1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚。
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。在試題卷上作答無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知實(shí)數(shù)，且，則取得最大值時(shí)，的值為（ ）
A.B.C.D.或
2.已知，，，則（ ）
A.B.C.D.
3.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（ ）
A.B.C.1D.0
4.已知滿足，且，則（ ）
A.B.C.D.
5.在平面直角坐標(biāo)系中，集合，集合，已知點(diǎn)，點(diǎn)，記表示線段長(zhǎng)度的最小值，則的最大值為（ ）
A.2B.C.1D.
6.算盤(pán)起源于中國(guó)，迄今已有2600多年的歷史，是中國(guó)古代的一項(xiàng)偉大的發(fā)明.在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前，算盤(pán)是世界廣為使用的計(jì)算工具，下圖一展示的是一把算盤(pán)的初始狀態(tài)，自右向左分別表示個(gè)位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（簡(jiǎn)稱上珠）代表5，下面的一粒珠子（簡(jiǎn)稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如圖二，個(gè)位上撥動(dòng)一粒上珠、兩粒下珠，十位上撥動(dòng)一粒下珠至梁上，代表數(shù)字17.現(xiàn)將算盤(pán)的個(gè)位、十位、百位、千位、萬(wàn)位、十萬(wàn)位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子至梁上，則表示的六位數(shù)至多含4個(gè)5的情況有（ ）
A.57種B.58種C.59種D.60種
7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則滿足的值為（ ）
A.14B.15C.16D.17
8.已知 fx 為定義在 ?∞,0∪0,+∞ 上的偶函數(shù)，已知 f1=0，當(dāng)x＞0 時(shí)，有 2fx?xf'x＞0 ，則使 fx＞0 成立的x的取值范圍為（ ）
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.
9.已知，則（ ）
A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B.的值域?yàn)?br>C.在區(qū)間上有33個(gè)零點(diǎn)
D.若方程在（）有4個(gè)不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），則的取值范圍是
10.已知正方體的棱長(zhǎng)為是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，平面截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分別為，則下列判斷正確的是（ ）
A.時(shí)，截面面積為B.時(shí)，
C.隨著的增大先減小后增大D.的最大值為
11.已知雙曲線上一點(diǎn)A到其兩條漸近線的距離之積為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.B.C.D.
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為 .
13.已知有兩個(gè)盒子，其中盒裝有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，盒裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.甲從盒、乙從盒各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，并將取出的2個(gè)球全部放入盒中，若2個(gè)球異色，則乙勝，并將取出的2個(gè)球全部放入盒中.按上述方法重復(fù)操作兩次后，盒中恰有7個(gè)球的概率是 .
14.一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，其底面圓的半徑為 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.(13分)已知等比數(shù)列的公比，且.
(1)求{}的前n項(xiàng)和；
(2)若等差數(shù)列的前2項(xiàng)分別為，，求的前n項(xiàng)和.
16.(15分)如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面與底面所成的角為，為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若為的內(nèi)心，求直線與平面所成角的正弦值.
17.(15分)某地區(qū)工會(huì)利用“健步行APP”開(kāi)展健步走活動(dòng).為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；
(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)，，的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率.
18.(17分)已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且.
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與交于不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn).
（i）求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ii）求與的面積之和的最小值.
19.(17分)對(duì)于函數(shù)及實(shí)數(shù)m，若存在，使得，則稱函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì).
(1)若與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，求m的取值范圍；
(2)己知，為定義在上的奇函數(shù)，且滿足；
①在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1；
②對(duì)任意，有.
求證：與不具有“4關(guān)聯(lián)”性.
2024學(xué)年鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三（下）第三次模擬考試
數(shù)學(xué) ? 參考答案
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【答案】D
【解析】，
又，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，或取等號(hào)，
所以或.
故選：D
2.【答案】C
【解析】由題意得，，
因?yàn)?，即?br>，即，
因?yàn)?，所以?br>故.
故選：C.
3.【答案】B
【解析】，
所以
,
所以的虛部為.
故選:B.
4.【答案】D
【解析】由，得，
由，得，
故和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
因?yàn)椋?br>所以和的取值范圍都是，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故方程在區(qū)間上只有一個(gè)根，
所以，即，于是有，
所以.
故選：D.
5.【答案】D
【解析】集合可以看作是表示直線上的點(diǎn)的集合，
由變形可得，，
由可得，，
所以直線過(guò)定點(diǎn).
集合可看作是直線上的點(diǎn)的集合，
由變形可得，，
由可得，，
所以，直線過(guò)定點(diǎn).
顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)分別重合，且線段與直線都垂直時(shí)，有最大值.
故選：D.
6.【答案】A
【解析】至多含4個(gè)5，有以下5種情況：
不含5，有種；含1個(gè)5，有種；
含2個(gè)5，有種；含3個(gè)5，有種；
含4個(gè)5，有種；
所以，所有的可能情況共有種，
故選：A.
7.【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)?，則，解得，
可得，
且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知：當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
若，所以.
故選：B.
8.【答案】D
【解析】令 gx=fxx2 ，其中 x≠0 ，因?yàn)楹瘮?shù) fx 為定義在 ?∞,0∪0,+∞ 上的偶函數(shù)，則 f?x=fx ，所以， g?x=f?x?x2=fxx2=gx ，所以，函數(shù) gx 為偶函數(shù)，
當(dāng) x＞0 時(shí)， g'x=x2f'x?2xfxx4=xf'(x)?2fxx3＜0 ，所以，函數(shù) gx 在 0,+∞ 上為減函數(shù)，且 g1=f112=0 ，由 fx＞0 可得 gx=fxx2＞0 ，則 gx=g|x|＞0=g1 ，所以， ，解得 ?1＜x＜0 或 0＜x＜1 ，
因此，使 fx＞0 成立的 x 的取值范圍為 ?1,0∪0,1 .故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.
