(shí)數(shù)a、b、c進(jìn)行“四則操作”，例如：對(duì)實(shí)數(shù)4、5、6的“四則操作”可以是：，也可以是；對(duì)實(shí)數(shù)2，，的一種“四則操作”可以是．給出下列說(shuō)法：
① 對(duì)實(shí)數(shù)1、4、2進(jìn)行“四則操作”后的結(jié)果可能是6；
② 對(duì)于實(shí)數(shù)2、、3進(jìn)行．“四則操作”后，所有結(jié)果中最大的是21；
③ 對(duì)實(shí)數(shù)x、x、2進(jìn)行“四則操作”后的結(jié)果為6，則x的值共有16個(gè)；
其中正確的個(gè)數(shù)是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查有理數(shù)的四則運(yùn)算，在三個(gè)數(shù)之間合理的使用運(yùn)算符號(hào)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)“四則操作”的定義依次對(duì)各個(gè)說(shuō)法進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：對(duì)于實(shí)數(shù)1、4、2進(jìn)行“四則操作”可以是：，
結(jié)果可能為6，
故①正確；
對(duì)于實(shí)數(shù)2、、3進(jìn)行．“四則操作”，可以是或或或或，
最大結(jié)果是17，
故②錯(cuò)誤；
③對(duì)實(shí)數(shù)，，2進(jìn)行．“四則操作”后的結(jié)果為6，可以是或或或或或或或或，的或或或或或，共10個(gè)，故③錯(cuò)誤；
∴正確的只有①，共1個(gè)，
故選：B．
二、填空題（本大題4個(gè)小題，每小題8分，共32分，請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上）
11. 若式子有意義，則x的取值范圍是____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查二次根式有意義的條件．根據(jù)被開(kāi)方數(shù)不小于零的條件進(jìn)行解題即可．
【詳解】解：由題可知，
，
解得．
故答案為：．
12. 如圖所示，為的中位線，點(diǎn)在上，且，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)____．
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形中位線定理求出，計(jì)算即可，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：在中，為的中點(diǎn)，，
，
為的中位線，，
，
，
故答案為：．
13. 我同古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長(zhǎng)尺），牽著繩索退行，在距木柱底部尺處時(shí)繩索用盡，則木柱長(zhǎng)為_(kāi)_________尺．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)木柱長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．
【詳解】解：如圖所示，
設(shè)木柱長(zhǎng)為尺，根據(jù)題意得：

∵
則
解得
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
14. 已知實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)______．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)a、b、c在數(shù)軸上的位置，判斷出a、b、c的正負(fù)情況，繼而得出，然后根據(jù)絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)去掉根號(hào)和絕對(duì)值號(hào)，再進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：由圖可知，，
∴，
∴
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，絕對(duì)值的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的大小并正確運(yùn)用二次根式和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
15. 如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，，，，再根據(jù)勾股定理，最后利用菱形的面積即可解答．
【詳解】解：∵在菱形中，
∴，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16. 如圖，在中，，，，是邊的中點(diǎn)，連接，將沿翻折，得到，連接，則點(diǎn)到的距離為_(kāi)_____．
【答案】##
【解析】
【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)線于點(diǎn)，首先證明垂直平分線段，是直角三角形，證明，可得，，得到相關(guān)線段長(zhǎng)度，然后在利用等面積法列式求解即可得到答案．
【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，如圖所示：
中，，，，則由勾股定理可得，
，則，
，
，
，
是邊上的中線，
，
由翻折可知，，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知是的垂直平分線，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，解得，即點(diǎn)到的距離為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積，解題的關(guān)鍵是利用面積法求高，綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考?？碱}型．
17. 如果關(guān)于x的不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解為正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的和為_(kāi)_________．
【答案】12
【解析】
【分析】本題主要考查分式方程的解和一元一次不等式組的解，熟練掌握解分式方程和不等式組的能力，并根據(jù)題意得到關(guān)于的范圍是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：解不等式組，得：，
不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，
，
解得：，
解關(guān)于的分式方程，
得：，且
∴
分式方程解為正整數(shù)，且，
符合條件的所有整數(shù)的值為5，7，
符合條件的所有整數(shù)的和為．
故答案為：12．
