2024鄭州宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三下學(xué)期二模試題數(shù)學(xué)含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚。
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。在試題卷上作答無效。
3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù),,i是虛數(shù)單位,則( )
A.且B.C.D.或
2.集合與之間的關(guān)系是( )
A.B.C.D.
3.已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是，則（）
A．B．C．D．
4.有一塊半徑為2,圓心角為的扇形鋼板,從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)矩形(矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上,且矩形的一邊在扇形的半徑上),則這個(gè)內(nèi)接矩形的面積最大值為( )
A.B.C.D.
5.若,,,則( )
A.B.C.D.
6.已知數(shù)列為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,,且,也是等差數(shù)列,則( )
A.nB.C.D.
7.已知S，A，B，C是球O表面上的不同點(diǎn)，平面，，，，若球O的表面積為，則( )
A.B.1C.D.
8.如圖,M為四面體OABC的棱BC的中點(diǎn),N為OM的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段AN上,且,設(shè),,,則( )
A.B.
C.D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.
9.雙曲拋物線又稱馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名.其在力學(xué)、建筑學(xué)、美學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.在空間直角坐標(biāo)系中，將一條平面內(nèi)開口向上的拋物線沿著另一條平面內(nèi)開口向下的拋物線滑動(dòng)（兩條拋物線的頂點(diǎn)重合）所形成的就是馬鞍面，其坐標(biāo)原點(diǎn)被稱為馬鞍面的鞍點(diǎn)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說法正確的是( )
A.用平行于平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線
B.用法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線
C.用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線
D.用過原點(diǎn)且法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線
10.設(shè),當(dāng)時(shí),對(duì)這三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較,下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的是( )
A.的增長速度最快, 的增長速度最慢
B.的增長速度最快, 的增長速度最慢
C.的增長速度最快, 的增長速度最慢
D.的增長速度最快, 的增長速度最慢
11.現(xiàn)有4個(gè)冪函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列選項(xiàng)可能成立的是( )
A.,,,
B.,,,
C.,,,
D.,,,
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.已知滿足,當(dāng),,若函數(shù)在上恰有八個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.
13.記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,,若外接圓面積為,則面積的最大值為______.
14.如圖,在棱長為2的正方體中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段上,點(diǎn)P到直線的距離的最小值為____________.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)某10張券中有一等獎(jiǎng)券1張,可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券3張,每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒有獎(jiǎng).某顧客從此10張券中任抽2張,求:
（1）該顧客中獎(jiǎng)的概率；
（2）該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值(元)的概率分布列和期望.
16.(15分)若數(shù)列滿足：存在等比數(shù)列,使得集合元素個(gè)數(shù)不大于,則稱數(shù)列具有性質(zhì).如數(shù)列,存在等比數(shù)列,使得集合,則數(shù)列具有性質(zhì).若數(shù)列滿足,,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.證明：
（1）數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）數(shù)列具有性質(zhì).
17.(15分)如圖所示,在直四棱柱中,,且,,,M是的中點(diǎn).
(1)證明；
(2)求點(diǎn)B到平面的距離.
18.(17分)已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)作直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且橢圓C的左,右焦點(diǎn)分別為,,,的面積分別為,,求的最大值.
19.(17分)已知函數(shù),.
（1）當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若是的極小值點(diǎn),求a的取值范圍.
2024學(xué)年鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三（下）第二次模擬考試
數(shù)學(xué) ? 參考答案
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.答案：C
解析：由復(fù)數(shù)是純虛數(shù),得,解得.
故選：C.
2.答案：C
解析：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.
3.答案：D
解析：由題意可得：
，
則，解得，
且為第一象限角，則，
故.
故選：D.
4.答案：C
解析：如圖:
在中,設(shè),
則,
在中,,所以,
,
設(shè)矩形ABCD的面積為S,
則
,
由于,
所以當(dāng)時(shí),,
故選:C
5.答案：B
解析：由題意知,
令,則,
所以在上單調(diào)遞減,又,
所以,即,所以,即,所以,
又,,又,所以,
所以,所以.
故選：B.
6.答案：D
解析：設(shè)的公差為d,由,
得,,
由題意知, 此式為完全平方形式,全平方形式,故,
解得或0(舍去), 則,則 .
故選：D.
7.答案：B
解析：如下圖所示：
由平面可知，，又，
所以四面體的外接球半徑等于以長寬高分別為，，三邊長的長方體的外接球半徑，
設(shè)外接球半徑為R，
由球O的表面積為，可得，即；
又，，，
所以.
