2024年北京市門頭溝區(qū)高三年級一模數(shù)學(xué)試卷及參考答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共9頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合
題目要求的一項。
1. 已知集合，集合，則
A.B.C.D.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為
A.B.C.D.
3. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是
A.B.C.D.
4. 已知雙曲線經(jīng)過點，離心率為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為
A.B.
C.D.
5. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則
A.B.C.D.
6. 設(shè)，，則“”是“”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
7. 在中，，，，則的面積為
A.B.C.D.
8. 在中，，，且，則
A.B.C.D.
9. 在平面直角坐標(biāo)系中，記為點到直線的距離，則當(dāng)變化時，的最大值與最小值之差為
A.B.C.D.
10. 如圖，正方體中，點為線段上的動點，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是
①三棱錐的體積為定值；
②直線與平面所成的角的大小不變；
③直線與所成的角的大小不變；
④.
A.B.C.D.
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11. 的展開式中常數(shù)項為_________.（用數(shù)字作答）
12. 已知拋物線的焦點為，點在上，若，則到直線的距離為_________.
13. 若函數(shù)的最大值為，則_________，
_________.
14. 已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為其前項和，，，
則_________；記，若存在使得最大，則的值為
_________.
15. 設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①當(dāng)時，的最小值為；
②存在，使得只有一個零點；
③存在，使得有三個不同零點；
④，在上是單調(diào)遞增函數(shù).
其中所有正確結(jié)論的序號是_________.
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16.（本小題13分）
如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為棱的中點.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值.
17.（本小題14分）
設(shè)函數(shù)，已知，，在區(qū)間
上單調(diào)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）當(dāng)時，若曲線與直線恰有一個公共點，求的取值范圍.
條件①：為函數(shù)的圖象的一個對稱中心；
條件②：直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸；
條件③：函數(shù)的圖象可由的圖象平移得到.
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.
18.（本小題13分）
2024年1月11日，記者從門頭溝區(qū)兩會上獲悉，目前國道109新線高速公路（簡稱新高速）全線35座橋梁主體結(jié)構(gòu)已全部完成，項目整體進(jìn)度已達(dá)到，預(yù)計今年上半年開始通車，通車后從西六環(huán)到門頭溝區(qū)清水鎮(zhèn)車程將縮短到40分鐘. 新高速全線設(shè)置主線收費站兩處（分別位于安家莊和西臺子）和匝道收費站四處（分別位于雁翅、火村、清水和齋堂）. 新高速的建成為市民出行帶來了很大便利，為此有關(guān)部門特意從門頭溝區(qū)某居民小區(qū)中隨機(jī)抽取了200位打算利用新高速出行的居民，對其出行的原因和下高速的出口進(jìn)行了問卷調(diào)查（問卷中每位居民只填寫一種出行原因和對應(yīng)的一個下高速的出口），具體情況如下：
（假設(shè)該小區(qū)所有打算利用新高速出行的居民的出行相對獨立，且均選擇上表中的一個高速出口下高速）.
（Ⅰ）從被調(diào)查的居民中隨機(jī)選1人，求該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率；
（Ⅱ）用上表樣本的頻率估計概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取2人，從出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，這三人中從齋堂出口下高速的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）用上表樣本的頻率估計概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取1人，用“”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速；從該小區(qū)所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，用“”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速，寫出方差的大小關(guān)系.
（結(jié)論不要求證明）
19.（本小題15分）
已知橢圓的離心率為，橢圓的上頂點為，右頂點為，點為坐標(biāo)原點，的面積為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點且不過點的直線與橢圓交于兩點，直線與直線
交于點，試判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明
理由.
20.（本小題15分）
已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時，求的極值；
（Ⅲ）當(dāng)時，判斷零點個數(shù)，并說明理由.
21.（本小題15分）
已知數(shù)列，數(shù)列，其中，且，
. 記的前項和分別為，規(guī)定.
記，
.
（Ⅰ）若，，寫出；
（Ⅱ）若，寫出所有滿足條件的數(shù)列，并說明理由；
（Ⅲ）若，，，且. 證明：，
使得.項目
齋堂出口
清水出口
安家莊出口
雁翅出口
火村出口
西臺子出口
上班
40
8
2
5
3
2
旅游
30
20
10
10
12
8
探親
16
10
10
5
5
4