18. 對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù)，若它的千位數(shù)字與百位數(shù)字的和比十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和大，則稱這個(gè)四位數(shù)根為“差雙數(shù)”，記為的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和．例如：，，是“差雙數(shù)”，；，，不是“差雙數(shù)”．若與都是“差雙數(shù)”，且，則“差雙數(shù)”是_____；已知M，N均為“差雙數(shù)”，其中，，，，，，，，，，是整數(shù)，已知能被整除，且為整數(shù)，則滿足條件的所有的的值之和為_(kāi)__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)“差雙數(shù)”的定義可得的值為，；根據(jù)，可得和的另一個(gè)關(guān)系，進(jìn)而求得和的值，即可求得差雙數(shù)”；判斷出和的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，根據(jù)它們都是“差雙數(shù)”得的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的關(guān)系，得到和并化簡(jiǎn)，根據(jù)能被整除，且為整數(shù)，得到可能的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，計(jì)算得到所有的，相加即可．
【詳解】解：與都是“差雙數(shù)”
，
，
即
則為：．
，均為“差雙數(shù)”，其中，，，，，，，，，，是整數(shù)，
即
，
能被整除，
即是整數(shù)，
又是整數(shù)，
，且為整數(shù)，是整數(shù)，
或或．
當(dāng)時(shí)，為整數(shù)
或；
當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，不存在；
當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，不存在；
①，．
，
．
，，
，或，．
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，即，符合題意；
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，即，不符合題意；
．
②，．
，
．
，，
，或，
當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，即，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，符合題意；
．
滿足條件的所有的的值之和為：．
故答案為：，．
三、解答題（本大題共8小題，19題8分，20-26題每題10分，共78分，解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上）
19. 計(jì)算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則及絕對(duì)值的性質(zhì)即可解答；
（2）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
解：
；
【小問(wèn)2詳解】
解：
；
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算法則，二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
20. 如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，的延長(zhǎng)線上，且，與交于點(diǎn)O．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而可證，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴．
21. 如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線、交于點(diǎn)O，平分，過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求四邊形的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）
【解析】
【分析】本題考查菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)．
（1）由和平分可得，從而，進(jìn)而根據(jù)菱形的定義得證結(jié)論；
（2）由求出，進(jìn)而，，在中，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，即可求得的長(zhǎng)，根據(jù)面積公式即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是菱形；
【小問(wèn)2詳解】
∵四邊形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∵在菱形中，，
∴．
22. 如圖，四邊形是平行四邊形，于E．
（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接．（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，不下結(jié)論）
（2）求證：．將下面的過(guò)程補(bǔ)充完整．
證明：∵，，
∴①____________，；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴②____________，，
∴③____________．
在和中，
，
∴，
∴④____________，
又∵，
∴四邊形是⑤____________；（⑥____________）（填推理的依據(jù)）
∴．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；；；；平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
【解析】
【分析】本題考查作圖基本作圖、全等三角形判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可．
（2）根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)可得答案．
【詳解】（1）解：如圖所示．
（2）證明：，，
∴，．
四邊形是平行四邊形，
，．
．
在和中，
，
∴，
．
又∵，
四邊形是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．
．
故答案為：；；；；平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
23. 閱讀理解：我們把稱作二階行列式，規(guī)定它運(yùn)算法則為，例如，請(qǐng)根據(jù)閱讀理解解答下列各題：
（1）______；
（2）計(jì)算：；
（3）已知實(shí)數(shù)a，b滿足行列式，則代數(shù)式的值．
【答案】（1）5 （2）
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
（1）根據(jù)二階行列式的形式，把相應(yīng)的值代入運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)二階行列式的形式，把相應(yīng)的值代入運(yùn)算即可；
（3）先利用分式的相應(yīng)的法則對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合二階行列式的形式求得相應(yīng)的值，代入運(yùn)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：