故選：B.
8.答案：A
解析：由題意,
故選:A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共３小題，每小題６分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.
9.答案：AB
解析：因?yàn)轳R鞍面的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
對(duì)于A，平行于平面的面中為常數(shù)，不妨設(shè)為，
得，故所得軌跡是雙曲線.，故A正確；
對(duì)于B，法向量為的平面中為常數(shù)，不妨設(shè)為，
則，為拋物線方程，故B正確；
對(duì)于C，垂直于軸的平面中y為常數(shù)，不妨設(shè)為，
則，為拋物線方程，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，不妨設(shè)平面上的點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)槠矫孢^原點(diǎn)且法向量為，由，得，
故，代入馬鞍面標(biāo)準(zhǔn)方程，得，
當(dāng)時(shí)，方程為，不是物物線，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10.答案：ACD
解析：畫出函數(shù),,的圖象,如圖所示,
結(jié)合圖象,可得三個(gè)函數(shù),,中,
當(dāng)時(shí),函數(shù)增長速度最快,增長速度最慢.
所以選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)ACD不正確.
故選：ACD.
11.答案：AB
解析：對(duì)于冪函數(shù),若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,所以,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí),若的圖象在的上方,則,若的圖象在的下方,則,
所以,,,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)楫?dāng)時(shí),指數(shù)越大,圖象越高,所以,
綜上,,AB選項(xiàng)正確.
故選:AB
三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12.答案：
解析：因?yàn)?所以為周期是8的周期函數(shù),則,
由,得或,
作出函數(shù)在上的大致圖象,如圖,
由圖可知,在上,函數(shù)的圖象與直線有六個(gè)交點(diǎn),即時(shí),有六個(gè)實(shí)根,從而時(shí),應(yīng)該有兩個(gè)實(shí)根,即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn),故,得.
故答案為：.
13.答案：
解析：由已知及正弦定理得,所以,
所以,又,所以.由的外接圓面積為,得外接圓的半徑為1.由正弦定理得,所以,所以,解得,所以的面積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
14.答案：
解析：點(diǎn)P到直線的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離,
設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為,
顯然點(diǎn)P到直線的距離的最小值為的長度的最小值,
當(dāng)時(shí),的長度最小,
此時(shí).
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.答案：（1）
（2）分布列見解析,數(shù)學(xué)期望為:16.
解析：（1）解法一:,即該顧客中獎(jiǎng)的概率為.
解法二:,即該顧客中獎(jiǎng)的概率為.
（2）的所有可能值為:0,10,20,50,60(元).
,
,
的分布列為:
從而期望.
數(shù)學(xué)期望為:16.
16.答案：（1）證明見解析；
（2）證明見解析
解析：（1）設(shè),則,
.
因此數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,且；
（2）由（1）,,所以,
取數(shù)列,則是等比數(shù)列,
并且,因此集合,
所以數(shù)列具有性質(zhì).
17.答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)如圖、連接,
，，
，，
平面,，
又，平面,
平面，.
(2)連接，.
由已知可得,
，，
設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h,
由(1)知平面,
三棱錐的體積，
即,
解得, 即點(diǎn)B到平面的距離為.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）由橢圓C的離心率為,且過點(diǎn)得
橢圓C的方程為
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),,則；
當(dāng)直線l斜率存在且不等于零時(shí),設(shè)直線,
聯(lián)立可得,
設(shè),,則,,
,,
顯然A,B在x軸兩側(cè),,異號(hào),
所以
,
當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),取等號(hào).
所以的最大值為.
19.答案：（1）在上單調(diào)遞減；
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí),,
設(shè),則,
所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),取得極大值,所以,
所以,在上單調(diào)遞減；
（2）
設(shè),則,
(i)當(dāng)時(shí),二次函數(shù)開口向上,對(duì)稱軸為,,當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以是的極小值點(diǎn).
當(dāng)時(shí),,又,,
所以存在,使得,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
又,所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以是的極小值點(diǎn)；
(ii)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以是的極小值點(diǎn)；
(iii)當(dāng)時(shí),
開口向下,對(duì)稱軸為,,
此時(shí),故,使,
當(dāng)時(shí),,,因此在上單調(diào)遞增,又,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以為的極小值點(diǎn)；
(iv)當(dāng)時(shí),,,使,
當(dāng)時(shí),,,因此在上單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以為的極大值點(diǎn)；
(v)當(dāng)時(shí),由（1）知非極小值點(diǎn).
綜上所述,.
0
10
20
50
60
P

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