河南省鄭州市宇華實驗學(xué)校2024屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚。
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。在試題卷上作答無效。
3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知實數(shù)，且，則取得最大值時，的值為（）
A.B.C.D.或
2.已知，，，則（）
A.B.C.D.
3.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（）
A.B.C.1D.0
4.已知滿足，且，則（）
A.B.C.D.
5.在平面直角坐標系中，集合，集合，已知點，點，記表示線段長度的最小值，則的最大值為（）
A.2B.C.1D.
6.算盤起源于中國，迄今已有2600多年的歷史，是中國古代的一項偉大的發(fā)明.在阿拉伯數(shù)字出現(xiàn)前，算盤是世界廣為使用的計算工具，下圖一展示的是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左分別表示個位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面的一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如圖二，個位上撥動一粒上珠、兩粒下珠，十位上撥動一粒下珠至梁上，代表數(shù)字17.現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位、萬位、十萬位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，則表示的六位數(shù)至多含4個5的情況有（）
A.57種B.58種C.59種D.60種
7.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則滿足的值為（）
A.14B.15C.16D.17
8.已知 fx 為定義在 ?∞,0∪0,+∞ 上的偶函數(shù)，已知 f1=0，當x＞0 時，有 2fx?xf'x＞0 ，則使 fx＞0 成立的x的取值范圍為（）
二、多項選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.
9.已知，則（）
A.的圖象關(guān)于點對稱
B.的值域為
C.在區(qū)間上有33個零點
D.若方程在（）有4個不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），則的取值范圍是
10.已知正方體的棱長為是中點，是的中點，點滿足，平面截該正方體，將其分成兩部分，設(shè)這兩部分的體積分別為，則下列判斷正確的是（）
A.時，截面面積為B.時，
C.隨著的增大先減小后增大D.的最大值為
11.已知雙曲線上一點A到其兩條漸近線的距離之積為，則下列結(jié)論正確的是（）
A.B.C.D.
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12.曲線在點處的切線方程為 .
13.已知有兩個盒子，其中盒裝有3個黑球和3個白球，盒裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外完全相同.甲從盒、乙從盒各隨機取出一個球，若2個球同色，則甲勝，并將取出的2個球全部放入盒中，若2個球異色，則乙勝，并將取出的2個球全部放入盒中.按上述方法重復(fù)操作兩次后，盒中恰有7個球的概率是 .
14.一個圓錐的頂點和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當圓錐的體積最大時，其底面圓的半徑為 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)已知等比數(shù)列的公比，且.
(1)求{}的前n項和；
(2)若等差數(shù)列的前2項分別為，，求的前n項和.
16.(15分)如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面與底面所成的角為，為的中點.
(1)求證：平面；
(2)若為的內(nèi)心，求直線與平面所成角的正弦值.
17.(15分)某地區(qū)工會利用“健步行APP”開展健步走活動.為了解會員的健步走情況，工會在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會員，統(tǒng)計了當天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；
(2)據(jù)統(tǒng)計，在樣本數(shù)據(jù)，，的會員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計在該地區(qū)工會會員中任取一人，體檢為“健康”的概率.
18.(17分)已知拋物線的焦點為，為上一點，且.
(1)求的方程；
(2)過點且斜率存在的直線與交于不同的兩點，且點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸交于點.
（i）求點的坐標；
（ii）求與的面積之和的最小值.
19.(17分)對于函數(shù)及實數(shù)m，若存在，使得，則稱函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì).
(1)若與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，求m的取值范圍；
(2)己知，為定義在上的奇函數(shù)，且滿足；
①在上，當且僅當時，取得最大值1；
②對任意，有.
求證：與不具有“4關(guān)聯(lián)”性.
2024學(xué)年鄭州市宇華實驗學(xué)校高三（下）第三次模擬考試
數(shù)學(xué) ? 參考答案
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】D
【解析】，
又，所以，
所以，
當且僅當，即，或取等號，
所以或.
故選：D
2.【答案】C
【解析】由題意得，，
因為，即，
，即，
因為，所以，
故.
故選：C.
3.【答案】B
【解析】，
所以
,
所以的虛部為.
故選:B.
4.【答案】D
【解析】由，得，
由，得，
故和是方程的兩個實數(shù)根.
因為，
所以和的取值范圍都是，
因為函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故方程在區(qū)間上只有一個根，
所以，即，于是有，
所以.
故選：D.
5.【答案】D
【解析】集合可以看作是表示直線上的點的集合，
由變形可得，，
由可得，，
所以直線過定點.
集合可看作是直線上的點的集合，
由變形可得，，
由可得，，
所以，直線過定點.
顯然，當點與點分別重合，且線段與直線都垂直時，有最大值.
故選：D.
6.【答案】A
【解析】至多含4個5，有以下5種情況：
不含5，有種；含1個5，有種；
含2個5，有種；含3個5，有種；
含4個5，有種；
所以，所有的可能情況共有種，
故選：A.
7.【答案】B
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因為，則，解得，
可得，
且，當時，；當時，；
可知：當或時，；當時，；
若，所以.
故選：B.
8.【答案】D
【解析】令 gx=fxx2 ，其中 x≠0 ，因為函數(shù) fx 為定義在 ?∞,0∪0,+∞ 上的偶函數(shù)，則 f?x=fx ，所以， g?x=f?x?x2=fxx2=gx ，所以，函數(shù) gx 為偶函數(shù)，
當 x＞0 時， g'x=x2f'x?2xfxx4=xf'(x)?2fxx3＜0 ，所以，函數(shù) gx 在 0,+∞ 上為減函數(shù)，且 g1=f112=0 ，由 fx＞0 可得 gx=fxx2＞0 ，則 gx=g|x|＞0=g1 ，所以，，解得 ?1＜x＜0 或 0＜x＜1 ，
因此，使 fx＞0 成立的 x 的取值范圍為 ?1,0∪0,1 .故選：D.
