考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 實(shí)數(shù)滿足，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C D.
2. 已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
3. 在四面體中，，，且，則該四面體的外接球表面積為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點(diǎn)D在線段BC上，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
7. 設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，集合.則（ ）
A. 不可能有無數(shù)個(gè)元素
B. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)元素
C. 當(dāng)只有2個(gè)元素時(shí)，這2個(gè)元素的乘積有可能為
D. 當(dāng)時(shí)，最多有個(gè)元素，且這個(gè)元素的和為0
8. 已知函數(shù)，若總存在兩條不同直線與函數(shù)，圖象均相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.
9. 已知?jiǎng)t可能滿足的關(guān)系是（）
A. B. C. D.
10. 如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).若在坐標(biāo)系中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. 與夾角為
11. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為，為的上頂點(diǎn)，，是上兩點(diǎn)．若，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，則（ ）
A. 最大值是
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)，在軸的同側(cè)時(shí)，的最大值為
D. 當(dāng)，在軸的異側(cè)時(shí)（，與不重合），
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12. 若，恒成立，則a的取值范圍是__________．
13. 若對(duì)于任意自然數(shù)，函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間上均有兩個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的最小值是__________.
14. 體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球；否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍是______
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15 設(shè)函數(shù)．
（1）解不等式；
（2）令的最小值為，正數(shù)滿足，證明：．
16. 如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面．

（1）求證：；
（2）若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
17. 某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競賽中的情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：
將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．
（1）求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
18. 已知拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，面積的最小值為4.
（1）求拋物線的方程；
（2）若過點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，試問拋物線上是否存在定點(diǎn)，使得對(duì)任意的直線，都有.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由.
19. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若a＞0，記為的零點(diǎn)，．
①證明：；
②探究與的大小關(guān)系．2024學(xué)年鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 實(shí)數(shù)滿足，則的大小關(guān)系是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性知；利用對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)推得，從而得解.
【詳解】由，得，即，所以；
由，得，
因?yàn)椋?br>所以，即；
綜上，.
故選：D.
2. 已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，再根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)列出不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>由，即，在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，
則，解得.
故選：D
3. 在四面體中，，，且，則該四面體外接球表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件作出四面體高，通過相關(guān)條件推理計(jì)算分別求出，最后在直角梯形，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半徑.
【詳解】
如圖，作平面，連接，易得因，平面，
所以平面，平面，故,
由題可得，，則.
不妨設(shè)，則有①，
在中，由余弦定理，，在中，②，
將兩式相減化簡即得：，.
取線段中點(diǎn)，過點(diǎn)作平面，其中點(diǎn)為外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，
由余弦定理求得，
在直角梯形中，，由計(jì)算可得：，則該四面體的外接球表面積為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查四面體的外接球的表面積，屬于中檔題.
求解多面體的外接球的主要方法有：
（1）構(gòu)造模型法:即尋找適合題意的長方體，正方體，圓柱等幾何體，借助于這些幾何體迅速求得外接球半徑；
（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多邊形的外心，作出外接球球心，借助于題設(shè)中的條件得到多面體的高，構(gòu)成直角梯形或直角三角形來求解.
4. 已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等變換整理得，結(jié)合最值可得，解得，，代入即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得：
，
則，解得，
且為第一象限角，則，
故.
故選：D.
5. 已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點(diǎn)D在線段BC上，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)確定，從而可得，從而用向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.
【詳解】設(shè)等腰△ABC在邊上的高為，
因?yàn)?，所以?br>所以,所以，
所以
.
故選:B.
6. 已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，為等腰直角三角形，且，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得方程為，以及，代入直線方程求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.
【詳解】如圖所示，由橢圓，得到左頂點(diǎn)，
又由過點(diǎn)且斜率為的直線，可得方程為，
因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，可得?br>代入直線，可得，整理得，
所以橢圓的離心率為.
故選：A.