；
故答案為：5；
【小問(wèn)2詳解】
解：
；
【小問(wèn)3詳解】
解：
，
，
，
，
，
原式
．
24. 小明和小紅相約周末游覽合川釣魚(yú)城，如圖，為同一平面內(nèi)的五個(gè)景點(diǎn)．已知景點(diǎn)位于景點(diǎn)的東南方向米處，景點(diǎn)位于景點(diǎn)的北偏東方向米處，景點(diǎn)位于景點(diǎn)的北偏東方向，若景點(diǎn)與景點(diǎn)，都位于東西方向，且景點(diǎn)在同一直線上．
（1）求景點(diǎn)與景點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）小明從景點(diǎn)出發(fā)，從到到，小紅從景點(diǎn)出發(fā)，從到到，兩人在各景點(diǎn)處停留的時(shí)間忽略不計(jì)．已知兩人同時(shí)出發(fā)且速度相同，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)先到達(dá)景點(diǎn)．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）景點(diǎn)與景點(diǎn)之間的距離為米
（2）小紅先到達(dá)景點(diǎn)，理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，解直角三角形求出，即可求出點(diǎn)與景點(diǎn)之間的距離；
（）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，解直角三角形求出，分別計(jì)算出兩人所走的路程，即可判斷求解；
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意，作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
答：景點(diǎn)到景點(diǎn)的距離為米；
【小問(wèn)2詳解】
解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，
∴四邊形為矩形，
在中，，
∴，
∴，，
又∵四邊形為矩形，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴小明所走的路程為米，
小紅所走的路程為米，
∵且兩人速度相同，
∴小紅先到達(dá)景點(diǎn)．
25. 如圖，正方形中，E是邊上一點(diǎn)，連接，以為邊在右側(cè)作正方形，連接，交于點(diǎn)N，連接．過(guò)點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：；
（2）求證：．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)先證明，得出即可得證；
（2）延長(zhǎng)到M，使得，連接，先證明，再證明即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
∵四邊形和四邊形是正方形，且，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
【小問(wèn)2詳解】
延長(zhǎng)到M，使得，連接，如圖：
∵四邊形是正方形，
∴，，.
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴.
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
26. 在中，，，D為上任意一點(diǎn)，E為上任意一點(diǎn)．
（1）如圖1，連接，若，，求的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若點(diǎn)D為中點(diǎn)，連接，點(diǎn)F為上任意一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點(diǎn)N在上，且，求證：．
（3）如圖3，點(diǎn)D為中點(diǎn)，連接，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接、，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，H為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度的最大值．
【答案】（1）
（2）見(jiàn)解析（3）
【解析】
【分析】（1）過(guò)E作于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系求解即可；
（2）如圖2，過(guò)E作交延長(zhǎng)線于H，則，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和全等三角形的判定，結(jié)合等腰三角形的判定與性質(zhì)證明得到，，，進(jìn)而利用等腰直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)證明即可證得結(jié)論；
（3）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，進(jìn)而得到點(diǎn)在以點(diǎn)F為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；再判斷出點(diǎn)G在過(guò)點(diǎn)A且與平行的射線上運(yùn)動(dòng)，以及當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)，最大，即最大，進(jìn)而可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖1，過(guò)E作于H，
∵在中，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
證明：如圖2，過(guò)E作交延長(zhǎng)線于H，則，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，
∴，
∵在中，，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
解：∵在中，，，
∴，
∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，
∴，，
∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，
∴，
∴點(diǎn)在以點(diǎn)F為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；
由（2）知，則，
即點(diǎn)G在過(guò)點(diǎn)A且與平行的射線上運(yùn)動(dòng)，
∵，，
∴，
當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)，的長(zhǎng)最大，即的長(zhǎng)最大，如圖，
∵，∴的長(zhǎng)的最大值為，
∵當(dāng)G、F、共線時(shí)，的長(zhǎng)最大，
∴線段的長(zhǎng)度的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、圓的有關(guān)性質(zhì)、翻折性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多