9.【答案】AB
【解析】對(duì)A：由，
所以，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A正確；
對(duì)B：由，
因?yàn)?，所以的一個(gè)周期為，
不妨討論一個(gè)周期的值域情況，
當(dāng)，此時(shí)，
則，
因?yàn)?，所以，則，則；
當(dāng)，此時(shí)，
則，
因?yàn)椋?，則，則，
當(dāng)，此時(shí)，
則，
因?yàn)?，所以，則，則，
當(dāng)，此時(shí)，
則，
因?yàn)椋?，則，則，
綜上所述，故B正確；
對(duì)C：，令得或，可得（），
所以，，所以在上有31個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：是以為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，
則在上有2個(gè)實(shí)根，，且與關(guān)于對(duì)稱，所以；
當(dāng)時(shí)，則在上沒(méi)有實(shí)根，
則在上有2個(gè)實(shí)根，，且與關(guān)于對(duì)稱，且，
且，，
當(dāng)時(shí)，則在上沒(méi)有實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，有2個(gè)實(shí)根，但只需有4個(gè)零點(diǎn)，
所以，又因?yàn)椋?br>所以的取值范圍是，故D錯(cuò)誤，
故選：AB.
10.【答案】BCD
【解析】
如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，易得截面為正六邊形.其棱長(zhǎng)為，故截面面積為故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
由對(duì)稱性可知.當(dāng)時(shí).平面分兩部分是全等的，故體積相等，故B項(xiàng)正確；
如圖2.當(dāng)從0變化到1時(shí).截面從四邊形變化至五邊形（其中為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)）.
結(jié)合B項(xiàng)可知，被截面所分兩部分體積之差的絕對(duì)值先減小至0，再逐漸增大，故C項(xiàng)正確；
取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)為，或時(shí)情形.
當(dāng)時(shí)，不妨記為截面左上角的部分幾何體，則,
則,此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，不妨記為截面左上角的部分幾何體，則
,
則，此時(shí).
的最大值為，故D項(xiàng)正確.
故選：BCD.
11.【答案】ACD
【解析】易知：雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為，
則利用點(diǎn)到直線的距離公式可得.
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，A正確；
因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確;
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確.
故選:ACD.
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.【答案】
【解析】因?yàn)?，則，
所以切點(diǎn)為，且，
則，
由直線的點(diǎn)斜式可得，化簡(jiǎn)可得，
所以切線方程為.
故答案為：
13.【答案】
【解析】若兩次取球后，盒中恰有7個(gè)球，則兩次取球均為乙獲勝；
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率為，
第一次取球后盒中有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，盒裝有4個(gè)黑球和2個(gè)白球，
第二次取到異色球?yàn)槿〉揭粋€(gè)白球一個(gè)黑球，其概率為；
此時(shí)盒中恰有7個(gè)球的概率為；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率為，
第一次取球后盒中有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，盒裝有3個(gè)黑球和3個(gè)白球，
第二次取到異色球?yàn)槿〉揭粋€(gè)白球一個(gè)黑球，其概率為；
此時(shí)盒中恰有7個(gè)球的概率為；
所以盒中恰有7個(gè)球的概率為.
故答案為：
14.【答案】
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則圓錐的體積為，
當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心的同側(cè)時(shí)，有，，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，所以等號(hào)不成立.
當(dāng)圓錐頂點(diǎn)與底面在球心的異側(cè)時(shí)，，，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
此時(shí)，即.
所以當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，其底面圓的半徑為.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.(13分)【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，所以，可得，
所以，所以.
（2）解：由（1）得，，所以的公差，
所以.
16.(15分)【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br>因?yàn)榕c平面所成的角為平面，
所以，且，所以，
又為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以?br>又平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)槠矫妫?br>所以平面.
（2）因?yàn)榈酌鏋檎叫危瑸榈膬?nèi)心，
所以在對(duì)角線上.
如圖，設(shè)正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)為，
所以，
所以，
所以，
所以，又因?yàn)椋?
由題意知兩兩垂直，以所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
所以，由（1）知，
所以，
所以.
又因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
17.(15分)【答案】(1)14.5； (2)0.38
【解析】（1）解：（1）由于在的樣本數(shù)據(jù)比例為：
∴樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)在內(nèi)∴估計(jì)為：.
（2）（2）設(shè)任取的會(huì)員數(shù)據(jù)在，，中分別為事件，，，
∴，，
設(shè)事件在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人體檢為“健康”
.
18.(17分)【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【解析】（1）由題意可得，解得，
所以的方程為：；
（2）（i）由已知可得直線的斜率不為0，且過(guò)點(diǎn)，
故可設(shè)的直線的方程為，
代入拋物線的方程，
可得，
方程的判別式，
設(shè)，，
不妨設(shè)，則,
所以直線AD的方程為：，即
即，令，可得，
所以，所以
所以；
（ii）如圖所示，可得，
，
所以與的面積之和
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以與的面積之和的最小值為.

19.(17分)【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【解析】（1）由題意可知，
故，則m的取值范圍為；
（2）證明：因?yàn)樵谏希?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1，
且為定義在上的奇函數(shù)，
故在上當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值-1，
由對(duì)任意，有，可知圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
又，即，
故2a為函數(shù)的周期，
故，
，
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，
若，，，此時(shí)有為最大值；
當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，，
若，，此時(shí)有為最大值，
由于，故，
即不存在，使得，
所以與不具有“4關(guān)聯(lián)”性.A. ?∞,?1∪0,1
B. ?1,0∪1,+∞
C. ?∞,?1∪1,+∞
D. ?1,0∪0,1

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