7. 設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，集合.則（ ）
A. 不可能有無數(shù)個(gè)元素
B. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)元素
C. 當(dāng)只有2個(gè)元素時(shí)，這2個(gè)元素的乘積有可能為
D. 當(dāng)時(shí)，最多有個(gè)元素，且這個(gè)元素的和為0
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)于，選項(xiàng)，可取特殊數(shù)列驗(yàn)證即可；對(duì)于可假設(shè)成立，結(jié)合圖象推出與已知矛盾；對(duì)于，結(jié)合正弦函數(shù)的周期，即可判斷.
【詳解】選項(xiàng)，取，則，由，因?yàn)槭菬o窮等差數(shù)列，正弦函數(shù)是周期為的函數(shù)，所以在每個(gè)周期上的值不相同，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，取，即，則，只有一個(gè)元素，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，假設(shè)只有2個(gè)元素，，這2個(gè)元素的乘積為，如圖可知當(dāng)?shù)扔诨驎r(shí)，顯然不是等差數(shù)列，與已知矛盾，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，當(dāng)時(shí),
，
，
，
，
，
，，所以最多有個(gè)元素，
又因?yàn)檎液瘮?shù)的周期為，數(shù)列的公差為，
所以把周期平均分成份，所以個(gè)元素的和為0，故正確.
故選:.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列與正弦函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合，采用特例法，數(shù)形結(jié)合的方法判斷.
8. 已知函數(shù)，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)函數(shù)，的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，結(jié)合題意可知方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則設(shè)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性與最值情況，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意可知：，
設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
且，，則公切線的斜率，可得，
則公切線方程為，
代入得，
代入可得，整理得，
令，則，
若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，
設(shè)，則，
令，解得；令，解得；
則在內(nèi)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可得，
且當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，
可得，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及公切線問題一般先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切線相同得到方程組，將雙變量方程轉(zhuǎn)化為單變量方程，再參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問題，即可求出參數(shù)的取值范圍.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.
9. 已知?jiǎng)t可能滿足的關(guān)系是（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用指數(shù)運(yùn)算法則可得，結(jié)合基本不等式，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可得到結(jié)果.
【詳解】由，可得，，
∴，，
∴，即，
∴，
依題意知為不相等的正數(shù)，∴，
∴，解得，
∴，故AB正確；
又，
∵，而，∴，
即，故C正確；
∵∴，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查指數(shù)冪的運(yùn)算法則與性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
10. 如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).若在坐標(biāo)系中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D. 與的夾角為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，根據(jù)平面向量數(shù)量積的公式，模長公式及夾角公式可得結(jié)果.
【詳解】選項(xiàng)A：
，故A錯(cuò)誤，C正確；
選項(xiàng)B：
，故B正確；
選項(xiàng)D：因?yàn)?br>，
，
所以，
因?yàn)?，所以，故D正確；
故選：BCD.
11. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為，為的上頂點(diǎn)，，是上兩點(diǎn)．若，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，則（ ）
A. 的最大值是
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)，在軸的同側(cè)時(shí)，的最大值為
D. 當(dāng)，在軸的異側(cè)時(shí)（，與不重合），
【答案】ABC
【解析】
【分析】由題可得，根據(jù)橢圓的焦半徑的取值范圍可判斷A，根據(jù)結(jié)合橢圓方程可求坐標(biāo)，然后根據(jù)余弦定理可判斷B，根據(jù)橢圓的性質(zhì)結(jié)合基本不等式及斜率公式可判斷CD.
【詳解】因?yàn)闄E圓，
所以，，，
又，，構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，則，
不妨設(shè)，由題可知，則的最大值是，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，
則，解得，不妨取，
設(shè)，則，解得，
所以或，
當(dāng)時(shí)，又，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，，
所以，，
綜上，當(dāng)時(shí)，，故B正確；
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則，，，，，
當(dāng)，在軸的同側(cè)時(shí)，則，關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，則，
所以，由，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，故C正確；
當(dāng)，在軸的異側(cè)時(shí)（，與不重合），則，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)，則，由，可得，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12. 若，恒成立，則a的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】可得恒成立，分類討論：①當(dāng)時(shí)，不恒成立，②時(shí)，由題意可得，解不等式可求的范圍.
【詳解】解：由恒成立可得恒成立，
①當(dāng)時(shí)，不恒成立，故舍去；
②當(dāng)時(shí)，由題意可得，解得，，
綜上可得，，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的恒成立問題的求解，解題中要注意考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，
13. 若對(duì)于任意自然數(shù)，函數(shù)在每個(gè)閉區(qū)間上均有兩個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)整體法可得零點(diǎn)滿足，即可利用時(shí)，，求解符合條件的結(jié)合周期性驗(yàn)證所求滿足其他區(qū)間即可.
【詳解】令,則，
函數(shù)的零點(diǎn)
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)符合條件的兩個(gè)零點(diǎn)為故，
故，解得，
當(dāng) 時(shí)，的零點(diǎn)為，
因此零點(diǎn)為，結(jié)合三角函數(shù)周期性可知：滿足每個(gè)閉區(qū)間上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)。
故答案為：
14. 體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球；否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍是______
【答案】
【解析】
【分析】分別求得，，，利用期望的公式，求得，結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.
【詳解】由題意，可得，，
所以期望為，
令，即，解得或，
又由，可得，即的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)函數(shù)．
（1）解不等式；
（2）令的最小值為，正數(shù)滿足，證明：．
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）把函數(shù)分段表示出，再分段解不等式即得.
（2）求出函數(shù)的最小值，再變形并利用基本不等式推理即得.
【小問1詳解】
依題意，函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，化為，解得，因此，
當(dāng)時(shí)，化為，解得，因此，
當(dāng)時(shí)，化為，解得，無解，
所以不等式的解集為.
【小問2詳解】
由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此，則，，即有，
顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此，即，
所以.
16. 如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面．