二、多項選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.
9.【答案】AB
【解析】對A：由，
所以，則的圖象關(guān)于對稱，故A正確；
對B：由，
因為，所以的一個周期為，
不妨討論一個周期的值域情況，
當，此時，
則，
因為，所以，則，則；
當，此時，
則，
因為，所以，則，則，
當，此時，
則，
因為，所以，則，則，
當，此時，
則，
因為，所以，則，則，
綜上所述，故B正確；
對C：，令得或，可得（），
所以，，所以在上有31個零點，故C錯誤；
對D：是以為周期的周期函數(shù)，當時，
則在上有2個實根，，且與關(guān)于對稱，所以；
當時，則在上沒有實根，
則在上有2個實根，，且與關(guān)于對稱，且，
且，，
當時，則在上沒有實根，
當時，有2個實根，但只需有4個零點，
所以，又因為，
所以的取值范圍是，故D錯誤，
故選：AB.
10.【答案】BCD
【解析】
如圖1，當時，點是的中點，易得截面為正六邊形.其棱長為，故截面面積為故A項錯誤；
由對稱性可知.當時.平面分兩部分是全等的，故體積相等，故B項正確；
如圖2.當從0變化到1時.截面從四邊形變化至五邊形（其中為靠近點的三等分點）.
結(jié)合B項可知，被截面所分兩部分體積之差的絕對值先減小至0，再逐漸增大，故C項正確；
取最大值時對應(yīng)為，或時情形.
當時，不妨記為截面左上角的部分幾何體，則,
則,此時；
當時，不妨記為截面左上角的部分幾何體，則
,
則，此時.
的最大值為，故D項正確.
故選：BCD.
11.【答案】ACD
【解析】易知：雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)點到兩條漸近線的距離分別為，
則利用點到直線的距離公式可得.
因為，所以，
所以，所以，A正確；
因為，所以，B錯誤；
因為，
當且僅當時等號成立，C正確;
因為，所以，
當且僅當時等號成立，D正確.
故選:ACD.
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12.【答案】
【解析】因為，則，
所以切點為，且，
則，
由直線的點斜式可得，化簡可得，
所以切線方程為.
故答案為：
13.【答案】
【解析】若兩次取球后，盒中恰有7個球，則兩次取球均為乙獲勝；
若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率為，
第一次取球后盒中有2個黑球和3個白球，盒裝有4個黑球和2個白球，
第二次取到異色球為取到一個白球一個黑球，其概率為；
此時盒中恰有7個球的概率為；
若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率為，
第一次取球后盒中有3個黑球和2個白球，盒裝有3個黑球和3個白球，
第二次取到異色球為取到一個白球一個黑球，其概率為；
此時盒中恰有7個球的概率為；
所以盒中恰有7個球的概率為.
故答案為：
14.【答案】
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則圓錐的體積為，
當圓錐頂點與底面在球心的同側(cè)時，有，，
，
，
當且僅當，即時等號成立，又，所以等號不成立.
當圓錐頂點與底面在球心的異側(cè)時，，，
，
，當且僅當，即時等號成立.
此時，即.
所以當圓錐的體積最大時，其底面圓的半徑為.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因為等比數(shù)列的公比，所以，可得，
所以，所以.
（2）解：由（1）得，，所以的公差，
所以.
16.(15分)【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】（1）因為平面平面，所以，
因為與平面所成的角為平面，
所以，且，所以，
又為的中點，所以，
因為四邊形為正方形，所以，
又平面，
所以平面，
因為平面，所以，
因為平面，
所以平面.
（2）因為底面為正方形，為的內(nèi)心，
所以在對角線上.
如圖，設(shè)正方形的對角線的交點為，
所以，
所以，
所以，
所以，又因為，所以.
由題意知兩兩垂直，以所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
所以，由（1）知，
所以，
所以.
又因為平面，所以平面的一個法向量為.
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
17.(15分)【答案】(1)14.5； (2)0.38
【解析】（1）解：（1）由于在的樣本數(shù)據(jù)比例為：
∴樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)在內(nèi)∴估計為：.
（2）（2）設(shè)任取的會員數(shù)據(jù)在，，中分別為事件，，，
∴，，
設(shè)事件在該地區(qū)工會會員中任取一人體檢為“健康”
.
18.(17分)【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【解析】（1）由題意可得，解得，
所以的方程為：；
（2）（i）由已知可得直線的斜率不為0，且過點，
故可設(shè)的直線的方程為，
代入拋物線的方程，
可得，
方程的判別式，
設(shè)，，
不妨設(shè)，則,
所以直線AD的方程為：，即
即，令，可得，
所以，所以
所以；
（ii）如圖所示，可得，
，
所以與的面積之和
當且僅當時，即時，等號成立，
所以與的面積之和的最小值為.

19.(17分)【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】（1）由題意可知，
故，則m的取值范圍為；
（2）證明：因為在上，當且僅當時，取得最大值1，
且為定義在上的奇函數(shù)，
故在上當且僅當時，取得最小值-1，
由對任意，有，可知圖象關(guān)于點對稱，
又，即，
故2a為函數(shù)的周期，
故，
，
當時，，
時，，
若，，，此時有為最大值；
當時，，
時，，
若，，此時有為最大值，
由于，故，
即不存在，使得，
所以與不具有“4關(guān)聯(lián)”性.A. ?∞,?1∪0,1
B. ?1,0∪1,+∞
C. ?∞,?1∪1,+∞
D. ?1,0∪0,1

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