（1）求證：；
（2）若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定推理即得.
（2）作，建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.
【小問1詳解】
在三棱柱中，由平面，平面，得，
在平面內(nèi)過作于，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，則有，
顯然平面，因此平面，又平面，
所以.
【小問2詳解】
過點(diǎn)作，由，得，
由（1）知平面，平面，則，即直線兩兩垂直，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由，得，，
假定在棱上存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為，
令，則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
令，得，顯然平面的一個(gè)法向量，
依題意，，解得，即，
所以在棱上存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為，.
17. 某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競賽中的情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：
將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．
（1）求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
【答案】（1），平均數(shù)670，中位數(shù)650，眾數(shù)600
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖中頻率和為1可求得,由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解
（2）由頻率分布直方圖知從，中抽取7人，從，中抽取3人，隨機(jī)變量的所有可能取值有0，1，2，3，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；
【小問1詳解】
由題意知，
解得，
樣本平均數(shù)，
由于，故中位數(shù)650，
眾數(shù)600．
【小問2詳解】
由題意，從中抽取7人，從中抽取3人，
隨機(jī)變量的所有可能取值有0，1，2，3．
，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．
18. 已知拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，面積的最小值為4.
（1）求拋物線的方程；
（2）若過點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，試問拋物線上是否存在定點(diǎn)，使得對(duì)任意的直線，都有.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由.
【答案】（1）
（2）存在定點(diǎn)；理由見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，求得，進(jìn)而求得的值，得到拋物線；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理，得到，，結(jié)合，求得點(diǎn)的坐標(biāo).
【小問1詳解】
由拋物線，可得，準(zhǔn)線為，則，
易知直線斜率不為零，設(shè)直線的方程為，且，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，且，
可得，
所以面積，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
因?yàn)槊娣e的最小值為，所以，解得，
所以拋物線的方程為.
【小問2詳解】
由（1）知拋物線，假設(shè)存在定點(diǎn)，易知直線的斜率不為零，
設(shè)直線的方程為，且，，則，，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，且，，
因?yàn)?，可得?br>因?yàn)椋?br>所以，即，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn).
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若a＞0，記為的零點(diǎn)，．
①證明：；
②探究與的大小關(guān)系．
【答案】（1）答案見解析
（2）①證明見解析；②．
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)討論和兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到單調(diào)區(qū)間.
（2）①證明：由在上單調(diào)遞增，，，分別構(gòu)造，，利用導(dǎo)數(shù)研究兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得，，證得結(jié)果；②利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即證得
，由的單調(diào)性即可證得結(jié)果.
【小問1詳解】
．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令
在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
①證明：在上單調(diào)遞增，
要證：證
而
令，
，
在上單調(diào)遞減，．
，
令，則
在上單調(diào)遞增，．
．
②
在上單調(diào)遞增，
．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為，，分別構(gòu)造，，利用導(dǎo)數(shù)研究兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性通過求得，，得出.0
1
2
3

相關(guān)試卷

河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），共25頁。試卷主要包含了 設(shè)無窮等差數(shù)列的公差為，集合， 已知?jiǎng)t可能滿足的關(guān)系是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），共17頁。

河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高三上學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題（含解析）：

這是一份河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高三上學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題（含解析），共24頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024鄭州宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)含解析

2024鄭州宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)含解析
2023-2024學(xué)年河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)含答案

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)含答案
2024鄭州宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)含解析

2024鄭州宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期12月月考試題數(shù)學(xué)含解析
河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

河南省鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
開學(xué)考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號(hào)注冊
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號(hào)注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部